Saul Kripke

Para que una sensación sea sentida como dolor es para que sea dolor.

Saul Aaron Kripke es un filósofo y lógico estadounidense en la tradición analítica. Es Profesor Distinguido de Filosofía en el Centro de Graduados de la Universidad de la Ciudad de Nueva York y profesor emérito de la Universidad de Princeton. Desde los años 60, Kripke ha sido una figura central en varios campos relacionados con la lógica matemática, lógica modal, filosofía del lenguaje, filosofía de las matemáticas, metafísica, epistemología y teoría de la recursión. Gran parte de su trabajo sigue sin publicarse o existe solo como grabaciones de audio y manuscritos circulados privadamente.

Kripke ha hecho contribuciones influyentes y originales a la lógica, especialmente a la lógica modal. Su principal contribución es una semántica para la lógica modal que involucra mundos posibles, ahora llamada semántica de Kripke. Recibió el Premio Schock 2001 en Lógica y Filosofía.

Kripke también es parcialmente responsable del resurgimiento de la metafísica después de la decadencia del positivismo lógico, argumentando que la necesidad es una noción metafísica distinta de la noción epistémica de a priori, y que hay verdades necesarias que se conocen a posteriori, como que el agua es H2O. Una serie de conferencias de Princeton de 1970, publicada en forma de libro en 1980 como Naming and Necessity, es considerada una de las obras filosóficas más importantes del siglo XX. Introduce el concepto de nombres como designadores rígidos, verdaderos en todos los mundos posibles, en contraste con las descripciones. También contiene la teoría causal de la referencia de Kripke, que disputa la teoría descriptivista que se encuentra en el concepto de sentido de Gottlob Frege y la teoría de descripciones de Bertrand Russell.

Kripke también dio una lectura original de Ludwig Wittgenstein, conocida como "Kripkenstein", en su Wittgenstein on Rules and Private Language. El libro contiene su argumento del seguimiento de reglas, una paradoja para el escepticismo sobre el significado.

Vida y carrera

Saul Kripke es el mayor de tres hijos nacidos de Dorothy K. Kripke y el Rabino Myer S. Kripke. Su padre era el líder de la Sinagoga Beth El, la única congregación conservadora en Omaha, Nebraska; su madre escribió libros educativos judíos para niños. Saul y sus dos hermanas, Madeline y Netta, asistieron a la Escuela Primaria Dundee y a la Escuela Secundaria Central de Omaha. Kripke fue etiquetado como un prodigio, enseñándose a sí mismo hebreo antiguo a la edad de seis años, leyendo las obras completas de Shakespeare a los nueve, y dominando las obras de Descartes y problemas matemáticos complejos antes de terminar la escuela primaria. Escribió su primer teorema de completitud en lógica modal a los 17 años, y fue publicado un año después. Después de graduarse de la escuela secundaria en 1958, Kripke asistió a la Universidad de Harvard y se graduó summa cum laude en 1962 con una licenciatura en matemáticas. Durante su segundo año en Harvard, enseñó un curso de lógica de nivel de posgrado en el cercano MIT. Al graduarse, recibió una Beca Fulbright y en 1963 fue nombrado a la Sociedad de Compañeros. Kripke dijo más tarde: "Desearía haber podido saltarme la universidad. Llegué a conocer a algunas personas interesantes pero no puedo decir que haya aprendido algo. Probablemente lo habría aprendido todo de todos modos solo leyendo por mi cuenta".

Después de enseñar brevemente en Harvard, en 1968 Kripke se mudó a la Universidad Rockefeller en la ciudad de Nueva York, donde enseñó hasta 1976. En 1978 ocupó una cátedra en la Universidad de Princeton. En 1988 recibió el Premio Behrman de la universidad por logros distinguidos en las humanidades. En 2002 Kripke comenzó a enseñar en el Centro de Graduados de CUNY, y en 2003 fue nombrado profesor distinguido de filosofía allí.

Kripke ha recibido títulos honorarios de la Universidad de Nebraska, Omaha 1977, Universidad Johns Hopkins 1997, Universidad de Haifa, Israel 1998, y la Universidad de Pensilvania 2005. Es miembro de la Sociedad Filosófica Estadounidense y es Miembro Electo de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias, y en 1985 fue Miembro Correspondiente de la Academia Británica. Ganó el Premio Schock en Lógica y Filosofía en 2001.

Kripke estuvo casado con la filósofa Margaret Gilbert. Es el segundo primo una vez removido del escritor, director y productor de televisión Eric Kripke.

Obra

Las contribuciones de Kripke a la filosofía incluyen:

1. Semántica de Kripke para lógica modal y lógicas relacionadas, publicada en varios ensayos comenzando en su adolescencia.
2. Sus conferencias de Princeton de 1970 Naming and Necessity publicadas en 1972 y 1980, que reestructuraron significativamente la filosofía del lenguaje.
3. Su interpretación de Wittgenstein.
4. Su teoría de la verdad.

También ha contribuido a la teoría de la recursión, ver ordinal admisible y teoría de conjuntos de Kripke–Platek.

Lógica modal

Dos de los primeros trabajos de Kripke, "A Completeness Theorem in Modal Logic" 1959 y "Semantical Considerations on Modal Logic" 1963, el primero escrito cuando era adolescente, fueron sobre lógica modal. Las lógicas más familiares en la familia modal se construyen a partir de una lógica débil llamada K, nombrada después de Kripke. Kripke introdujo la ahora estándar semántica de Kripke también conocida como semántica relacional o semántica de marcos para lógicas modales. La semántica de Kripke es una semántica formal para sistemas lógicos no clásicos. Se hizo primero para lógicas modales, y más tarde se adaptó a la lógica intuicionista y otros sistemas no clásicos. El descubrimiento de la semántica de Kripke fue un avance en la creación de lógicas no clásicas, porque la teoría de modelos de tales lógicas estaba ausente antes de Kripke.

Un marco de Kripke o marco modal es un par ⟨ W , R ⟩ , donde W es un conjunto no vacío, y R es una relación binaria en W. Los elementos de W se llaman nodos o mundos, y R se conoce como la relación de accesibilidad. Dependiendo de las propiedades de la relación de accesibilidad transitividad, reflexividad, etc., el marco correspondiente se describe, por extensión, como siendo transitivo, reflexivo, etc.

Un modelo de Kripke es un triple ⟨ W , R , ⊩ ⟩ es una relación entre nodos de W y fórmulas modales, tales que:

• w ⊩ ¬ A ,
• w ⊩ A → B ,
• w ⊩ ◻ A .

Leemos w ⊩ A se llama la relación de satisfacción, evaluación, o relación de fuerza. La relación de satisfacción se determina únicamente por su valor en variables proposicionales.

Una fórmula A es válida en:

• un modelo ⟨ W , R , ⊩ ⟩ para todo w ∈ W,
• un marco ⟨ W , R ⟩ ,
• una clase C de marcos o modelos, si es válida en cada miembro de C.

Definimos ThmC como el conjunto de todas las fórmulas que son válidas en C. Inversamente, si X es un conjunto de fórmulas, sea ModX la clase de todos los marcos que validan cada fórmula de X.

Una lógica modal, es decir, un conjunto de fórmulas L es sólida con respecto a una clase de marcos C, si L ⊆ ThmC. L es completa con respecto a C si L ⊇ ThmC.

La semántica es útil para investigar una lógica, es decir, un sistema de derivación solo si la relación de implicación semántica refleja su contraparte sintáctica, la relación de consecuencia derivabilidad. Es vital saber qué lógicas modales son sólidas y completas con respecto a una clase de marcos de Kripke, y para ellas, determinar cuál es la clase.

Para cualquier clase C de marcos de Kripke, ThmC es una lógica modal normal en particular, los teoremas de la lógica modal normal mínima, K, son válidos en cada modelo de Kripke. Sin embargo, el recíproco no se cumple en general. Hay lógicas modales normales incompletas según Kripke, lo que no es problemático, porque la mayoría de los sistemas modales estudiados son completos de clases de marcos descritos por condiciones simples.

Una lógica modal normal L corresponde a una clase de marcos C, si C = ModL. En otras palabras, C es la clase más grande de marcos tal que L es sólida respecto a C. Se deduce que L es completa según Kripke si y solo si es completa de su clase correspondiente.

Considere el esquema T : ◻ A → A . T corresponde a la clase de marcos de Kripke reflexivos.

A menudo es mucho más fácil caracterizar la clase correspondiente de L que probar su completitud, por lo que la correspondencia sirve como guía para las pruebas de completitud. La correspondencia también se usa para mostrar incompletitud de lógicas modales: supongamos que L1 ⊆ L2 son lógicas modales normales que corresponden a la misma clase de marcos, pero L1 no prueba todos los teoremas de L2. Entonces L1 es incompleta según Kripke. Por ejemplo, el esquema ◻ A ≡ ◻ A → ◻ A .

Modelos canónicos

Para cualquier lógica modal normal L, se puede construir un modelo de Kripke llamado modelo canónico, que valida precisamente los teoremas de L, mediante una adaptación de la técnica estándar de usar conjuntos máximamente consistentes como modelos. Los modelos Kripke canónicos juegan un papel similar a la construcción del álgebra de Lindenbaum–Tarski en semántica algebraica.

Un conjunto de fórmulas es L-consistente si no se puede derivar ninguna contradicción de ellas usando los axiomas de L, y modus ponens. Un conjunto L-consistente máximo un conjunto L-MCS para abreviar es un conjunto L-consistente que no tiene un superconjunto L-consistente propio.

El modelo canónico de L es un modelo de Kripke ⟨ W , R , ⊩ ⟩ son como sigue:

El modelo canónico es un modelo de L, ya que cada conjunto L-MCS contiene todos los teoremas de L. Por el lema de Zorn, cada conjunto L-consistente está contenido en un conjunto L-MCS, en particular cada fórmula improbable en L tiene un contraejemplo en el modelo canónico.

La aplicación principal de los modelos canónicos son las pruebas de completitud. Las propiedades del modelo canónico de K implican inmediatamente completitud de K con respecto a la clase de todos los marcos de Kripke. Este argumento no funciona para L arbitrario, porque no hay garantía de que el marco subyacente del modelo canónico satisfaga las condiciones de marco de L.

Decimos que una fórmula o un conjunto X de fórmulas es canónico con respecto a una propiedad P de marcos de Kripke, si

• X es válido en cada marco que satisface P,
• para cualquier lógica modal normal L que contiene X, el marco subyacente del modelo canónico de L satisface P.

Una unión de conjuntos canónicos de fórmulas es en sí misma canónica. Se deduce de la discusión anterior que cualquier lógica axiomatizada por un conjunto canónico de fórmulas es completa según Kripke, y compacta.

Los axiomas T, 4, D, B, 5, H, G y por lo tanto cualquier combinación de ellos son canónicos. GL y Grz no son canónicos, porque no son compactos. El axioma M por sí solo no es canónico Goldblatt, 1991, pero la lógica combinada S4.1 de hecho, incluso K4.1 es canónica.

En general, es indecidible si un axioma dado es canónico. Sabemos una buena condición suficiente: H. Sahlqvist identificó una amplia clase de fórmulas ahora llamadas fórmulas de Sahlqvist tales que:

• una fórmula de Sahlqvist es canónica,
• la clase de marcos correspondiente a una fórmula de Sahlqvist es definible en primer orden,
• hay un algoritmo que calcula la condición de marco correspondiente a una fórmula de Sahlqvist dada.

Este es un criterio poderoso: por ejemplo, todos los axiomas enumerados anteriormente como canónicos son equivalentes a fórmulas de Sahlqvist. Una lógica tiene la propiedad del modelo finito FMP si es completa con respecto a una clase de marcos finitos. Una aplicación de esta noción es la cuestión de la decidibilidad: se deduce del teorema de Post que una lógica modal recursivamente axiomatizada L que tiene FMP es decidible, siempre que sea decidible si un marco finito dado es un modelo de L. En particular, toda lógica finitamente axiomatizable con FMP es decidible.

Hay varios métodos para establecer FMP para una lógica dada. Los refinamientos y extensiones de la construcción del modelo canónico a menudo funcionan, usando herramientas como filtración o despliegue. Como otra posibilidad, las pruebas de completitud basadas en cálculos de secuentes sin corte generalmente producen modelos finitos directamente.

La mayoría de los sistemas modales utilizados en la práctica, incluidos todos los enumerados anteriormente, tienen FMP.

En algunos casos, podemos usar FMP para probar la completitud de Kripke de una lógica: toda lógica modal normal es completa respecto a una clase de álgebras modales, y un álgebra modal finita puede transformarse en un marco de Kripke. Como ejemplo, Robert Bull probó usando este método que toda extensión normal de S4.3 tiene FMP, y es completa según Kripke.

La semántica de Kripke tiene una generalización directa a lógicas con más de una modalidad. Un marco de Kripke para un lenguaje con { ◻ i ∣ i ∈ I } como el conjunto de sus operadores de necesidad consiste en un conjunto no vacío W equipado con relaciones binarias Ri para cada i ∈ I. La definición de una relación de satisfacción se modifica como sigue:

Modelos de Carlson

Una semántica simplificada, descubierta por Tim Carlson, se usa a menudo para lógicas de demostrabilidad polimodal. Un modelo de Carlson es una estructura ⟨ W , R , { D i } i ∈ I , ⊩ ⟩ con una única relación de accesibilidad R, y subconjuntos Di ⊆ W para cada modalidad. La satisfacción se define como:

Los modelos de Carlson son más fáciles de visualizar y trabajar que los modelos usuales de Kripke polimodales; hay, sin embargo, lógicas polimodales completas según Kripke que son incompletas según Carlson.

En Semantical Considerations on Modal Logic, publicado en 1963, Kripke respondió a una dificultad con la teoría clásica de la cuantificación. La motivación para el enfoque relativo al mundo era representar la posibilidad de que los objetos en un mundo pueden no existir en otro. Si se usan reglas de cuantificador estándar, sin embargo, cada término debe referirse a algo que existe en todos los mundos posibles. Esto parece incompatible con nuestra práctica ordinaria de usar términos para referirse a cosas que existen contingentemente.

La respuesta de Kripke a esta dificultad fue eliminar términos. Dio un ejemplo de un sistema que usa la interpretación relativa al mundo y preserva