Saul Kripke

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Saul Aaron Kripke est un philosophe et logicien américain de la tradition analytique. Il est professeur distingué de philosophie au Graduate Center de la City University of New York et professeur émérite à l'Université Princeton. Depuis les années 1960, Kripke est une figure centrale dans plusieurs domaines liés à la logique mathématique, la logique modale, la philosophie du langage, la philosophie des mathématiques, la métaphysique, l'épistémologie et la théorie de la récursion. Une grande partie de ses travaux restent inédits ou n'existent que sous forme d'enregistrements et de manuscrits distribués en privé.

Kripke a apporté des contributions influentes et originales à la logique, en particulier à la logique modale. Sa contribution principale est une sémantique pour la logique modale impliquant des mondes possibles, maintenant appelée sémantique de Kripke. Il a reçu le prix Schock 2001 en logique et philosophie.

Kripke est également en partie responsable de la résurgence de la métaphysique après le déclin du positivisme logique, affirmant que la nécessité est une notion métaphysique distincte de la notion épistémique a priori, et qu'il existe des vérités nécessaires qui sont connues a posteriori, comme le fait que l'eau est H2O. Une série de conférences à Princeton en 1970, publiée sous forme de livre en 1980 sous le titre Naming and Necessity, est considérée comme l'une des œuvres philosophiques les plus importantes du XXe siècle. Elle introduit le concept de noms comme désignateurs rigides, vrais dans tous les mondes possibles, par contraste avec les descriptions. Elle contient aussi la théorie causale de la référence de Kripke, qui conteste la théorie descriptiviste trouvée dans le concept de sens de Gottlob Frege et la théorie des descriptions de Bertrand Russell.

Kripke a aussi donné une lecture originale de Ludwig Wittgenstein, connue sous le nom de « Kripkenstein », dans son ouvrage Wittgenstein on Rules and Private Language. Le livre contient son argument du suivi des règles, un paradoxe pour le scepticisme concernant le sens.

Vie et carrière

Saul Kripke est l'aîné de trois enfants nés de Dorothy K. Kripke et du rabbin Myer S. Kripke. Son père était le leader de la Beth El Synagogue, la seule congrégation conservative à Omaha, Nebraska ; sa mère a écrit des livres éducatifs juifs pour enfants. Saul et ses deux sœurs, Madeline et Netta, ont fréquenté l'école primaire Dundee et le lycée Omaha Central. Kripke a été étiqueté comme prodige, s'enseignant l'hébreu ancien à l'âge de six ans, lisant les œuvres complètes de Shakespeare à neuf ans, et maîtrisant les œuvres de Descartes et les problèmes mathématiques complexes avant de terminer l'école primaire. Il a écrit son premier théorème de complétude en logique modale à 17 ans, et il a été publié un an plus tard. Après son diplôme du lycée en 1958, Kripke a fréquenté l'Université Harvard et a obtenu son diplôme summa cum laude en 1962 avec un baccalauréat en mathématiques. Pendant sa deuxième année à Harvard, il a enseigné un cours de logique de niveau supérieur au MIT à proximité. À la graduation, il a reçu une bourse Fulbright, et en 1963 a été nommé à la Society of Fellows. Kripke a dit plus tard : « J'aurais aimé pouvoir sauter l'université. J'ai eu l'occasion de connaître des gens intéressants mais je ne peux pas dire que j'ai appris quelque chose. Je l'aurais probablement tous appris de toute façon juste en lisant par moi-même. »

Après avoir brièvement enseigné à Harvard, en 1968 Kripke a déménagé à la Rockefeller University à New York, où il a enseigné jusqu'en 1976. En 1978, il a pris une chaire de professeur à l'Université Princeton. En 1988, il a reçu le prix Behrman de l'université pour réussite distinguée dans les humanités. En 2002, Kripke a commencé à enseigner au CUNY Graduate Center, et en 2003, il a été nommé professeur distingué de philosophie là-bas.

Kripke a reçu des doctorats honorifiques de l'Université du Nebraska, Omaha 1977, l'Université Johns Hopkins 1997, l'Université de Haifa, Israël 1998, et l'Université de Pennsylvanie 2005. Il est membre de la American Philosophical Society et fellow élu de l'American Academy of Arts and Sciences, et en 1985 était un Corresponding Fellow de la British Academy. Il a remporté le prix Schock en logique et philosophie en 2001.

Kripke était marié à la philosophe Margaret Gilbert. Il est le deuxième cousin au premier degré de l'écrivain, réalisateur et producteur de télévision Eric Kripke.

Travaux

Les contributions de Kripke à la philosophie incluent :

1. La sémantique de Kripke pour la logique modale et les logiques connexes, publiée dans plusieurs essais commençant à ses débuts adolescents.
2. Ses conférences de Princeton en 1970 Naming and Necessity publiées en 1972 et 1980, qui ont significativement restructuré la philosophie du langage.
3. Son interprétation de Wittgenstein.
4. Sa théorie de la vérité.

Il a également contribué à la théorie de la récursion, voir ordinal admissible et théorie des ensembles Kripke–Platek.

Logique modale

Deux des premiers travaux de Kripke, « A Completeness Theorem in Modal Logic » 1959 et « Semantical Considerations on Modal Logic » 1963, le premier écrit quand il était adolescent, portaient sur la logique modale. Les logiques les plus familières de la famille modale sont construites à partir d'une logique faible appelée K, nommée d'après Kripke. Kripke a introduit la sémantique de Kripke maintenant standard, aussi connue sous le nom de sémantique relationnelle ou sémantique de cadre pour les logiques modales. La sémantique de Kripke est une sémantique formelle pour les systèmes logiques non classiques. Elle a d'abord été faite pour les logiques modales, et a ensuite été adaptée à la logique intuitionniste et à d'autres systèmes non classiques. La découverte de la sémantique de Kripke a été une percée dans la création de logiques non classiques, car la théorie du modèle de telles logiques était absente avant Kripke.

Un cadre de Kripke ou cadre modal est une paire ⟨ W , R ⟩ , où W est un ensemble non vide, et R est une relation binaire sur W. Les éléments de W sont appelés nœuds ou mondes, et R est connu comme la relation d'accessibilité. Selon les propriétés de la relation d'accessibilité transitivité, réflexivité, etc., le cadre correspondant est décrit, par extension, comme étant transitif, réflexif, etc.

Un modèle de Kripke est un triple ⟨ W , R , ⊩ ⟩ est une relation entre les nœuds de W et les formules modales, telle que :

• w ⊩ ¬ A ,
• w ⊩ A → B ,
• w ⊩ ◻ A .

Nous lisons w ⊩ A s'appelle la relation de satisfaction, l'évaluation, ou la relation de forçage. La relation de satisfaction est uniquement déterminée par sa valeur sur les variables propositionnelles.

Une formule A est valide dans :

• un modèle ⟨ W , R , ⊩ ⟩ pour tous w ∈ W,
• un cadre ⟨ W , R ⟩ ,
• une classe C de cadres ou de modèles, si elle est valide dans chaque membre de C.

Nous définissons ThmC comme l'ensemble de toutes les formules qui sont valides dans C. Inversement, si X est un ensemble de formules, soit ModX la classe de tous les cadres qui valident chaque formule de X.

Une logique modale c'est-à-dire un ensemble de formules L est correcte par rapport à une classe de cadres C, si L ⊆ ThmC. L est complète par rapport à C si L ⊇ ThmC.

La sémantique est utile pour étudier une logique c'est-à-dire un système de dérivation seulement si la relation de conséquence sémantique reflète son homologue syntaxique, la relation de conséquence de dérivabilité. Il est vital de savoir quelles logiques modales sont correctes et complètes par rapport à une classe de cadres de Kripke, et pour eux, de déterminer quelle classe c'est.

Pour toute classe C de cadres de Kripke, ThmC est une logique modale normale en particulier, les théorèmes de la logique modale normale minimale, K, sont valides dans tous les modèles de Kripke. Cependant, la réciproque ne tient pas généralement. Il existe des logiques modales normales incomplètes de Kripke, ce qui est sans problème, car la plupart des systèmes modaux étudiés sont complets de classes de cadres décrites par des conditions simples.

Une logique modale normale L correspond à une classe de cadres C, si C = ModL. En d'autres termes, C est la plus grande classe de cadres telle que L soit correcte wrt C. Il s'ensuit que L est complète de Kripke si et seulement si elle est complète de sa classe correspondante.

Considérez le schéma T : ◻ A → A . T correspond à la classe des cadres de Kripke réflexifs.

Il est souvent beaucoup plus facile de caractériser la classe correspondante de L que de prouver sa complétude, donc la correspondance sert de guide aux preuves de complétude. La correspondance est aussi utilisée pour montrer l'incomplétude des logiques modales : supposez que L1 ⊆ L2 sont des logiques modales normales qui correspondent à la même classe de cadres, mais que L1 ne prouve pas tous les théorèmes de L2. Alors L1 est incomplète de Kripke. Par exemple, le schéma ◻ A ≡ ◻ A → ◻ A .

Modèles canoniques

Pour toute logique modale normale L, un modèle de Kripke appelé le modèle canonique peut être construit, qui valide précisément les théorèmes de L, par une adaptation de la technique standard d'utilisation d'ensembles maximalement cohérents comme modèles. Les modèles canoniques de Kripke jouent un rôle similaire à la construction de l'algèbre de Lindenbaum–Tarski en sémantique algébrique.

Un ensemble de formules est L-cohérent s'il n'y a pas de contradiction qui peut être dérivée d'eux en utilisant les axiomes de L, et le modus ponens. Un ensemble L-cohérent maximal un ensemble L-MCS pour faire court est un ensemble L-cohérent qui n'a pas de sur-ensemble L-cohérent propre.

Le modèle canonique de L est un modèle de Kripke ⟨ W , R , ⊩ ⟩ sont comme suit :

Le modèle canonique est un modèle de L, car chaque L-MCS contient tous les théorèmes de L. Par le lemme de Zorn, chaque ensemble L-cohérent est contenu dans un L-MCS, en particulier chaque formule indémontrable dans L a un contre-exemple dans le modèle canonique.

L'application principale des modèles canoniques sont les preuves de complétude. Les propriétés du modèle canonique de K impliquent immédiatement la complétude de K par rapport à la classe de tous les cadres de Kripke. Cet argument ne fonctionne pas pour L arbitraire, car il n'y a aucune garantie que le cadre sous-jacent du modèle canonique satisfasse les conditions de cadre de L.

Nous disons qu'une formule ou un ensemble X de formules est canonique par rapport à une propriété P des cadres de Kripke, si

• X est valide dans chaque cadre qui satisfait P,
• pour toute logique modale normale L qui contient X, le cadre sous-jacent du modèle canonique de L satisfait P.

Une union d'ensembles canoniques de formules est elle-même canonique. Il découle de la discussion précédente que toute logique axiomatisée par un ensemble canonique de formules est complète de Kripke, et compacte.

Les axiomes T, 4, D, B, 5, H, G et donc toute combinaison d'eux sont canoniques. GL et Grz ne sont pas canoniques, car ils ne sont pas compacts. L'axiome M par lui-même n'est pas canonique Goldblatt, 1991, mais la logique combinée S4.1 en fait, même K4.1 est canonique.

En général, il est indécidable qu'un axiome donné soit canonique. Nous connaissons une belle condition suffisante : H. Sahlqvist a identifié une large classe de formules maintenant appelées formules de Sahlqvist telles que :

• une formule de Sahlqvist est canonique,
• la classe de cadres correspondant à une formule de Sahlqvist est définissable au premier ordre,
• il existe un algorithme qui calcule la condition de cadre correspondante à une formule de Sahlqvist donnée.

Ceci est un critère puissant : par exemple, tous les axiomes énumérés ci-dessus comme canoniques sont équivalents aux formules de Sahlqvist. Une logique a la propriété de modèle fini FMP si elle est complète par rapport à une classe de cadres finis. Une application de cette notion est la question de la décidabilité : il découle du théorème de Post qu'une logique modale récursivement axiomatisée L qui a FMP est décidable, à condition qu'il soit décidable si un cadre fini donné est un modèle de L. En particulier, toute logique finiment axiomatisable avec FMP est décidable.

Il y a diverses méthodes pour établir FMP pour une logique donnée. Les raffinements et extensions de la construction du modèle canonique fonctionnent souvent, en utilisant des outils tels que la filtration ou le déploiement. Comme autre possibilité, les preuves de complétude basées sur les calculs des séquents sans coupure produisent généralement directement des modèles finis.

La plupart des systèmes modaux utilisés en pratique, y compris tous ceux énumérés ci-dessus, ont FMP.

Dans certains cas, nous pouvons utiliser FMP pour prouver la complétude de Kripke d'une logique : toute logique modale normale est complète wrt une classe d'algèbres modales, et une algèbre modale finie peut être transformée en un cadre de Kripke. Par exemple, Robert Bull a prouvé en utilisant cette méthode que toute extension normale de S4.3 a FMP, et est complète de Kripke.

La sémantique de Kripke a une généralisation directe aux logiques avec plus d'une modalité. Un cadre de Kripke pour un langage avec { ◻ i ∣ i ∈ I } comme l'ensemble de ses opérateurs de nécessité consiste en un ensemble non vide W équipé de relations binaires Ri pour chaque i ∈ I. La définition d'une relation de satisfaction est modifiée comme suit :

Modèles de Carlson

Une sémantique simplifiée, découverte par Tim Carlson, est souvent utilisée pour les logiques de prouvabilité polymodales. Un modèle de Carlson est une structure ⟨ W , R , { D i } i ∈ I , ⊩ ⟩ avec une seule relation d'accessibilité R, et des sous-ensembles Di ⊆ W pour chaque modalité. La satisfaction est définie comme :

Les modèles de Carlson sont plus faciles à visualiser et à utiliser que les modèles usuels de Kripke polymodaux ; il y a, cependant, des logiques polymodales complètes de Kripke qui sont incomplètes de Carlson.

Dans Semantical Considerations on Modal Logic, publié en 1963, Kripke a répondu à une difficulté avec la théorie classique de la quantification. La motivation pour l'approche relative au monde était de représenter la possibilité que les objets dans un monde pourraient ne pas exister dans un autre. Si les règles standard de quantificateur sont utilisées, cependant, chaque terme doit faire référence à quelque chose qui existe dans tous les mondes possibles. Cela semble incompatible avec notre pratique ordinaire d'utiliser des termes pour faire référence aux choses qui existent de manière contingente.

La réponse de Kripke à cette difficulté était d'éliminer les termes. Il a donné un exemple d'un système qui utilise l'interprétation relative au monde et pres