Saul Kripke

Dass eine Empfindung als Schmerz empfunden wird, bedeutet, dass sie Schmerz ist.

Saul Aaron Kripke ist ein amerikanischer Philosoph und Logiker in der analytischen Tradition. Er ist Distinguished Professor of Philosophy am Graduate Center der City University of New York und emeritierter Professor an der Princeton University. Seit den 1960er Jahren ist Kripke eine zentrale Figur in mehreren Bereichen der mathematischen Logik, Modallogik, Sprachphilosophie, Mathematikphilosophie, Metaphysik, Erkenntnistheorie und Rekursionstheorie. Ein großer Teil seiner Arbeit bleibt unveröffentlicht oder existiert nur als Tonaufnahmen und privat zirkulierende Manuskripte.

Kripke hat einflussreiche und originelle Beiträge zur Logik geleistet, insbesondere zur Modallogik. Sein Hauptbeitrag ist eine Semantik für Modallogik mit möglichen Welten, die heute Kripke-Semantik genannt wird. Er erhielt 2001 den Schock-Preis für Logik und Philosophie.

Kripke ist auch teilweise verantwortlich für die Wiederbelebung der Metaphysik nach dem Niedergang des logischen Positivismus, da er argumentiert, dass Notwendigkeit ein metaphysisches Konzept ist, das sich vom erkenntnistheoretischen Begriff des A-priori unterscheidet, und dass es notwendige Wahrheiten gibt, die a posteriori bekannt sind, wie etwa dass Wasser H2O ist. Eine Vorlesungsreihe von Princeton aus dem Jahr 1970, die 1980 in Buchform als Naming and Necessity veröffentlicht wurde, gilt als eines der wichtigsten philosophischen Werke des 20. Jahrhunderts. Sie führt das Konzept von Namen als starre Designatoren ein, die in jeder möglichen Welt wahr sind, im Gegensatz zu Beschreibungen. Sie enthält auch Kripkes Kausaltheorie der Referenz, die die deskriptivistische Theorie von Gottlob Frege's Begriff des Sinns und Bertrand Russell's Theorie der Beschreibungen anfechtet.

Kripke gab auch eine originelle Lesart von Ludwig Wittgenstein, bekannt als „Kripkenstein", in seinem Werk Wittgenstein on Rules and Private Language. Das Buch enthält sein Rule-Following-Argument, ein Paradoxon für den Skeptizismus über Bedeutung.

Leben und Karriere

Saul Kripke ist das älteste von drei Kindern von Dorothy K. Kripke und Rabbiner Myer S. Kripke. Sein Vater war der Leiter der Beth El Synagogue, der einzigen konservativen Gemeinde in Omaha, Nebraska; seine Mutter schrieb pädagogische jüdische Bücher für Kinder. Saul und seine zwei Schwestern, Madeline und Netta, besuchten die Dundee Grade School und die Omaha Central High School. Kripke wurde als Wunderkind bezeichnet und brachte sich im Alter von sechs Jahren Althebräisch selbst bei, las Shakespeares Gesamtwerk mit neun Jahren und beherrschte die Werke von Descartes und komplexe mathematische Probleme, bevor er die Grundschule beendete. Er schrieb seinen ersten Vollständigkeitssatz in Modallogik mit 17 Jahren auf und ließ ihn ein Jahr später veröffentlichen. Nach seinem Abschluss von der High School 1958 besuchte Kripke die Harvard University und graduierte 1962 summa cum laude mit einem Bachelor-Abschluss in Mathematik. Während seines zweiten Jahres an Harvard unterrichtete er einen Graduierten-Logik-Kurs am nahegelegenen MIT. Nach seinem Abschluss erhielt er ein Fulbright-Stipendium und wurde 1963 in die Society of Fellows berufen. Kripke sagte später: „Ich wünschte, ich hätte die Universität überspringen können. Ich bin auf einige interessante Menschen gestoßen, aber ich kann nicht sagen, dass ich etwas gelernt habe. Ich hätte das Ganze wahrscheinlich ohnehin selbst gelernt."

Nach kurzzeitigem Unterrichten in Harvard zog Kripke 1968 zur Rockefeller University in New York City, wo er bis 1976 unterrichtete. 1978 übernahm er eine Lehrstelle an der Princeton University. 1988 erhielt er den Behrman Award der Universität für hervorragende Leistungen in den Geisteswissenschaften. 2002 begann Kripke am CUNY Graduate Center zu unterrichten, und 2003 wurde er dort zum Distinguished Professor of Philosophy ernannt.

Kripke hat Ehrendoktorate von der University of Nebraska, Omaha 1977, Johns Hopkins University 1997, University of Haifa, Israel 1998 und der University of Pennsylvania 2005 erhalten. Er ist Mitglied der American Philosophical Society und ein gewähltes Fellow der American Academy of Arts and Sciences, und war 1985 ein Corresponding Fellow der British Academy. Er erhielt 2001 den Schock-Preis für Logik und Philosophie.

Kripke war mit der Philosophin Margaret Gilbert verheiratet. Er ist der zweite Cousin einmal entfernt des Fernsehautors, Regisseurs und Produzenten Eric Kripke.

Werk

Kripkes Beiträge zur Philosophie umfassen:

1. Kripke-Semantik für Modal- und verwandte Logiken, veröffentlicht in mehreren Essays ab seinen Teenagerjahren.
2. Seine Princeton-Vorlesungen von 1970 Naming and Necessity, veröffentlicht 1972 und 1980, die die Sprachphilosophie erheblich umstrukturierten.
3. Seine Interpretation von Wittgenstein.
4. Seine Wahrheitstheorie.

Er hat auch zur Rekursionstheorie beigetragen, siehe zulässige Ordinalzahl und Kripke-Platek-Mengentheorie.

Modallogik

Zwei von Kripkes früheren Werken, „A Completeness Theorem in Modal Logic" 1959 und „Semantical Considerations on Modal Logic" 1963, das erste geschrieben, als er noch Teenager war, befassten sich mit Modallogik. Die bekanntesten Logiken in der Modalfamilie werden aus einer schwachen Logik namens K konstruiert, benannt nach Kripke. Kripke führte die heute standardmäßige Kripke-Semantik, auch bekannt als relationale Semantik oder Frame-Semantik, für Modallogiken ein. Kripke-Semantik ist eine formale Semantik für nicht-klassische logische Systeme. Sie wurde zunächst für Modallogiken entwickelt und später auf intuitionistische Logik und andere nicht-klassische Systeme angewendet. Die Entdeckung der Kripke-Semantik war ein Durchbruch in der Schaffung nicht-klassischer Logiken, da die Modelltheorie solcher Logiken vor Kripke fehlte.

Ein Kripke-Frame oder Modal-Frame ist ein Paar ⟨ W , R ⟩ , wobei W eine nicht-leere Menge ist und R eine binäre Relation auf W ist. Elemente von W werden Knoten oder Welten genannt, und R ist als Zugänglichkeitsrelation bekannt. Abhängig von den Eigenschaften der Zugänglichkeitsrelation Transitivität, Reflexivität usw. wird der entsprechende Frame durch Erweiterung als transitiv, reflexiv usw. beschrieben.

Ein Kripke-Modell ist ein Tripel ⟨ W , R , ⊩ ⟩ ist eine Relation zwischen Knoten von W und Modalformeln, so dass:

• w ⊩ ¬ A ,
• w ⊩ A → B ,
• w ⊩ ◻ A .

Wir lesen w ⊩ A wird als Satisfaktionsrelation, Evaluierung oder Erzwingungsrelation genannt. Die Satisfaktionsrelation wird eindeutig durch ihren Wert auf Aussagenvariablen bestimmt.

Eine Formel A ist gültig in:

• einem Modell ⟨ W , R , ⊩ ⟩ für alle w ∈ W,
• einem Frame ⟨ W , R ⟩ ,
• einer Klasse C von Frames oder Modellen, wenn sie in jedem Element von C gültig ist.

Wir definieren ThmC als die Menge aller Formeln, die in C gültig sind. Umgekehrt: wenn X eine Menge von Formeln ist, sei ModX die Klasse aller Frames, die jede Formel aus X validieren.

Eine Modallogik, d.h. eine Menge von Formeln L, ist hinsichtlich einer Klasse von Frames C sicher, wenn L ⊆ ThmC gilt. L ist vollständig hinsichtlich C, wenn L ⊇ ThmC gilt.

Semantik ist für die Untersuchung einer Logik, d.h. eines Ableitungssystems, nur dann nützlich, wenn die semantische Entailment-Relation ihr syntaktisches Gegenstück, die Konsequenzrelation Ableitbarkeit, widerspiegelt. Es ist wichtig zu wissen, welche Modallogiken hinsichtlich einer Klasse von Kripke-Frames sicher und vollständig sind, und für sie zu bestimmen, welche Klasse es ist.

Für jede Klasse C von Kripke-Frames ist ThmC eine normale Modallogik; insbesondere sind Theoreme der minimalen normalen Modallogik K in jedem Kripke-Modell gültig. Das Gegenteil gilt jedoch im Allgemeinen nicht. Es gibt Kripke-unvollständige normale Modallogiken, was unproblematisch ist, da die meisten untersuchten modalen Systeme vollständig bezüglich von Klassen von Frames sind, die durch einfache Bedingungen beschrieben werden.

Eine normale Modallogik L entspricht einer Klasse von Frames C, wenn C = ModL. Mit anderen Worten, C ist die größte Klasse von Frames, so dass L hinsichtlich C sicher ist. Es folgt, dass L Kripke-vollständig ist, wenn und nur wenn es vollständig bezüglich seiner entsprechenden Klasse ist.

Betrachten Sie das Schema T : ◻ A → A . T entspricht der Klasse reflexiver Kripke-Frames.

Es ist oft viel leichter, die entsprechende Klasse von L zu charakterisieren, als ihre Vollständigkeit zu beweisen, daher dient die Entsprechung als Leitfaden für Vollständigkeitsbeweise. Die Entsprechung wird auch verwendet, um Unvollständigkeit von Modallogiken zu zeigen: angenommen, L1 ⊆ L2 sind normale Modallogiken, die der gleichen Klasse von Frames entsprechen, aber L1 beweist nicht alle Theoreme von L2. Dann ist L1 Kripke-unvollständig. Zum Beispiel das Schema ◻ A ≡ ◻ A → ◻ A .

Kanonische Modelle

Für jede normale Modallogik L kann ein Kripke-Modell, das kanonische Modell genannt wird, konstruiert werden, das genau die Theoreme von L validiert, durch eine Anpassung der Standardtechnik der Verwendung maximal konsistenter Mengen als Modelle. Kanonische Kripke-Modelle spielen eine Rolle ähnlich der Lindenbaum-Tarski-Algebra-Konstruktion in algebraischer Semantik.

Eine Menge von Formeln ist L-konsistent, wenn aus ihnen kein Widerspruch unter Verwendung der Axiome von L und modus ponens abgeleitet werden kann. Eine maximal L-konsistente Menge, kurz L-MCS, ist eine L-konsistente Menge, die keine echte L-konsistente Obermenge hat.

Das kanonische Modell von L ist ein Kripke-Modell ⟨ W , R , ⊩ ⟩ sind wie folgt:

Das kanonische Modell ist ein Modell von L, da jede L-MCS alle Theoreme von L enthält. Nach Zorns Lemma ist jede L-konsistente Menge in einer L-MCS enthalten, insbesondere hat jede in L unbeweisbare Formel ein Gegenbeispiel im kanonischen Modell.

Die Hauptanwendung kanonischer Modelle sind Vollständigkeitsbeweise. Die Eigenschaften des kanonischen Modells von K implizieren unmittelbar die Vollständigkeit von K bezüglich der Klasse aller Kripke-Frames. Dieses Argument funktioniert nicht für beliebiges L, da es keine Garantie gibt, dass der zugrunde liegende Frame des kanonischen Modells die Frame-Bedingungen von L erfüllt.

Wir sagen, dass eine Formel oder eine Menge X von Formeln kanonisch in Bezug auf eine Eigenschaft P von Kripke-Frames ist, wenn

• X in jedem Frame gültig ist, der P erfüllt,
• für jede normale Modallogik L, die X enthält, der zugrunde liegende Frame des kanonischen Modells von L die Eigenschaft P erfüllt.

Eine Vereinigung kanonischer Formelmengen ist selbst kanonisch. Aus der vorherigen Diskussion folgt, dass jede durch eine kanonische Formelmenge axiomatisierte Logik Kripke-vollständig und kompakt ist.

Die Axiome T, 4, D, B, 5, H, G und damit jede Kombination davon sind kanonisch. GL und Grz sind nicht kanonisch, da sie nicht kompakt sind. Das Axiom M allein ist nicht kanonisch Goldblatt, 1991, aber die kombinierte Logik S4.1 (eigentlich sogar K4.1) ist kanonisch.

Im Allgemeinen ist es unentscheidbar, ob ein gegebenes Axiom kanonisch ist. Wir kennen eine schöne hinreichende Bedingung: H. Sahlqvist identifizierte eine breite Klasse von Formeln, die nun Sahlqvist-Formeln genannt werden, so dass:

• eine Sahlqvist-Formel ist kanonisch,
• die Klasse der Frames, die einer Sahlqvist-Formel entsprechen, ist erstorderig definierbar,
• es gibt einen Algorithmus, der die entsprechende Frame-Bedingung für eine gegebene Sahlqvist-Formel berechnet.

Dies ist ein starkes Kriterium: zum Beispiel sind alle oben als kanonisch aufgelisteten Axiome äquivalent zu Sahlqvist-Formeln. Eine Logik hat die Finite-Model-Eigenschaft (FMP), wenn sie vollständig bezüglich einer Klasse endlicher Frames ist. Eine Anwendung dieser Vorstellung ist die Entscheidungsfrage: Aus Posts Theorem folgt, dass eine rekursiv axiomatisierte Modallogik L, die FMP hat, entscheidbar ist, vorausgesetzt, es ist entscheidbar, ob ein gegebener endlicher Frame ein Modell von L ist. Insbesondere ist jede endlich axiomatisierbare Logik mit FMP entscheidbar.

Es gibt verschiedene Methoden zum Etablieren von FMP für eine gegebene Logik. Verfeinerungen und Erweiterungen der kanonischen Modellkonstruktion funktionieren oft unter Verwendung von Werkzeugen wie Filtration oder Entwirrung. Als weitere Möglichkeit produzieren Vollständigkeitsbeweise basierend auf schnittfreien Sequenzkalkülen normalerweise direkt endliche Modelle.

Die meisten in der Praxis verwendeten modalen Systeme, einschließlich aller oben aufgelisteten, haben FMP.

In einigen Fällen können wir FMP verwenden, um die Kripke-Vollständigkeit einer Logik zu beweisen: jede normale Modallogik ist vollständig bezüglich einer Klasse von modalen Algebren, und eine endliche modale Algebra kann in einen Kripke-Frame umgewandelt werden. Als Beispiel bewies Robert Bull mit dieser Methode, dass jede normale Erweiterung von S4.3 FMP hat und Kripke-vollständig ist.

Die Kripke-Semantik hat eine unkomplizierte Verallgemeinerung auf Logiken mit mehr als einer Modalität. Ein Kripke-Frame für eine Sprache mit { ◻ i ∣ i ∈ I } als der Menge seiner Notwendigkeitsoperatoren besteht aus einer nicht-leeren Menge W, ausgestattet mit binären Relationen Ri für jedes i ∈ I. Die Definition einer Satisfaktionsrelation wird wie folgt modifiziert:

Carlson-Modelle

Eine vereinfachte Semantik, entdeckt von Tim Carlson, wird häufig für polymodale Beweisbarkeitslogiken verwendet. Ein Carlson-Modell ist eine Struktur ⟨ W , R , { D i } i ∈ I , ⊩ ⟩ mit einer einzigen Zugänglichkeitsrelation R und Teilmengen Di ⊆ W für jede Modalität. Die Zufriedenheit ist wie folgt definiert:

Carlson-Modelle sind leichter zu visualisieren und zu handhaben als übliche polymodale Kripke-Modelle; es gibt jedoch Kripke-vollständige polymodale Logiken, die Carlson-unvollständig sind.

In Semantical Considerations on Modal Logic, veröffentlicht 1963, antwortete Kripke auf eine Schwierigkeit mit klassischer Quantifizierungstheorie. Die Motivation für den weltrelativem Ansatz war, die Möglichkeit darzustellen, dass Objekte in einer Welt in einer anderen nicht existieren können. Wenn jedoch standardmäßige Quantorenregeln verwendet werden, muss jeder Term auf etwas verweisen, das in allen möglichen Welten existiert. Dies scheint unvereinbar mit unserer üblichen Praxis, Begriffe zu verwenden, um auf Dinge zu verweisen, die zufällig existieren.

Kripkes Antwort auf diese Schwierigkeit war, die Begriffe zu eliminieren. Er gab ein Beispiel für ein System, das die weltrelative Interpretation verwendet und pres