Мы должны знать. Мы будем знать.
David Hilbert был немецким математиком и одним из наиболее влиятельных и универсальных математиков 19-го и начала 20-го века. Hilbert открыл и развил широкий спектр фундаментальных идей во многих областях, включая теорию инвариантов, вариационное исчисление, коммутативную алгебру, алгебраическую теорию чисел, основания геометрии, спектральную теорию операторов и её применение к интегральным уравнениям, математическую физику и основания математики, особенно теорию доказательств.
Hilbert принял и горячо защищал теорию множеств Georg Cantor и трансфинитные числа. Знаменитый пример его лидерства в математике — его представление в 1900 году набора задач, которые определили направление большей части математических исследований 20-го века.
Hilbert и его студенты внесли значительный вклад в установление строгости и разработали важные инструменты, используемые в современной математической физике. Hilbert известен как один из основателей теории доказательств и математической логики.
Жизнь
Ранняя жизнь и образование
Hilbert, первый из двух детей и единственный сын Otto и Maria Therese Erdtmann Hilbert, родился в провинции Пруссия, Королевство Пруссия, либо в Königsberg согласно собственному утверждению Hilbert, либо в Wehlau, известном с 1946 года как Znamensk неподалеку от Königsberg, где его отец работал во время его рождения.
В конце 1872 года Hilbert поступил в Friedrichskolleg Gymnasium Collegium fridericianum, ту же школу, которую посещал Immanuel Kant 140 лет раньше; но после неудачного периода он перешёл в конце 1879 года и окончил в начале 1880 года более ориентированную на естественные науки Wilhelm Gymnasium. После окончания школы осенью 1880 года Hilbert поступил в University of Königsberg, «Albertina». В начале 1882 года Hermann Minkowski, на два года моложе Hilbert и также уроженец Königsberg, но уехавший в Berlin на три семестра, вернулся в Königsberg и поступил в университет. Hilbert развил пожизненную дружбу с застенчивым, одарённым Minkowski.
Карьера
В 1884 году Adolf Hurwitz прибыл из Göttingen как Extraordinarius, то есть доцент. Началась интенсивная и плодотворная научная работа между тремя учёными, и Minkowski и Hilbert в особенности оказывали взаимное влияние друг на друга на различных этапах своей научной карьеры. Hilbert получил докторскую степень в 1885 году с диссертацией, написанной под руководством Ferdinand von Lindemann, озаглавленной Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen «Об инвариантных свойствах специальных двоичных форм, в частности сферических гармонических функций».
Hilbert остался в University of Königsberg в качестве Privatdozent старшего преподавателя с 1886 по 1895 год. В 1895 году благодаря заступничеству Felix Klein он получил должность профессора математики в University of Göttingen. В годы Klein и Hilbert Göttingen стал ведущим учреждением в математическом мире. Он остался там до конца своей жизни.
Школа Göttingen
Среди студентов Hilbert были Hermann Weyl, чемпион по шахматам Emanuel Lasker, Ernst Zermelo и Carl Gustav Hempel. John von Neumann был его ассистентом. В University of Göttingen Hilbert был окружён социальным кругом некоторых из наиболее важных математиков 20-го века, таких как Emmy Noether и Alonzo Church.
Среди его 69 докторантов в Göttingen было много тех, кто позже стал знаменитыми математиками, включая с датой защиты диссертации: Otto Blumenthal 1898, Felix Bernstein 1901, Hermann Weyl 1908, Richard Courant 1910, Erich Hecke 1910, Hugo Steinhaus 1911 и Wilhelm Ackermann 1925. С 1902 по 1939 год Hilbert был редактором Mathematische Annalen, ведущего математического журнала того времени.
«Хорошо, у него не было достаточно воображения, чтобы стать математиком». — Ответ Hilbert при известии о том, что один из его студентов бросил учёбу, чтобы изучать поэзию.
Поздние годы
Около 1925 года у Hilbert развилась злокачественная анемия, в то время неизлечимый дефицит витаминов, основным симптомом которого является истощение; его ассистент Eugene Wigner описал его как подверженного «огромной усталости» и как того, кто «казался довольно старым», и что даже после того, как ему диагностировали и лечили, он «едва ли был учёным после 1925 года, и уж точно не был Hilbert».
Hilbert дожил до того, как нацисты в 1933 году избавились от многих известных профессоров University of Göttingen. Те, кого вынудили уйти, включали Hermann Weyl, который занял должность Hilbert, когда тот ушёл в отставку в 1930 году, Emmy Noether и Edmund Landau. Один из тех, кому пришлось покинуть Германию, Paul Bernays, сотрудничал с Hilbert в математической логике и соавтором с ним важной книги Grundlagen der Mathematik, которая в конце концов вышла в двух томах в 1934 и 1939 годах. Это было продолжением книги Hilbert–Ackermann Principles of Mathematical Logic с 1928 года. Преемником Hermann Weyl стал Helmut Hasse.
Примерно год спустя Hilbert посетил банкет и сидел рядом с новым министром образования Bernhard Rust. Rust спросил, действительно ли «Математический институт так сильно пострадал от отъезда евреев». Hilbert ответил: «Пострадал? Его больше не существует, не так ли!»
Смерть
К тому времени, когда Hilbert умер в 1943 году, нацисты почти полностью переукомплектовали университет, так как многие из прежних преподавателей были либо евреями, либо женаты на евреях. На похороны Hilbert пришло менее дюжины человек, только двое из них были коллегами-учёными, в том числе Arnold Sommerfeld, теоретический физик и также уроженец Königsberg. Известие о его смерти распространилось в широких кругах только через шесть месяцев после его смерти.
Надпись на его надгробии в Göttingen состоит из знаменитых строк, которые он произнёс в заключение своей речи при выходе в отставку перед Обществом немецких учёных и врачей 8 сентября 1930 года. Слова были произнесены в ответ на латинский афоризм: «Ignoramus et ignorabimus» или «Мы не знаем, мы не будем знать»:
На английском языке:
Мы должны знать.
Мы будем знать.
На день раньше того, как Hilbert произнёс эти фразы на ежегодном заседании 1930 года Общества немецких учёных и врачей, Kurt Gödel — во время круглого стола на Конференции по эпистемологии, проводившейся совместно с заседаниями Общества, — предварительно объявил первое выражение своей теоремы о неполноте. Теоремы о неполноте Gödel показывают, что даже элементарные аксиоматические системы, такие как арифметика Peano, либо самопротиворечивы, либо содержат логические предложения, которые невозможно доказать или опровергнуть.
Личная жизнь
В 1892 году Hilbert женился на Käthe Jerosch 1864–1945 из немецкой еврейской семьи, «дочери königsberg купца, откровенной молодой леди с независимостью мышления, которая соответствовала его собственной». Находясь в Königsberg, они имели одного ребёнка, Franz Hilbert 1893–1969.
Сын Hilbert Franz страдал на протяжении всей жизни от невыявленного психического заболевания. Его невысокий интеллект был ужасным разочарованием для его отца, и это несчастье было предметом огорчения для математиков и студентов в Göttingen.
Hilbert считал математика Hermann Minkowski своим «лучшим и истинным другом».
Hilbert был крещён и воспитан кальвинистом в Прусской евангелической церкви. Позже он оставил Церковь и стал агностиком. Он также утверждал, что математическая истина не зависит от существования Бога или других априорных предположений. Когда Galileo Galilei критиковали за то, что он не отстоял своих убеждений о гелиоцентрической теории, Hilbert возразил: «Но он же не был идиотом. Только идиот мог поверить, что научной истине нужно мученичество; это может быть необходимо в религии, но научные результаты доказывают себя с течением времени».
Hilbert решает проблему Gordan
Первая работа Hilbert о функциях инвариантов привела его к демонстрации в 1888 году его знаменитой теоремы о конечности. Двадцать лет раньше Paul Gordan продемонстрировал теорему о конечности образующих для двоичных форм, используя сложный вычислительный подход. Попытки обобщить его метод на функции более чем двух переменных не удались из-за огромной сложности вычислений. Чтобы решить то, что стало известно в некоторых кругах как проблема Gordan, Hilbert понял, что необходимо пойти совершенно другим путём. В результате он продемонстрировал теорему Hilbert о базисе, показав существование конечного набора образующих для инвариантов квантик любого числа переменных, но в абстрактной форме. То есть, демонстрируя существование такого набора, это не было конструктивным доказательством — оно не выставляло «объект» — но скорее это было доказательством существования и опиралось на использование закона исключённого третьего в бесконечном расширении.
Hilbert отправил свои результаты в Mathematische Annalen. Gordan, специалист журнала по теории инвариантов для Mathematische Annalen, не смог оценить революционный характер теоремы Hilbert и отклонил статью, критикуя изложение за то, что оно было недостаточно полным. Его комментарий был:
Это не математика. Это теология
Klein же, с другой стороны, признал важность этой работы и гарантировал, что она будет опубликована без каких-либо изменений. Поощрённый Klein, Hilbert расширил свой метод во второй статье, предоставляя оценки максимальной степени минимального набора образующих, и отправил её снова в Annalen. После прочтения рукописи Klein написал ему письмо, сказав:
Без сомнения, это наиболее важная работа по общей алгебре, которую когда-либо публиковал Annalen.
Позже, после того как полезность метода Hilbert была универсально признана, сам Gordan сказал бы:
Я убедил себя, что даже теология имеет свои достоинства.
При всех его успехах характер его доказательства создал больше проблем, чем Hilbert мог себе представить. Хотя Kronecker уступил, Hilbert позже ответил на аналогичную критику других, что «многие различные конструкции подчиняются одной фундаментальной идее» — другими словами, цитируя Reid: «Благодаря доказательству существования Hilbert смог получить конструкцию»; «доказательство», то есть символы на странице, был «объект». Не все были убеждены. Хотя Kronecker умер вскоре после этого, его конструктивистская философия продолжалась с молодым Brouwer и его развивающейся интуиционистской «школой», что очень мучило Hilbert в его поздние годы. Действительно, Hilbert потерял своего «одарённого ученика» Weyl для интуиционизма — «Hilbert был встревожен увлечением его бывшего студента идеями Brouwer, что пробудило в Hilbert воспоминание о Kronecker». Brouwer интуиционист в частности возражал против использования закона исключённого третьего над бесконечными множествами, как это делал Hilbert. Hilbert ответил:
Аксиоматизация геометрии
Текст Grundlagen der Geometrie пер.: Основания геометрии опубликованный Hilbert в 1899 году предлагает формальный набор, называемый аксиомы Hilbert, заменяя традиционные аксиомы Euclid. Они избегают слабостей, выявленных в его работах, которые в то время всё ещё использовались в качестве учебников. Сложно указать аксиомы, используемые Hilbert без ссылки на историю публикации Grundlagen, поскольку Hilbert изменял и модифицировал их несколько раз. Оригинальная монография быстро была переведена на французский язык, в котором Hilbert добавил V.2, аксиому полноты. Английский перевод, авторизованный Hilbert, был сделан E.J. Townsend и защищён авторским правом в 1902 году. Этот перевод включал изменения, сделанные во французском переводе, и поэтому считается переводом 2-го издания. Hilbert продолжал вносить изменения в текст и появилось несколько изданий на немецком языке. 7-е издание было последним, появившимся при жизни Hilbert. После 7-го последовали новые издания, но основной текст по сути не был переработан.
Подход Hilbert сигнализировал о переходе к современному аксиоматическому методу. В этом Hilbert был предвосхищен работой Moritz Pasch 1882 года. Аксиомы не рассматриваются как очевидные истины. Геометрия может рассматривать вещи, о которых у нас есть мощные интуиции, но не требуется присваивать какое-либо явное значение неопределённым понятиям. Элементы, такие как точка, линия, плоскость и прочие, могли быть заменены, как сообщается, Hilbert сказал Schoenflies и Kötter, таблицами, стульями, кружками пива и другими подобными объектами. Это их определённые отношения, которые обсуждаются.
Hilbert сначала перечисляет неопределённые понятия: точку, линию, плоскость, отношение лежания между точками и линиями, точками и плоскостями, и линиями и плоскостями, промежуточность, конгруэнтность пар точек отрезков линий и конгруэнтность углов. Аксиомы объединяют как плоскую геометрию, так и твёрдую геометрию Euclid
