Saul Kripke

Bir duyumun ağrı olarak hissedilmesi, onun ağrı olması demektir.

Saul Aaron Kripke, analitik geleneğe bağlı bir Amerikalı filozof ve mantıkçıdır. City University of New York Mezun Merkezi'nde Felsefe alanında Ayırt Edici Profesör ve Princeton Üniversitesi'nde emeritus profesördür. 1960'lar desde itibaren Kripke, matematiksel mantık, modal mantık, dil felsefesi, matematik felsefesi, metafizik, epistemoloji ve rekürsyon teorisi ile ilgili çok sayıda alanın merkezi bir figürü olmuştur. Eserlerinin çoğu yayınlanmamış veya yalnızca ses kayıtları ve özel olarak dolaştırılan el yazmaları olarak mevcuttur.

Kripke, özellikle modal mantık olmak üzere mantıkta etkili ve orijinal katkılar yapmıştır. Temel katkısı, artık Kripke semantiği olarak adlandırılan olası dünyaları içeren modal mantık için bir semantiktir. 2001 yılında Mantık ve Felsefe alanında Schock Ödülü'nü aldı.

Kripke, mantıksal pozitivizmin düşüşünden sonra metafiziğin canlanmasından da kısmen sorumludur. Gerekliliğin epistemik a priori nosyonundan farklı bir metafizik nosyon olduğunu ve su H2O olmak gibi a posteriori bilinen gerekli gerçekliklerin var olduğunu iddia etmiştir. 1970 yılında Princeton'da verilen ve 1980 yılında "Naming and Necessity" (İsimler ve Gereklilik) adlı bir kitap olarak yayınlanan ders serisi, 20. yüzyılın en önemli felsefi eserlerinden biri olarak kabul edilir. İsimler, olası her dünyada gerçek olan katı belirleyiciler olarak tanıtılır ve açıklamalarla karşılaştırılır. Ayrıca Gottlob Frege'nin anlam kavramında ve Bertrand Russell'ın betimlemeler teorisinde bulunan betimlemeci teoriyi tartışan Kripke'nin referansın nedensel teorisini içerir.

Kripke ayrıca "Wittgenstein on Rules and Private Language" (Wittgenstein Kurallar ve Özel Dil Üzerine) adlı eserinde Ludwig Wittgenstein'ın "Kripkenstein" olarak bilinen orijinal bir okumasını yaptı. Kitap, anlam hakkında şüpheciliğe karşı bir paradoks olan kural izleme argümanını içerir.

Yaşamı ve Kariyer

Saul Kripke, Dorothy K. Kripke ve Haham Myer S. Kripke'nın doğan üç çocuğun en büyüğüdür. Babası, Omaha, Nebraska'daki tek Muhafazakar cemaat olan Beth El Sinagogu'nun lideri idi; annesi çocuklar için eğitici Yahudi kitapları yazmıştır. Saul ve iki kız kardeşi Madeline ve Netta, Dundee Ortaokulu ve Omaha Central Lise'sine gittiler. Kripke bir dahiyiz olarak etiketlendi ve altı yaşında Antik İbranice'yi kendine öğretti, dokuz yaşında Shakespeare'in tüm eserlerini okudu ve ilkokulu bitirmeden Descartes'in eserlerini ve karmaşık matematiksel problemleri iyi derecede anladı. 17 yaşında modal mantıkta ilk tamlık teoremini yazıp bir yıl sonra yayınlattı. 1958'de liseden mezun olduktan sonra Harvard Üniversitesi'ne gitti ve 1962'de matematikten summa cum laude honları ile lisans derecesi aldı. Harvard'daki ikinci yılında yakındaki MIT'de lisansüstü düzey mantık dersi öğretirdi. Mezun olduktan sonra Fulbright Bursunu aldı ve 1963'te Fellows Derneği'ne atandı. Kripke daha sonra "Üniversiteyi atlayabilseydim keşke dedi. İlginç insanlar tanıdım ama öğrendiğim bir şey olduğunu söyleyemem. Muhtemelen hepsi zaten kendi başıma okuyarak öğrenirdim" dedi.

Harvard'da kısa bir süre öğrettikten sonra, 1968'de Kripke New York'ta Rockefeller Üniversitesi'ne taşındı ve 1976'ya kadar orada öğretti. 1978'de Princeton Üniversitesi'nde başkanlı bir profesörlük görevi aldı. 1988'de üniversitenin insani bilimlerde başarı için Behrman Ödülü'nü aldı. 2002'de Kripke CUNY Mezun Merkezi'nde öğretmeye başladı ve 2003'te burada felsefe alanında ayırt edici profesör olarak atandı.

Kripke, Nebraska Üniversitesi'nden 1977, Johns Hopkins Üniversitesi'nden 1997, Haifa Üniversitesi'nden (İsrail) 1998 ve Pennsylvania Üniversitesi'nden 2005'te onursal dereceler almıştır. American Philosophical Society üyesi ve American Academy of Arts and Sciences'ın seçilmiş üyesidir ve 1985'te British Academy'nin Corresponding Fellow'ıydı. 2001 yılında Mantık ve Felsefe alanında Schock Ödülü kazandı.

Kripke, filozof Margaret Gilbert ile evliydi. Televizyon yazarı, yönetmeni ve yapımcısı Eric Kripke'nin ikinci kuzen bir kez uzaktan akrabası mıdır.

Çalışma

Kripke'nin felsefeye yaptığı katkılar şunları içerir:

1. Modal ve ilgili mantıklar için Kripke semantiği, gençliğinden başlayarak birkaç makalede yayınlandı.
2. 1970 Princeton dersleri "Naming and Necessity" (İsimler ve Gereklilik), 1972 ve 1980'de yayınlanan ve dil felsefesini önemli ölçüde yeniden yapılandıran eser.
3. Wittgenstein yorumu.
4. Doğruluk teorisi.

Ayrıca rekürsyon teorisine de katkıda bulunmuş, admissible ordinal ve Kripke–Platek set teorisine bakınız.

Modal Mantık

Kripke'nin ilk eserlerinden ikisi, "A Completeness Theorem in Modal Logic" (Modal Mantıkta Tamlık Teoremi) 1959 ve "Semantical Considerations on Modal Logic" (Modal Mantık Hakkında Semantiksel Değerlendirmeler) 1963, ilki bir ödünç çocukken yazılmış, modal mantık hakkında idi. Modal ailede en tanıdık mantıklar, K olarak adlandırılan zayıf mantık denilen mantıktan oluşturulmuştur ve bu Kripke'nin adı verilmiştir. Kripke, şimdi standart Kripke semantiği olarak da bilinen ilişkisel semantik veya çerçeve semantiği modal mantıklar için tanıtmıştır. Kripke semantiği, klasik olmayan mantık sistemleri için bir biçimsel semantiktir. İlk olarak modal mantıklar için yapılmış ve daha sonra sezgisel mantık ve diğer klasik olmayan sistemlere uyarlanmıştır. Kripke semantiğinin keşfi, klasik olmayan mantıkların yapılmasında, çünkü böyle mantıkların model teorisi Kripke'den önce yoktu, bir atılımdır.

Bir Kripke çerçevesi veya modal çerçevesi bir çift ⟨ W , R ⟩ , W boş olmayan bir küme ve R, W üzerinde ikili bir ilişkidir. W öğeleri düğümler veya dünyalar denir ve R erişilebilirlik ilişkisi olarak bilinir. Erişilebilirlik ilişkisinin özelliklerine bağlı olarak geçişlilik, refleksivite, vb., karşılık gelen çerçeve, uzantı ile geçişli, refleksif, vb. olarak tanımlanır.

Bir Kripke modeli, ⟨ W , R , ⊩ ⟩ üçlüsü W düğümleri ile modal formülleri arasında bir ilişkidir, öyle ki:

• w ⊩ ¬ A ,
• w ⊩ A → B ,
• w ⊩ ◻ A .

w ⊩ A'yı okumuşuz tatmin ilişkisi, değerlendirme veya zorlama ilişkisi denir. Tatmin ilişkisi önerme değişkenleri üzerindeki değeri tarafından benzersiz olarak belirlenir.

Bir formül A'ya göre geçerlidir:

• bir model ⟨ W , R , ⊩ ⟩ için tüm w ∈ W,
• bir çerçeve ⟨ W , R ⟩ ,
• çerçevelerin veya modellerin sınıfı C, eğer C'nin her üyesinde geçerli ise.

ThmC'yi C'de geçerli olan tüm formüllerin kümesi olarak tanımlarız. Tersine, X formüllerinin bir kümesi ise, ModX, X'ten her formülü onaylayan tüm çerçevelerin sınıfı olsun.

Bir modal mantık yani, formüllerin bir kümesi L, çerçevelerin sınıfı C'ye göre sağlam ise, L ⊆ ThmC ise. L, C'ye göre tam ise L ⊇ ThmC.

Semantik, bir mantığın araştırılmasında yararlıdır, yani, bir çıkarım sistemi, ancak semantiksel çıkarım ilişkisi sözdizimsel muadili olan sonuç ilişkisini yansıtırsa. Hangi modal mantıkların Kripke çerçeveleri sınıfına göre sağlam ve tam olduğunu bilmek önemlidir ve bunun için hangi sınıf olduğunu belirlemektir.

Kripke çerçeveleri sınıfı C için, ThmC özellikle normal modal mantık K'nin teoremler her Kripke modelinde geçerlidir. Ancak, tersinin genel olarak tutmadığı. Kripke tamamlanmamış normal modal mantıklar var, bu sorunsuzdur, çünkü çalışılan modal sistemlerin çoğu basit koşullar ile tanımlanan çerçeveler sınıflarının tamamlandığı.

Normal modal mantık L, C çerçeveleri sınıfına karşılık gelirse C = ModL. Başka bir deyişle, C, L'nin wrt'sine göre sağlam olduğu en büyük çerçeveler sınıfıdır. L, Kripke tamamlanmışsa ve ancak karşılık gelen sınıfının tamamlanmışsa takip eder.

Şema T'yi düşünün : ◻ A → A . T refleksif Kripke çerçeveleri sınıfına karşılık gelir.

Genellikle L'nin karşılık gelen sınıfını karakterize etmek, tamlığını kanıtlamaktan çok daha kolaydır, bu nedenle yazışma tamlık kanıtlarına rehberlik olarak hizmet eder. Yazışma ayrıca modal mantıkların eksikliğini göstermek için kullanılır: L1 ⊆ L2 normal modal mantıklar ve aynı çerçeve sınıfına karşılık gelir, ancak L1, L2'nin tüm teoremlerini kanıtlamaz. Sonra L1, Kripke tamamlanmamıştır. Örneğin, şema ◻ A ≡ ◻ A → ◻ A .

Kanonik Modeller

Herhangi bir normal modal mantık L için, tam olarak L'nin teoremlerini onaylayan Kripke modeli olan kanonik model, maksimum tutarlı kümeler modellerini kullanan standart tekniğin bir uyarlaması tarafından oluşturulabilir. Kanonik Kripke modelleri, cebirsel semantiklerde Lindenbaum–Tarski cebir yapısına benzer bir rol oynar.

Formül kümesi, L'nin aksiyomları ve modus ponens kullanılarak bir çelişki çıkarılamıyorsa L tutarlıdır. Maksimum L tutarlı kümesi kısa için L-MCS, hiçbir düzgün L tutarlı üst kümesi olmayan bir L tutarlı kümedir.

L'nin kanonik modeli, bir Kripke modeli ⟨ W , R , ⊩ ⟩ aşağıdaki gibidir:

Kanonik model, her L-MCS, L'nin tüm teoremlerini içerdiğinden, L'nin bir modelidir. Zorn'un lemasına göre, her L tutarlı kümesi bir L-MCS'ye dahil edilir, özellikle L'de kanıtlanamayan her formülün kanonik modelde bir karşı örneği vardır.

Kanonik modellerin ana uygulaması, tamlık kanıtlarıdır. K'nin kanonik modelinin özellikleri, K'nin tüm Kripke çerçeveleri sınıfına göre tamlığını hemen ifade eder. Bu argüman keyfi L için çalışmaz, çünkü kanonik modelin temel çerçevesinin L'nin çerçeve koşullarını karşılaması garantisi yoktur.

Bir formülün veya bir formül kümesi X'in Kripke çerçevelerinin P özelliğine göre kanonik olduğunu söylüyoruz, eğer

• X, P'yi karşılayan her çerçevede geçerlidir,
• X'i içeren herhangi bir normal modal mantık L için, L'nin kanonik modelinin temel çerçevesi P'yi karşılar.

Kanonik formül kümelerinin birleşimi kendisi kanoniktir. Önceki tartışmadan, kanonik formül kümesi tarafından aksiyomatize edilen herhangi bir mantığın Kripke tamamlanmış ve kompakt olduğu sonuç çıkar.

T, 4, D, B, 5, H, G aksiyomları ve dolayısıyla bunlardan herhangi bir kombinasyon kanonikdir. GL ve Grz kanonik değildir, çünkü kompakt değildir. M aksiyomu tek başına kanonik değildir Goldblatt, 1991, ancak birleşik mantık S4.1, aslında, hatta K4.1 kanonikdir.

Genel olarak, verilen bir aksiyomun kanonik olup olmadığını belirlemek karar verilemez. Güzel bir yeterli koşulu biliyoruz: H. Sahlqvist, şu anda Sahlqvist formülleri olarak adlandırılan geniş bir formül sınıfı tanımladı:

• bir Sahlqvist formülü kanoniktir,
• bir Sahlqvist formülüne karşılık gelen çerçevelerin sınıfı birinci dereceden tanımlanabilir,
• verilen bir Sahlqvist formülüne karşılık gelen çerçeve koşulunu hesaplayan bir algoritma vardır.

Bu güçlü bir kriterdir: örneğin, yukarıda kanonik olarak listelenen tüm aksiyomlar Sahlqvist formüllerine eşdeğerdir. Bir mantık, sonlu çerçeveler sınıfına göre tamamlanmışsa, sonlu model özelliğine (FMP) sahiptir. Bu nosyonun bir uygulaması, karar verilebilirlik sorusudur: Post teoreminden, FMP'ye sahip olan yinelemeli olarak aksiyomatize edilmiş bir modal mantık L, belirli bir sonlu çerçevenin L'nin modeli olup olmadığını karar vermek karar verilebilirse, karar verilebilir. Özellikle, FMP'li her sonlu aksiyomatize edilebilir mantık karar verilebilir.

Belirli bir mantık için FMP'yi kurmanın çeşitli yöntemleri vardır. Kanonik model yapısının iyileştirmeleri ve uzantıları, filtrasyon veya açılım gibi araçları kullanarak sıklıkla çalışır. Başka bir olasılık olarak, kesintisiz sekvent hesaplamasına dayanan tamlık kanıtları genellikle sonlu modelleri doğrudan üretir.

Pratikte kullanılan modal sistemlerin çoğu, yukarıda listelenenlerin tümü FMP'ye sahiptir.

Bazı durumlarda, bir mantığın Kripke tamlığını kanıtlamak için FMP'yi kullanabiliriz: her normal modal mantık, modal cebirler sınıfına göre tamamlanmış ve sonlu modal cebir, bir Kripke çerçevesine dönüştürülebilir. Örnek olarak, Robert Bull bu yöntemi kullanarak, S4.3'in her normal uzantısının FMP'ye sahip olduğunu ve Kripke tamamlanmış olduğunu kanıtladı.

Kripke semantiği, birden fazla modaliteye sahip mantıklar için basit bir genellemeye sahiptir. { ◻ i ∣ i ∈ I } gereklilik operatörleri kümesi olarak dile sahip bir Kripke çerçevesi, her i ∈ I için ikili ilişkiler Ri ile donatılmış boş olmayan W kümesinden oluşur. Tatmin ilişkisinin tanımı aşağıdaki şekilde değiştirilir:

Carlson Modelleri

Tim Carlson tarafından keşfedilen basitleştirilmiş semantik, genellikle çok modal kanıtlanabilirlik mantıkları için kullanılır. Carlson modeli, ⟨ W , R , { D i } i ∈ I , ⊩ ⟩ yapısıdır ve tek erişilebilirlik ilişkisi R ve her modalite için alt kümeler Di ⊆ W vardır. Tatmin olarak tanımlanır:

Carlson modelleri, olağan çok modal Kripke modellerinden daha kolay görselleştirilir ve çalışılır; ancak, Kripke tamamlanmış çok modal mantıklar vardır ancak Carlson tamamlanmamıştır.

1963'te yayınlanan "Semantical Considerations on Modal Logic" (Modal Mantık Hakkında Semantiksel Değerlendirmeler) adlı eserde, Kripke klasik niceleyici teorisi ile bir zorluk hakkında cevap verdi. Dünya-göreceli yaklaşımın motivasyonu, bir dünyada nesnelerin başka bir dünyada var olmayabileceğinin olasılığını temsil etmekti. Bununla birlikte, standart niceleştirici kuralları kullanılırsa, her terimin tüm olası dünyalarda var olan bir şeye atıfta bulunması gerekir. Bu, koşullu olarak var olan şeylere atıfta bulunmak için terimleri kullanma alışkanlığımızla uyumsuz görünmektedir.

Kripke'nin bu zorlukta cevabı terimleri ortadan kaldırmaktı. O, dünya-göreceli yorumu kullanan ve