Если доказательство правильно, то никакое другое признание не требуется
Григорий Яковлевич Перельман — российский математик, известный своими вкладами в области геометрического анализа, геометрии Римана и геометрической топологии.
В 1990-х годах, частично в сотрудничестве с Юрием Бураго, Михаилом Громовым и Антоном Петруниным, он внес значительный вклад в изучение пространств Александрова. В 1994 году он доказал гипотезу о душе в геометрии Римана, которая была открытой проблемой в течение предыдущих 20 лет. В 2002 и 2003 годах он разработал новые методы анализа потока Риччи, предоставив таким образом подробный набросок доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Тёрстона, первая из которых была знаменитой открытой проблемой в математике в течение прошлого столетия. Полные детали работы Перельмана были заполнены и объяснены различными авторами в течение следующих нескольких лет.
В августе 2006 года Перельман получил предложение принять медаль Филдса за «его вклад в геометрию и революционное понимание аналитической и геометрической структуры потока Риччи», но он отклонил награду, заявив: «Меня не интересуют деньги или слава; я не хочу быть выставленным напоказ, как животное в зоопарке». 22 декабря 2006 года научный журнал Science признал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «Прорывом года», первым таким признанием в области математики.
18 марта 2010 года было объявлено, что он соответствует критериям для получения первой премии Клэя «Тысячелетие» за разрешение гипотезы Пуанкаре. 1 июля 2010 года он отклонил награду в один миллион долларов, сказав, что считает решение совета Clay Institute несправедливым, поскольку его вклад в решение гипотезы Пуанкаре не был больше, чем вклад Richard S. Hamilton, математика, который пионерски разработал поток Риччи отчасти с целью атаки на гипотезу. Ранее он отклонил престижную премию Европейского математического общества в 1996 году.
Ранняя жизнь и образование
Григорий Яковлевич Перельман родился в Ленинграде, Советский Союз (ныне Saint Petersburg, Russia) 13 июня 1966 года в семье русско-еврейских родителей Якова, который теперь живет в Israel, и Любови, которая по-прежнему живет в Saint Petersburg вместе с Григорием. Мать Григория Любовь отказалась от аспирантуры по математике, чтобы воспитать его. Математический талант Григория проявился в возрасте десяти лет, и его мать записала его в программу математической подготовки после школы Сергея Рукшина.
Его математическое образование продолжилось в Ленинградской средней школе № 239, специализированной школе с продвинутыми программами по математике и физике. Григорий преуспел во всех предметах, кроме физического воспитания. В 1982 году, как член советской команды, участвующей в Международной математической олимпиаде, международном конкурсе для учащихся средних школ, он выиграл золотую медаль, достигнув идеального балла. Он продолжал учиться в Школе математики и механики Ленинградского государственного университета без экзаменов при приеме и был зачислен в университет.
После завершения своей докторской диссертации в 1990 году, Перельман начал работать в Ленинградском отделении Математического института имени Стеклова АН СССР, где его советниками были Александр Александров и Юрий Бураго. В конце 1980-х и начале 1990-х годов, с сильной рекомендацией геометра Михаила Громова, Перельман получил научные должности в нескольких университетах Соединенных Штатов. В 1991 году Перельман выиграл премию молодого математика Saint Petersburg Mathematical Society за свою работу по пространствам Александрова с кривизной, ограниченной снизу. В 1992 году он был приглашен провести семестр в Courant Institute в New York University и Stony Brook University, где он начал работу над многообразиями с нижними границами кривизны Риччи. Оттуда он принял двухгодичную стипендию Miller Research Fellowship в University of California, Berkeley в 1993 году. После доказательства гипотезы о душе в 1994 году ему были предложены должности в нескольких ведущих университетах США, включая Princeton и Stanford, но он отклонил их все и вернулся в Математический институт имени Стеклова в Saint Petersburg летом 1995 года на позицию только для исследований.
Исследования в 1990-х
Наиболее значительная работа Перельмана в этот период была в области пространств Александрова, концепция которых восходит к 1950-м годам. В известной статье 1992 года, написанной в соавторстве с Юрием Бураго и Михаилом Громовым, Перельман изложил современные основы этой области, с понятием сходимости Громова-Хаусдорфа в качестве организующего принципа. В 1993 году Перельман развил понятие теории Морса на этих неглавных пространствах. За свою работу по пространствам Александрова Перельман был приглашен читать лекции на Международном конгрессе математиков 1994 года.
Гипотеза о душе Чигера и Громолла, сформулированная в 1972 году, гласит:
Предположим, что (M, g) — полное, связное и некомпактное риманово многообразие с сечионной кривизной K ≥ 0, и существует точка в M, в которой сечионная кривизна (во всех сечионных направлениях) строго положительна. Тогда душа M — это точка; эквивалентно, M диффеоморфно Rn.
Это было важно, поскольку Чигер и Громолл установили результат при более сильном предположении, что все сечионные кривизны положительны. Поскольку деформация от неотрицательной к положительной кривизне не очень хорошо понимается, была предложена гипотеза о душе. В 1994 году Перельман дал короткое и элегантное доказательство гипотезы, установив, что в общем случае K ≥ 0, втягивание Шарафутдинова P : M → S является субмерсией.
Три знаменитые статьи Перельмана с 1994 по 1997 год имеют дело с построением различных интересных римановых многообразий с положительной кривизной Риччи.
Гипотезы геометризации и Пуанкаре
Проблема
Гипотеза Пуанкаре, предложенная французским математиком Henri Poincaré в 1904 году, была одной из ключевых проблем в топологии. Любой цикл на трехмерной сфере — как показано множеством точек на расстоянии 1 от начала координат в четырехмерном евклидовом пространстве — может быть стянут в точку. Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое замкнутое трехмерное многообразие, такое, что любой цикл может быть стянут в точку, топологически является трехмерной сферой. Аналогичный результат известен как верный в размерностях, большей или равной пяти, начиная с 1960 года, как в работе Stephen Smale. Четырехмерный случай сопротивлялся дольше, окончательно решенный в 1982 году Michael Freedman. Но случай трехмерных многообразий оказался самым сложным из всех. Грубо говоря, это потому, что при топологической манипуляции трехмерным многообразием есть слишком мало измерений для перемещения «проблемных областей» в сторону без вмешательства во что-то другое. Наиболее фундаментальный вклад в трехмерный случай был произведен Richard S. Hamilton. Роль Перельмана заключалась в завершении программы Гамильтона.
Доказательство Перельмана
В ноябре 2002 года Перельман опубликовал первый из трех препринтов на arXiv, в котором он утверждал, что набросал доказательство гипотезы геометризации, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре. За этим последовали два других препринта в 2003 году.
Перельман модифицировал программу Richard S. Hamilton для доказательства гипотезы. Центральная идея — это понятие потока Риччи. Фундаментальная идея Гамильтона — сформулировать «динамический процесс», в котором данное трехмерное многообразие геометрически искажается, при этом процесс искажения управляется дифференциальным уравнением, аналогичным уравнению теплопроводности. Уравнение теплопроводности, которое намного раньше побудило Riemann сформулировать свою гипотезу Римана о нулях дзета-функции, описывает поведение скалярных величин, таких как температура. Это гарантирует, что концентрации повышенной температуры будут распространяться до достижения равномерной температуры по всему объекту. Аналогично, поток Риччи описывает поведение тензорной величины, тензора кривизны Риччи. Надежда Гамильтона была в том, что под потоком Риччи концентрации большой кривизны будут распространяться до достижения равномерной кривизны по всему трехмерному многообразию. Если это так, если начать с любого трехмерного многообразия и позволить потоку Риччи происходить, то, в принципе, в итоге должна быть получена своего рода «нормальная форма». По словам William Thurston, эта нормальная форма должна принимать одно из небольшого числа возможностей, каждая из которых имеет другой вид геометрии, называемый геометриями модели Тёрстона.
Однако широко ожидалось, что процесс будет затруднен развитием «особенностей». В 1990-х годах Гамильтон добился прогресса в понимании возможных типов особенностей, которые могут возникнуть, но не смог предоставить полное описание. Статьи Перельмана набросали решение. По словам Перельмана, каждая особенность выглядит либо как цилиндр, коллапсирующий к своей оси, либо как сфера, коллапсирующая к своему центру. С этим пониманием, он смог построить модификацию стандартного потока Риччи, называемую потоком Риччи с хирургией, который может систематически удалять сингулярные области по мере их развития контролируемым образом. Идея потока Риччи с хирургией была присутствует с 1993 года в статье Гамильтона, которую он успешно реализовал в 1997 году в контексте высокомерных пространств, подчиняющихся определенным ограниченным геометрическим условиям. Процедура хирургии Перельмана была в целом похожа на процедуру Гамильтона, но была поразительно отличной в своих технических аспектах.
Перельман показал, что любая особенность, которая развивается в конечное время, по существу представляет собой «зажим» вдоль определенных сфер, соответствующих простому разложению трехмерного многообразия. Кроме того, любые «бесконечно времени» особенности возникают из определенных коллапсирующих частей разложения JSJ. Работа Перельмана доказывает это утверждение и, таким образом, доказывает гипотезу геометризации.
Содержание трех статей суммируется ниже:
- Первый препринт «Формула энтропии для потока Риччи и его геометрические приложения» предоставляет множество новых методов в изучении потока Риччи, главный результат которого — теорема, дающая количественную характеристику областей высокой кривизны потока.
- Второй препринт «Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях» исправляет некоторые неправильные утверждения первой статьи и заполняет некоторые детали, и использует главный результат первой статьи для назначения процедуры хирургии. Вторая половина статьи посвящена анализу потоков Риччи, которые существуют в течение бесконечного времени.
- Третий препринт «Конечное время вымирания для решений потока Риччи на определенных трехмерных многообразиях» предоставляет ярлык к доказательству гипотезы Пуанкаре, который избегает аргументов во второй половине второго препринта. Это показывает, что в любом пространстве, удовлетворяющем предположениям гипотезы Пуанкаре, поток Риччи с хирургией существует только в течение конечного времени, так что анализ потока Риччи в течение бесконечного времени неуместен.
Tobias Colding и William Minicozzi II предоставили полностью альтернативный аргумент третьему препринту Перельмана. Их аргумент, учитывая предпосылку некоторых сложных аргументов геометрической теории меры, разработанных в 1980-х годах, особенно прост.
Проверка
Препринты Перельмана быстро привлекли внимание математического сообщества, хотя они широко рассматривались как сложные для понимания, поскольку были написаны довольно кратко. Вопреки обычному стилю в академических математических публикациях, многие технические детали были опущены. Вскоре стало очевидно, что Перельман внес значительный вклад в основы потока Риччи, хотя сразу не было ясно математическому сообществу, что эти вклады достаточны для доказательства гипотезы геометризации или гипотезы Пуанкаре.
В апреле 2003 года Перельман посетил Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University и New York University, чтобы прочитать краткую серию лекций о своей работе и уточнить некоторые детали для экспертов в соответствующих областях.
В июне 2003 года Bruce Kleiner и John Lott, оба тогда из University of Michigan, опубликовали заметки на веб-сайте Lott, которые, раздел за разделом, заполнили множество деталей в первом препринте Перельмана. В сентябре 2004 года их заметки были обновлены, чтобы включить второй препринт Перельмана. После дальнейших пересмотров и исправлений, они опубликовали версию на arXiv 25 мая 2006 года, модифицированная версия которой была опубликована в академическом журнале Geometry & Topology в 2008 году. На Международном конгрессе математиков 2006 года Lott сказал «Нам потребовалось некоторое время, чтобы изучить работу Перельмана. Это отчасти связано с оригинальностью работы Перельмана и отчасти с технической сложностью его аргументов. Все указания на то, что его аргументы правильны». Во введении к своей статье Kleiner и Lott объяснили
Доказательства Перельмана кратки и временами эскизны. Цель этих заметок — предоставить детали, которые отсутствуют в [первых двух препринтах Перельмана]... Что касается доказательств, [статьи Перельмана] содержат некоторые неправильные утверждения и неполные аргументы, которые мы попытались указать читателю. (Некоторые ошибки в [первой статье Перельмана] были исправлены в [второй статье Перельмана].) Мы не нашли никаких серьезных проблем, имея в виду проблемы, которые не могут быть исправлены с помощью методов, введенных Перельманом.
В июне 2006 года Asian Journal of Mathematics опубликовал
