Felix Klein

Каждый знает, что такое кривая, пока он не изучит достаточно математики, чтобы запутаться из-за бесчисленного количества возможных исключений.

Christian Felix Klein был немецким математиком и педагогом-математиком, известным своей работой в области теории групп, комплексного анализа, неевклидовой геометрии и связей между геометрией и теорией групп. Его программа Erlangen 1872 года, классифицирующая геометрии по их основным группам симметрии, была влиятельным синтезом большей части математики того времени.

Life

Felix Klein родился 25 апреля 1849 года в Düsseldorf у прусских родителей; его отец, Caspar Klein 1809–1889, был секретарем прусского государственного чиновника, назначенного в Rhineland Province. Мать Klein была Sophie Elise Klein 1819–1890, née Kayser. Он учился в гимназии в Düsseldorf, затем изучал математику и физику в Bonn University, 1865–1866, намереваясь стать физиком. В то время Julius Plücker занимал должность профессора математики и экспериментальной физики в Bonn, но к тому времени, когда Klein стал его ассистентом в 1866 году, интерес Plücker переместился на геометрию. Klein получил докторскую степень, руководимую Plücker, в Bonn University в 1868 году.

Plücker умер в 1868 году, оставив его книгу о основах линейной геометрии незавершённой. Klein был очевидным кандидатом на завершение второй части Neue Geometrie des Raumes Plücker, и таким образом познакомился с Alfred Clebsch, который переехал в Göttingen в 1868 году. Klein посетил Clebsch в следующем году, а также посетил Berlin и Paris. В июле 1870 года, в начале Franco-Prussian War, он был в Paris и должен был покинуть страну. На короткое время он служил медицинским санитаром в прусской армии перед тем, как быть назначенным лектором в Göttingen в начале 1871 года.

Erlangen назначил Klein профессором в 1872 году, когда ему было всего 23 года. За это он был поддержан Clebsch, который считал его вероятным кандидатом на звание лучшего математика своего времени. Klein не хотел школу в Erlangen, где было мало студентов, поэтому он был рад получить предложение профессорской должности в Munich's Technische Hochschule в 1875 году. Там он и Alexander von Brill преподавали продвинутые курсы многим отличным студентам, включая Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi и Gregorio Ricci-Curbastro.

В 1875 году Klein женился на Anne Hegel, внучке философа Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

После пяти лет в Technische Hochschule Klein был назначен на кафедру геометрии в Leipzig. Его коллеги там включали Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study и Friedrich Engel. Годы Klein в Leipzig с 1880 по 1886 год кардинально изменили его жизнь. В 1882 году его здоровье ухудшилось; в 1883–1884 годах его мучила депрессия. Тем не менее его исследования продолжались; его знаковая работа по гиперэллиптическим сигма-функциям датируется примерно этим периодом и была опубликована в 1886 и 1888 годах.

Klein принял профессорскую должность в University of Göttingen в 1886 году. С тех пор до выхода на пенсию в 1913 году он стремился восстановить Göttingen как главный центр математических исследований в мире. Однако ему никогда не удалось перенести из Leipzig в Göttingen своё собственное первенство как разработчика геометрии. В Göttingen он преподавал разнообразные курсы, главным образом касающиеся границы между математикой и физикой, такие как механика и теория потенциала.

Научное учреждение, которое Klein основал в Göttingen, стало моделью для лучших таких учреждений по всему миру. Он ввёл еженедельные дискуссионные встречи и создал математический читальный зал и библиотеку. В 1895 году Klein нанял David Hilbert из University of Königsberg; это назначение оказалось судьбоносным, поскольку Hilbert продолжал хорошую репутацию Göttingen до его собственного выхода на пенсию в 1932 году.

При редактировании Klein, Mathematische Annalen стал одним из лучших математических журналов в мире. Основанный Clebsch, только при управлении Klein он впервые конкурировал, а затем превзошёл Crelle's Journal на базе University of Berlin. Klein создал небольшую команду редакторов, которые встречались регулярно и принимали демократические решения. Журнал специализировался на комплексном анализе, алгебраической геометрии и теории инвариантов, по крайней мере до тех пор, пока Hilbert не завершил эту тему. Он также предоставил важный выход для реального анализа и новой теории групп.

В 1893 году в Chicago Klein был главным докладчиком на International Mathematical Congress, проведённом в рамках World's Columbian Exposition. Отчасти благодаря усилиям Klein, Göttingen начал принимать женщин в 1893 году. Он руководил первой диссертацией по математике, написанной в Göttingen женщиной; это была Grace Chisholm Young, английская студентка Arthur Cayley, которую Klein восхищался. В 1897 году Klein стал иностранным членом Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences.

Около 1900 года Klein начал интересоваться математическим образованием в школах. В 1905 году он решительно участвовал в формулировании плана, рекомендующего, чтобы аналитическая геометрия, основы дифференциального и интегрального исчисления и концепция функции преподавались в средних школах. Эта рекомендация постепенно была внедрена во многих странах по всему миру. В 1908 году Klein был избран президентом International Commission on Mathematical Instruction на Rome International Congress of Mathematicians. Под его руководством немецкая часть комиссии опубликовала много томов о преподавании математики на всех уровнях в Germany.

London Mathematical Society присудила Klein медаль De Morgan в 1893 году. Он был избран членом Royal Society в 1885 году и был награжден её медалью Copley в 1912 году. Он вышел на пенсию в следующем году из-за проблем со здоровьем, но продолжал преподавать математику дома в течение нескольких лет.

Klein был одним из 93 подписантов Manifesto of the Ninety-Three, документа, написанного в поддержку немецкого вторжения в Belgium на начальных этапах World War I.

Klein имел титул Geheimrat доверенного советника.

Он умер в Göttingen в 1925 году.

Work

Диссертация Klein о линейной геометрии и её приложениях к механике классифицировала комплексы линий второй степени, используя теорию элементарных делителей Weierstrass.

Первые важные математические открытия Klein были сделаны в 1870 году. В сотрудничестве с Sophus Lie он обнаружил фундаментальные свойства асимптотических линий на поверхности Kummer. Позже они исследовали W-кривые, кривые, инвариантные при группе проективных преобразований. Именно Lie познакомил Klein с концепцией группы, которая должна была сыграть основную роль в его дальнейшей работе. Klein также узнал о группах от Camille Jordan.

Klein создал "бутылку Klein", названную в его честь, односторонную замкнутую поверхность, которая не может быть встроена в трёхмерное евклидово пространство, но её можно погружать как цилиндр, согнутый через себя, чтобы присоединиться к своему другому концу изнутри. Она может быть встроена в евклидово пространство размерностей 4 и выше. Концепция бутылки Klein была разработана как трёхмерная лента Möbius, один метод конструкции заключается в присоединении краёв двух лент Möbius.

В 1890-х годах Klein начал более интенсивно изучать математическую физику, писав о гироскопе с Arnold Sommerfeld. В 1894 году он инициировал идею энциклопедии математики, включая её приложения, которая стала Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Это предприятие, которое длилось до 1935 года, предоставило важный справочный стандарт, имеющий долгосрочную ценность.

Erlangen program

В 1871 году, находясь в Göttingen, Klein сделал крупные открытия в геометрии. Он опубликовал две статьи On the So-called Non-Euclidean Geometry, показывающие, что евклидова и неевклидова геометрии могут рассматриваться как метрические пространства, определённые метрикой Cayley-Klein. Это понимание имело следствие, что неевклидова геометрия была последовательной тогда и только тогда, когда была последовательна евклидова геометрия, придавая одинаковый статус геометриям евклидовой и неевклидовой и заканчивая все споры о неевклидовой геометрии. Arthur Cayley никогда не принимал аргумент Klein, считая его циклическим.

Синтез Klein геометрии как изучения свойств пространства, инвариантных при заданной группе преобразований, известный как программа Erlangen 1872, глубоко повлиял на развитие математики. Эта программа была инициирована вступительной лекцией Klein в качестве профессора в Erlangen, хотя это была не фактическая речь, которую он произнёс в этот случай. Программа предложила объединённую систему геометрии, которая стала принятым современным методом. Klein показал, как существенные свойства данной геометрии могут быть представлены группой преобразований, которые сохраняют эти свойства. Таким образом, определение геометрии программой охватило как евклидову, так и неевклидову геометрию.

В настоящее время значение вклада Klein в геометрию более чем очевидно, но не потому, что эти вклады теперь считаются странными или неправильными. Напротив, эти вклады стали настолько интегрированы в наше нынешнее математическое мышление, что нам трудно оценить их новизну и то, как они не были сразу приняты всеми его современниками.

Complex analysis

Klein рассматривал свою работу по комплексному анализу как свой основной вклад в математику, в частности его работу над:

• связью между определёнными идеями Riemann и теорией инвариантов,
• теорией чисел и абстрактной алгеброй;
• теорией групп;
• геометрией с более чем 3 измерениями и дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями, которые он изобрёл, а именно эллиптическими модулярными функциями и автоморфными функциями.

Klein показал, что модулярная группа движет фундаментальную область комплексной плоскости так, чтобы разбить эту плоскость на мозаику. В 1879 году он исследовал действие PSL2,7, рассматриваемого как образ модулярной группы, и получил явное представление поверхности Riemann, теперь называемой квартикой Klein. Он показал, что эта поверхность была кривой в проективном пространстве, что её уравнение было x3y + y3z + z3x = 0, и что её группа симметрий была PSL2,7 порядка 168. Его Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale 1882 рассматривает комплексный анализ геометрическим способом, соединяя теорию потенциала и конформные отображения. Эта работа опиралась на понятия из гидродинамики.

Klein рассмотрел уравнения степени > 4 и был особенно заинтересован в использовании трансцендентных методов для решения общего уравнения пятой степени. Опираясь на методы Charles Hermite и Leopold Kronecker, он получил аналогичные результаты результатам Brioschi и позже полностью решил проблему с помощью икосаэдральной группы. Эта работа позволила ему написать серию работ по эллиптическим модулярным функциям.

В своей книге 1884 года об икосаэдре Klein установил теорию автоморфных функций, связывающую алгебру и геометрию. Однако Poincaré опубликовал набросок своей теории автоморфных функций в 1881 году, что привело к дружественному соперничеству между двумя мужчинами. Оба стремились сформулировать и доказать грандиозную теорему унификации, которая установила бы новую теорию более полностью. Klein преуспел в формулировании такой теоремы и в описании стратегии её доказательства. Но во время этой работы его здоровье ухудшилось, как упоминалось выше.

Klein обобщил свою работу над автоморфными и эллиптическими модулярными функциями в четырёхтомный трактат, написанный с Robert Fricke в течение примерно 20 лет.

Selected works

• 1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
• e-text at Project Gutenberg, also available from Cornell
• 1884:Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade English translation by G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
• English translation by G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
• 1886: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
• 1888: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
• 1894: Über die hypergeometrische Funktion
• 1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
• 1897: with Arnold Sommerfeld Theorie des Kreisels later volumes: 1898, 1903, 1910
• 1890: with Robert Fricke Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2 volumes and 1892
• 1894: Evanston Colloquium 1893 reported and published by Ziwet New York, 1894
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1897, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen in German, Leipzig: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01 Zweiter Band. 1901.
• 1901: Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1912, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere