每一个优秀的数学家至少是半个哲学家,每一个优秀的哲学家至少是半个数学家。
Friedrich Ludwig Gottlob Frege是一位德国哲学家、逻辑学家和数学家。他在耶拿大学担任数学教授,被许多人认为是分析哲学之父,专注于语言哲学、逻辑学和数学哲学。虽然他在有生之年基本上被忽视,但Giuseppe Peano 1858–1932、Bertrand Russell 1872–1970以及在某种程度上Ludwig Wittgenstein 1889–1951将他的工作介绍给了后来几代哲学家。
他的贡献包括在《概念记号法》中发展现代逻辑以及在数学基础中的工作。他的著作《算术基础》是逻辑主义项目的奠基性著作,被Michael Dummett引用为确定语言学转向的位置。他的哲学论文《论义和涉及》和《思想》也被广泛引用。前者论证了两种不同类型的含义和描述主义。在《基础》和《思想》中,Frege分别就数字和命题论证柏拉图主义反对心理主义或形式主义。Russell悖论通过证明Frege在《基础》中的基本法则V是假的,从而破坏了逻辑主义项目。
生平
童年 1848–69
Frege出生于1848年,在Wismar, Mecklenburg-Schwerin,今天是Mecklenburg-Vorpommern的一部分。他的父亲Carl Karl Alexander Frege 1809–1866是一所女子高中的联合创始人和校长,直到他去世。在Carl去世后,这所学校由Frege的母亲Auguste Wilhelmine Sophie Frege(娘家姓Bialloblotzky),1815年1月12日–1898年10月14日领导;她的母亲是Auguste Amalia Maria Ballhorn,Philipp Melanchthon的后代,她的父亲是Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky,来自波兰贵族家族的后代,该家族在17世纪离开波兰。
在童年时期,Frege接触到了指导他未来科学生涯的哲学思想。例如,他的父亲为9至13岁儿童编写了一本关于德语的教科书,题为《9至13岁儿童德语教学辅助用书》第2版,Wismar 1850;第3版,Wismar和Ludwigslust: Hinstorff, 1862,其第一部分涉及语言的结构和逻辑。
Frege在Große Stadtschule Wismar上学,并于1869年毕业。他的教师Gustav Adolf Leo Sachse 1843年11月5日–1909年9月1日是一位诗人,在决定Frege未来科学生涯中发挥了最重要的作用,鼓励他继续在耶拿大学深造。
大学学习 1869–74
1869年春季,作为北德意志联邦的公民,Frege进入耶拿大学。在他四个学期的学习中,他参加了大约二十门讲座课程,其中大部分是数学和物理课程。他最重要的教师是Ernst Karl Abbe 1840–1905;物理学家、数学家和发明家。Abbe讲授重力理论、电磁和电动力学、复分析复变函数理论、物理应用、力学精选部分和固体力学。对于Frege来说,Abbe不仅仅是一位教师:他是一位信赖的朋友,并且作为光学制造商Carl Zeiss AG的董事,他处于能够推进Frege职业发展的位置。Frege毕业后,他们进入了更密切的通信。
他其他杰出的大学教师包括Christian Philipp Karl Snell 1806–86;科目:无穷小分析在几何中的应用、平面解析几何、分析力学、光学、力学的物理基础;Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900;解析几何、应用物理学、代数分析、电报和其他电子机器;以及哲学家Kuno Fischer 1824–1907;康德哲学和批判哲学。
从1871年开始,Frege在哥廷根继续他的学习,哥廷根是德语地区数学的领先大学,他在那里参加了Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72;解析几何、Ernst Christian Julius Schering 1824–97;函数论、Wilhelm Eduard Weber 1804–91;物理研究、应用物理学、Eduard Riecke 1845–1915;电学理论以及Hermann Lotze 1817–81;宗教哲学的讲座。成熟时期Frege许多哲学学说都与Lotze有相似之处;这一直是学术辩论的主题,即Frege从参加Lotze讲座中是否直接受到影响。
1873年,Frege在Ernst Christian Julius Schering指导下获得博士学位,博士论文题为《平面中虚数形式的几何表示》,他旨在解决几何中的基本问题,如射影几何无穷远虚点的数学解释。
Frege于1887年3月14日与Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 1856年2月15日–1904年6月25日结婚。
作为逻辑学家的工作
虽然他的教育和早期数学工作主要集中在几何上,但Frege的工作很快转向逻辑。他的《按算术方式构建的纯思维公式语言——概念记号法》,Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879标志着逻辑历史的转折点。《概念记号法》开辟了新天地,包括对函数和变量观念的严格处理。Frege的目标是表明数学源于逻辑,在这样做的过程中,他开发了超越传统逻辑中留下的亚里士多德三段论和斯多葛命题逻辑的技术。
实际上,Frege在很大程度上由于他发明了量化变量,发明了公理化谓词逻辑,量化变量最终在数学和逻辑中无处不在,并解决了多重普遍性的问题。以前的逻辑处理了逻辑常数"与"、"或"、"如果...那么..."、"非"以及"某些"和"全部",但这些运算的迭代,特别是"某些"和"全部",理解甚少:即使是"每个男孩都爱某个女孩"和"某个女孩被每个男孩爱"这样的句子之间的区别也只能非常人为地表示,而Frege的形式主义可以毫无困难地表达"每个男孩都爱某个爱某个男孩的女孩,他爱某个女孩"这样的句子的不同读法,与他对"每个男孩都是愚蠢的"这样的处理完全平行。
一个经常被提及的例子是亚里士多德的逻辑无法表示数学陈述,比如欧几里得定理,这是数论的基本陈述,即有无穷多个素数。然而,Frege的"概念记号法"可以表示这样的推论。逻辑概念的分析和形式化机制对Bertrand Russell 1872–1970和Alfred North Whitehead 1861–1947的《数学原理》3卷,1910–13、对Russell的描述论、对Kurt Gödel 1906–78的不完全定理以及对Alfred Tarski 1901–83的真理论至关重要,最终源于Frege。
Frege的一个既定目的是隔离纯粹的逻辑推论原则,以便在数学证明的恰当表示中,人们在任何点都不会诉诸"直觉"。如果存在直觉元素,它将被隔离并单独表示为一个公理:从那时起,证明纯粹是逻辑的,没有间隙。展示了这种可能性后,Frege更大的目的是为算术是逻辑的一个分支这一观点辩护,这一观点被称为逻辑主义:与几何不同,算术被显示为在"直觉"中没有基础,也不需要非逻辑公理。早在1879年的《概念记号法》中,重要的初步定理,例如三分法的广义形式,就在Frege认为是纯逻辑的范围内推导出来了。
这个想法在非符号术语中在他的《算术基础》《算术基础》,1884年中被表述。后来,在他的《算术基本法则》《算术基本法则》,第1卷,1893年;第2卷,1903年;第2卷由他自费出版中,Frege试图使用他的符号主义,从他声称为逻辑的公理推导算术的所有法则。这些公理中的大多数是从他的《概念记号法》中继承的,尽管没有一些重要的改变。唯一真正的新原则是他称之为基本法则V的:函数fx的"值域"与函数gx的"值域"相同,当且仅当∀x。
该法则的关键情形可以用现代记号表述如下。设{x|Fx}表示谓词Fx的外延,即所有F的集合,Gx也类似。那么基本法则V说谓词Fx和Gx具有相同的外延,当且仅当∀x。F的集合与G的集合相同,当且仅当每个F是一个G,每个G是一个F。该情形是特殊的,因为这里所称的谓词的外延或一个集合只是函数的"值域"的一种类型。
在一个著名的事件中,当《基本法则》第2卷即将在1903年付印时,Bertrand Russell写信给Frege,展示Russell悖论可以从Frege的基本法则V推导出来。在Frege的系统中很容易定义集合或外延的成员关系;Russell随后引起人们对"不属于自身的事物x的集合"的注意。《基本法则》系统蕴含这样特征化的集合既是又不是自身的成员,因此是不一致的。Frege匆忙地为第2卷写了一个最后一刻的附录,推导出矛盾并提议通过修改基本法则V来消除它。Frege用异常诚实的评论开始了附录:"对于科学作家来说,几乎没有比在工作完成后自己大厦的一个基础被动摇更不幸的事情了。这正是我被Mr. Bertrand Russell的来信所面临的境况,正当这卷的印刷接近完成时。"这封信和Frege的回复在Jean van Heijenoort 1967中被翻译。
Frege建议的补救措施后来被证明意味着宇宙话语中只有一个对象,因此毫无价值;实际上,如果他对Frege讨论中基本的想法进行了公理化,这将在Frege的系统中造成矛盾,即真和假是不同的对象;见例如Dummett 1973,但最近的工作表明《基本法则》的许多项目可能以其他方式被拯救:
- 基本法则V可以以其他方式被削弱。最著名的方法来自哲学家和数学逻辑学家George Boolos 1940–1996,他是Frege工作的专家。一个"概念"F是"小"的,如果属于F的对象不能与话语宇宙进行一一对应,即,除非:∃R[R is 1-to-1 & ∀x∃yxRy & Fy]。现在将V削弱为V*:"概念"F和"概念"G具有相同的"外延",当且仅当F和G都不是小的或∀xFx ↔ Gx。如果二阶算术是一致的,V*也是一致的,并且足以证明二阶算术的公理。
- 基本法则V可以简单地用Hume原理代替,该原理说F的数量与G的数量相同,当且仅当F可以与G进行一一对应。这个原理也是一致的,如果二阶算术是一致的,并且足以证明二阶算术的公理。这个结果被称为Frege定理,因为人们注意到在发展算术时,Frege对基本法则V的使用仅限于对Hume原理的证明;正是从这一点出发,算术原理才被推导出来。关于Hume原理和Frege定理,见《Frege逻辑、定理和算术基础》。
- Frege的逻辑,现在被称为二阶逻辑,可以被削弱为所谓的谓词二阶逻辑。谓词二阶逻辑加上基本法则V可以通过有限主义或构造方法证明一致,但它只能解释算术的非常弱的片段。
Frege在逻辑中的工作在1903年之前获得很少的国际关注,当时Russell在《数学原理》的附录中陈述了他与Frege的分歧。Frege使用的图表记号没有先例,之后也没有模仿者。此外,直到Russell和Whitehead的《数学原理》3卷出现在1910–13年,数学逻辑的主流方法仍然是George Boole 1815–64及其思想继承者,特别是Ernst Schröder 1841–1902的方法。然而,Frege的逻辑思想通过他的学生Rudolf Carnap 1891–1970和其他仰慕者的著作传播,特别是Bertrand Russell和Ludwig Wittgenstein 1889–1951。
哲学家
Frege是分析哲学的奠基人之一,他在逻辑和语言方面的工作引发了哲学中的语言学转向。他对语言哲学的贡献包括:
- 命题的函数和论元分析;
- 概念和对象之间的区分 Begriff und Gegensta
