Если бы только у меня были Теоремы! Тогда я без труда нашёл бы доказательства.
Георг Фридрих Бернхард Риман был немецким математиком, внесшим вклад в анализ, теорию чисел и дифференциальную геометрию. В области вещественного анализа он наиболее известен первой строгой формулировкой интеграла, интегралом Римана, и своей работой по рядам Фурье. Его вклад в комплексный анализ включает, в частности, введение поверхностей Римана, открыв новые горизонты в естественном геометрическом подходе к комплексному анализу. Его знаменитая статья 1859 года о функции подсчёта простых чисел, содержащая исходное утверждение гипотезы Римана, считается одной из наиболее влиятельных работ в аналитической теории чисел. Благодаря своему пионерскому вкладу в дифференциальную геометрию Риман заложил основы математики общей теории относительности. Его считают одним из величайших математиков всех времён.
Биография
Ранние годы
Риман родился 17 сентября 1826 года в Брезеленце, деревне рядом с Данненбергом в Королевстве Ганновер. Его отец, Фридрих Бернхард Риман, был бедным лютеранским пастором в Брезеленце, участвовавшим в наполеоновских войнах. Его мать, Шарлотта Эбель, умерла до того, как её дети достигли совершеннолетия. Риман был вторым из шести детей, робким и страдавшим от многочисленных нервных срывов. Риман проявлял исключительные математические способности, такие как вычислительные навыки, с раннего возраста, но страдал от робости и страха публичных выступлений.
Образование
В 1840 году Риман отправился в Ганновер, чтобы жить у своей бабушки и учиться в лицее. После смерти его бабушки в 1842 году он учился в средней школе Johanneum Lüneburg. В средней школе Риман интенсивно изучал Библию, но его часто отвлекала математика. Его учителей поражали его способности к сложным математическим операциям, в которых он часто превосходил знания своего учителя. В 1846 году, в возрасте 19 лет, он начал учиться филологии и христианской теологии, чтобы стать пастором и помочь финансам своей семьи.
Весной 1846 года его отец, собрав достаточно денег, отправил Римана в Университет Гёттингена, где он планировал получить степень по теологии. Однако по прибытии он начал учиться математике под руководством Карла Фридриха Гаусса, в частности его лекциям по методу наименьших квадратов. Гаусс рекомендовал Риману отказаться от теологических работ и войти в область математики; после получения одобрения отца Риман перевелся в Университет Берлина в 1847 году. Во время своих занятий там преподавали Карл Густав Якоб Якоби, Петер Густав Лежён Дирихле, Якоб Штейнер и Готхольд Айзенштейн. Он пробыл в Берлине два года и вернулся в Гёттинген в 1849 году.
Академическая деятельность
Риман провел свои первые лекции в 1854 году, которые основали область римановой геометрии и тем самым подготовили почву для общей теории относительности Albert Einstein. В 1857 году была предпринята попытка повысить Римана до статуса экстраординарного профессора в Университете Гёттингена. Хотя эта попытка не удалась, она привела к тому, что Риман наконец получил постоянную зарплату. В 1859 году, после смерти Дирихле, который занимал кафедру Гаусса в Университете Гёттингена, он был повышен до руководства кафедрой математики в Университете Гёттингена. Он также был первым, кто предложил использовать измерения выше трёх или четырёх для описания физической реальности.
В 1862 году он женился на Элизе Кох, и у них была дочь Ида Шиллинг, рождённая 22 декабря 1862 года.
Протестантская семья и смерть в Италии
Риман бежал из Гёттингена, когда в 1866 году там столкнулись армии Ганновера и Пруссии. Он умер от туберкулёза во время своего третьего путешествия в Италию в Селаске, теперь небольшой части Вербании на озере Маджоре, где он был похоронен на кладбище в Бигандзоло, Вербания.
Риман был преданным христианином, сыном протестантского министра, и видел свою жизнь математика как ещё один способ служить Богу. Во время своей жизни он был верен своей христианской вере и считал её наиболее важным аспектом своей жизни. В момент своей смерти он читал Молитву Господню со своей женой и умер до того, как они закончили молитву. Тем временем в Гёттингене его экономка выбросила некоторые бумаги из его офиса, включая много неопубликованных работ. Риман отказывался публиковать незавершённые работы, и некоторые глубокие идеи могли быть потеряны навсегда.
Надгробный камень Римана в Бигандзоло, Италия, ссылается на Послание к Римлянам 8:28:
Здесь покоится в Боге
Георг Фридрих Бернхард Риман
Профессор в Гёттингене
родился в Брезеленце, 17 сентября 1826
умер в Селаске, 20 июля 1866
Для любящих Бога всё содействует ко благу
Здесь покоится в Боге Георг Фридрих Бернхард Риман Профессор в Гёттингене родился в Брезеленце, 17 сентября 1826 умер в Селаске, 20 июля 1866 Для любящих Бога всё содействует ко благу
Риманова геометрия
Опубликованные работы Римана открыли области исследований, объединяющие анализ с геометрией. Впоследствии они стали основными частями теорий римановой геометрии, алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий. Теория поверхностей Римана была разработана Felix Klein и, в частности, Adolf Hurwitz. Эта область математики является частью основания топологии и по-прежнему применяется к математической физике новыми способами.
В 1853 году Гаусс попросил Римана, своего ученика, подготовить Habilitationsschrift об основаниях геометрии. За многие месяцы Риман разработал свою теорию высших измерений и прочитал свою лекцию в Гёттингене в 1854 году под названием «Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen» «Об гипотезах, лежащих в основании геометрии». Она была опубликована только двенадцать лет спустя в 1868 году Dedekind, два года после его смерти. Её первоначальное восприятие, похоже, было медленным, но теперь она признана одной из самых важных работ в геометрии.
Предмет, основанный этой работой, — риманова геометрия. Риман нашёл правильный способ расширить в n измерений дифференциальную геометрию поверхностей, которую сам Гаусс доказал в своей theorema egregium. Фундаментальный объект называется тензором кривизны Римана. Для случая поверхности это может быть сведено к числовому скаляру, положительному, отрицательному или нулевому; ненулевые и постоянные случаи представляют собой модели известных неевклидовых геометрий.
Идея Римана состояла в том, чтобы ввести набор чисел в каждой точке пространства, то есть тензор, который описывал бы, насколько он изогнут или искривлен. Риман обнаружил, что в четырёх пространственных измерениях нужна совокупность из десяти чисел в каждой точке для описания свойств многообразия, независимо от того, насколько оно искажено. Это знаменитая конструкция, центральная в его геометрии, известная теперь как риманова метрика.
Комплексный анализ
В своей диссертации он установил геометрическую основу для комплексного анализа через поверхности Римана, через которые многозначные функции, такие как логарифм с бесконечным числом листов или квадратный корень с двумя листами, могли стать взаимно однозначными функциями. Комплексные функции являются гармоническими функциями, то есть они удовлетворяют уравнению Лапласа и, таким образом, уравнениям Коши–Римана на этих поверхностях и описываются расположением их особенностей и топологией поверхностей. Топологический «род» поверхностей Римана задаётся формулой g = w / 2 − n + 1 параметров «модули».
Его вклад в эту область многочислен. Знаменитая теорема отображения Римана говорит, что односвязная область в комплексной плоскости является «бигломорфно эквивалентной», то есть между ними существует биекция, которая является голоморфной с голоморфным обратным, либо для C, либо для внутренности единичного круга. Обобщение теоремы на поверхности Римана — это знаменитая теорема об униформизации, которая была доказана в XIX веке Henri Poincaré и Felix Klein. Здесь также строгие доказательства были впервые даны после развития более богатых математических инструментов, в данном случае топологии. Для доказательства существования функций на поверхностях Римана он использовал условие минимальности, которое называл принципом Дирихле. Karl Weierstrass нашёл пробел в доказательстве: Риман не заметил, что его рабочее предположение о том, что минимум существует, может не сработать; пространство функций могло быть неполным, и поэтому существование минимума не было гарантировано. Благодаря работам David Hilbert в вариационном исчислении принцип Дирихле был наконец установлен. В остальном Вейерштрасс был весьма впечатлён Риманом, особенно его теорией абелевых функций. Когда появилась работа Римана, Вейерштрасс снял свою статью из журнала Crelle и не опубликовал её. Они хорошо понимали друг друга, когда Риман посетил его в Берлине в 1859 году. Вейерштрасс поощрял своего ученика Hermann Amandus Schwarz найти альтернативы принципу Дирихле в комплексном анализе, в чём он добился успеха. Анекдот от Arnold Sommerfeld показывает трудности, которые современные математики испытывали с новыми идеями Римана. В 1870 году Вейерштрасс взял диссертацию Римана с собой в отпуск на Риги и жаловался, что её трудно понять. Физик Hermann von Helmholtz помогал ему в работе всю ночь и вернулся с комментарием, что это было «естественно» и «очень понятно».
Другие важные моменты включают его работу по абелевым функциям и тета-функциям на поверхностях Римана. Риман находился в соревновании с Вейерштрассом с 1857 года по решению обратных задач Якобиана для абелевых интегралов, обобщению эллиптических интегралов. Риман использовал тета-функции от нескольких переменных и свёл задачу к определению нулей этих тета-функций. Риман также исследовал матрицы периодов и характеризовал их через «риманові соотношения периодов» симметричные, вещественная часть отрицательна. По Ferdinand Georg Frobenius и Solomon Lefschetz справедливость этого соотношения эквивалентна вложению C n / Ω, это якобиева многообразие поверхности Римана, пример абелевого многообразия.
Многие математики, такие как Alfred Clebsch, развивали работу Римана по алгебраическим кривым. Эти теории зависели от свойств функции, определённой на поверхностях Римана. Например, теорема Римана–Роха Рох был студентом Римана говорит что-то о числе линейно независимых дифференциалов с известными условиями на нули и полюсы поверхности Римана.
По Detlef Laugwitz, автоморфные функции впервые появились в эссе об уравнении Лапласа на электрически заряженных цилиндрах. Однако Риман использовал такие функции для конформных отображений, таких как отображение топологических треугольников на окружность в его лекции 1859 года о гипергеометрических функциях или в его трактате о минимальных поверхностях.
Вещественный анализ
В области вещественного анализа он открыл интеграл Римана в своей habilitationwork. Среди прочего, он показал, что каждая кусочно непрерывная функция интегрируема. Аналогично, интеграл Стилтьеса восходит к математику Гёттингена, и поэтому они названы вместе интегралом Римана–Стилтьеса.
В своей habilitationwork по рядам Фурье, где он следовал работам своего учителя Дирихле, он показал, что интегрируемые по Риману функции «представимы» рядами Фурье. Дирихле показал это для непрерывных, кусочно-дифференцируемых функций, то есть с счётным числом недифференцируемых точек. Риман привел пример ряда Фурье, представляющего непрерывную, почти нигде недифференцируемую функцию, случай не охваченный Дирихле. Он также доказал лемму Римана–Лебега: если функция представима рядом Фурье, то коэффициенты Фурье стремятся к нулю при больших n.
Эссе Римана было также отправной точкой для работы Georg Cantor с рядами Фурье, что явилось толчком к теории множеств.
Он также работал с гипергеометрическими дифференциальными уравнениями в 1857 году, используя методы комплексного анализа, и представил решения через поведение замкнутых путей около особенностей, описанные матрицей монодромии. Доказательство существования таких дифференциальных уравнений по предварительно известным матрицам монодромии — одна из проблем Гильберта.
Теория чисел
Он внёс некоторые знаменитые вклады в современную аналитическую теорию чисел. В одной единственной короткой статье, единственной, которую он опубликовал по предмету теории чисел, он исследовал дзета-функцию, которая теперь носит его имя, установив её важность для понимания распределения простых чисел. Гипотеза Римана была одной из серии предположений, которые он делал о свойствах функции.
В работе Римана есть много других интересных разработок. Он доказал функциональное уравнение для дзета-функции, уже известное Leonhard Euler, за которым скрывается тета-функция. Через суммирование этой аппроксимирующей функции по нетривиальным нулям на линии с вещественной частью 1/2, он дал точную «явную формулу» для π x .
Риман был знаком с работой Pafnuty Chebyshev по теореме о простых числах. Он з
