Se a prova estiver correta, nenhum outro reconhecimento é necessário
Grigori Yakovlevich Perelman é um matemático russo conhecido por suas contribuições nos campos da análise geométrica, geometria Riemanniana e topologia geométrica.
Nos anos 1990, em parte em colaboração com Yuri Burago, Mikhael Gromov e Anton Petrunin, ele fez contribuições influentes ao estudo dos espaços de Alexandrov. Em 1994, ele provou a conjectura da alma em geometria Riemanniana, que havia sido um problema aberto pelos 20 anos anteriores. Em 2002 e 2003, ele desenvolveu novas técnicas na análise do fluxo de Ricci, fornecendo assim um esboço detalhado de uma prova da conjectura de Poincaré e da conjectura da geometrização de Thurston, sendo a primeira um famoso problema aberto em matemática pelo século anterior. Os detalhes completos do trabalho de Perelman foram preenchidos e explicados por vários autores nos anos seguintes.
Em agosto de 2006, Perelman recebeu a oferta da Medalha Fields por "suas contribuições à geometria e seus insights revolucionários na estrutura analítica e geométrica do fluxo de Ricci", mas ele recusou o prêmio, afirmando: "Não estou interessado em dinheiro ou fama; não quero ser exposto como um animal em um zoológico." Em 22 de dezembro de 2006, o periódico científico Science reconheceu a prova de Perelman da conjectura de Poincaré como o "Avanço do Ano" científico, o primeiro reconhecimento desse tipo na área de matemática.
Em 18 de março de 2010, foi anunciado que ele havia atendido aos critérios para receber o primeiro Prêmio Millennium do Clay pela resolução da conjectura de Poincaré. Em 1º de julho de 2010, ele rejeitou o prêmio de um milhão de dólares, dizendo que considerava a decisão do conselho do Instituto Clay injusta, na medida em que sua contribuição para resolver a conjectura de Poincaré não era maior do que a de Richard S. Hamilton, o matemático que pioneirou o fluxo de Ricci em parte com o objetivo de atacar a conjectura. Ele havia anteriormente recusado o prestigioso prêmio da European Mathematical Society, em 1996.
Primeiros anos e educação
Grigori Yakovlevich Perelman nasceu em Leningrado, União Soviética, agora Saint Petersburg, Rússia, em 13 de junho de 1966, de pais russo-judeus Yakov, que agora vive em Israel, e Lyubov, que ainda vive em Saint Petersburg com Grigori. A mãe de Grigori, Lyubov, abandonou o trabalho de pós-graduação em matemática para criá-lo. O talento matemático de Grigori tornou-se aparente aos dez anos, e sua mãe o inscreveu no programa de treinamento matemático extraescolar de Sergei Rukshin.
Sua educação matemática continuou na Leningrad Secondary School #239, uma escola especializada com programas avançados em matemática e física. Grigori se destacou em todas as disciplinas, exceto educação física. Em 1982, como membro da equipe da União Soviética competindo na Olimpíada Internacional de Matemática, uma competição internacional para alunos do ensino médio, ele ganhou uma medalha de ouro, alcançando uma pontuação perfeita. Ele continuou como aluno da School of Mathematics and Mechanics da Leningrad State University, sem exames de admissão e se inscreveu na universidade.
Após completar seu PhD em 1990, Perelman começou a trabalhar no Leningrad Department of Steklov Institute of Mathematics da USSR Academy of Sciences, onde seus orientadores foram Aleksandr Aleksandrov e Yuri Burago. No final dos anos 1980 e início dos anos 1990, com uma forte recomendação do geômetra Mikhail Gromov, Perelman obteve posições de pesquisa em várias universidades nos Estados Unidos. Em 1991, Perelman ganhou o Young Mathematician Prize da St. Petersburg Mathematical Society por seu trabalho em espaços de Aleksandrov com curvatura limitada por baixo. Em 1992, foi convidado para passar um semestre em cada um no Courant Institute da New York University e Stony Brook University, onde começou a trabalhar em variedades com limites inferiores de curvatura de Ricci. De lá, ele aceitou uma Fellowship de Pesquisa Miller de dois anos na University of California, Berkeley em 1993. Após ter provado a conjectura da alma em 1994, foi oferecido trabalhos em várias universidades de topo nos EUA, incluindo Princeton e Stanford, mas recusou todos e voltou para o Steklov Institute em Saint Petersburg no verão de 1995 para uma posição apenas de pesquisa.
Pesquisa nos anos 1990
O trabalho mais notável de Perelman neste período foi no campo dos espaços de Alexandrov, cujo conceito remonta aos anos 1950. Em um artigo bem conhecido de 1992 coautorizado com Yuri Burago e Mikhail Gromov, Perelman estabeleceu os fundamentos modernos deste campo, com a noção de convergência de Gromov-Hausdorff como um princípio organizador. Em 1993, Perelman desenvolveu uma noção de teoria de Morse nesses espaços não suaves. Por seu trabalho em espaços de Alexandrov, Perelman foi convidado para lecionar no International Congress of Mathematicians de 1994.
A conjectura da alma de Cheeger e Gromoll, formulada em 1972, diz:
Suponha que (M, g) seja uma variedade Riemanniana completa, conexa e não compacta com curvatura seccional K ≥ 0, e existe um ponto em M onde a curvatura seccional (em todas as direções seccionais) é estritamente positiva. Então a alma de M é um ponto; equivalentemente M é difeomorfa a Rn.
Isto era de interesse, pois Cheeger e Gromoll haviam estabelecido o resultado sob a suposição mais forte de que todas as curvaturas seccionais são positivas. Como a deformação de curvatura não negativa para positiva não é bem compreendida, a conjectura da alma foi proposta. Em 1994, Perelman deu uma prova curta e elegante da conjectura, estabelecendo que no caso geral K ≥ 0, a retração de Sharafutdinov P : M → S é uma submersão.
Três artigos notáveis de Perelman de 1994 a 1997 lidam com a construção de várias variedades Riemannianas interessantes com curvatura de Ricci positiva.
Conjecturas de geometrização e Poincaré
O problema
A conjectura de Poincaré, proposta pelo matemático francês Henri Poincaré em 1904, foi um dos principais problemas em topologia. Qualquer loop em uma 3-esfera—exemplificado pelo conjunto de pontos a uma distância de 1 da origem no espaço euclidiano quadridimensional—pode ser contraído para um ponto. A conjectura de Poincaré afirma que qualquer variedade tridimensional fechada, tal que qualquer loop pode ser contraído para um ponto, é topologicamente uma 3-esfera. O resultado análogo é conhecido ser verdadeiro em dimensões maiores ou iguais a cinco desde 1960, como no trabalho de Stephen Smale. O caso quadridimensional resistiu mais, finalmente sendo resolvido em 1982 por Michael Freedman. Mas o caso de três-variedades provou ser o mais difícil de todos. Grosso modo, isto é porque em manipulação topológica de uma três-variedade há pouquíssimas dimensões para mover "regiões problemáticas" para fora do caminho sem interferir em algo mais. A contribuição mais fundamental para o caso tridimensional havia sido produzida por Richard S. Hamilton. O papel de Perelman foi completar o programa de Hamilton.
A prova de Perelman
Em novembro de 2002, Perelman postou o primeiro de três pré-prints no arXiv, no qual afirmava ter delineado uma prova da conjectura de geometrização, da qual a conjectura de Poincaré é um caso particular. Isto foi seguido pelos dois outros pré-prints em 2003.
Perelman modificou o programa de Richard S. Hamilton para uma prova da conjectura. A ideia central é a noção do fluxo de Ricci. A ideia fundamental de Hamilton é formular um "processo dinâmico" no qual uma dada três-variedade é distorcida geometricamente, com o processo de distorção governado por uma equação diferencial análoga à equação do calor. A equação do calor que muito antes motivou Riemann a afirmar sua hipótese de Riemann sobre os zeros da função zeta descreve o comportamento de quantidades escalares como temperatura. Ela garante que concentrações de temperatura elevada se dispersarão até que uma temperatura uniforme seja alcançada em todo um objeto. Similarmente, o fluxo de Ricci descreve o comportamento de uma quantidade tensorial, o tensor de curvatura de Ricci. A esperança de Hamilton era que sob o fluxo de Ricci concentrações de grande curvatura se dispersassem até que uma curvatura uniforme fosse alcançada em toda a três-variedade. Se assim fosse, se começasse com qualquer três-variedade e deixasse o fluxo de Ricci ocorrer, então deveria, em princípio, eventualmente obter um tipo de "forma normal". De acordo com William Thurston, esta forma normal deve assumir uma de um pequeno número de possibilidades, cada uma tendo um tipo diferente de geometria, chamadas de geometrias modelo de Thurston.
Entretanto, era amplamente esperado que o processo seria impedido pelo desenvolvimento de "singularidades." Nos anos 1990, Hamilton fez progresso em entender os possíveis tipos de singularidades que podem ocorrer, mas foi incapaz de fornecer uma descrição abrangente. Os artigos de Perelman esboçaram uma solução. De acordo com Perelman, toda singularidade se parece ou como um cilindro colapsando para seu eixo, ou uma esfera colapsando para seu centro. Com esse entendimento, ele foi capaz de construir uma modificação do fluxo de Ricci padrão, chamado fluxo de Ricci com cirurgia, que pode sistematicamente excisionar regiões singulares conforme elas se desenvolvem, de uma forma controlada. A ideia para fluxo de Ricci com cirurgia havia estado presente desde um artigo de Hamilton de 1993, que a havia executado com sucesso em 1997 no contexto de espaços de dimensão superior sujeitos a certas condições geométricas restritas. O procedimento de cirurgia de Perelman foi amplamente similar ao de Hamilton, mas era notavelmente diferente em seus aspectos técnicos.
Perelman mostrou que qualquer singularidade que se desenvolva em tempo finito é essencialmente um "pinçamento" ao longo de certas esferas correspondentes à decomposição primária da 3-variedade. Além disso, qualquer singularidade de "tempo infinito" resulta de certos pedaços colapsando da decomposição JSJ. O trabalho de Perelman prova esta afirmação e assim prova a conjectura de geometrização.
Os conteúdos dos três artigos são resumidos abaixo:
- O primeiro pré-print, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, fornece muitas técnicas novas no estudo do fluxo de Ricci, cujo resultado principal é um teorema dando uma caracterização quantitativa de regiões de alta curvatura do fluxo.
- O segundo pré-print, Ricci flow with surgery on three-manifolds, corrigiu algumas afirmações incorretas do primeiro artigo e preencheu alguns detalhes, e usa o resultado principal do primeiro artigo para prescrever o procedimento de cirurgia. A segunda metade do artigo é devotada a uma análise de fluxos de Ricci que existem por tempo infinito.
- O terceiro pré-print, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, fornece um atalho para a prova da conjectura de Poincaré que evita os argumentos na segunda metade do segundo pré-print. Ele mostra que em qualquer espaço satisfazendo as suposições da conjectura de Poincaré, o fluxo de Ricci com cirurgia existe apenas por tempo finito, de modo que a análise de tempo infinito do fluxo de Ricci é irrelevante.
Tobias Colding e William Minicozzi II forneceram um argumento completamente alternativo ao terceiro pré-print de Perelman. Seu argumento, dado o pré-requisito de alguns argumentos sofisticados de teoria de medida geométrica desenvolvidos nos anos 1980, é particularmente simples.
Verificação
Os pré-prints de Perelman rapidamente ganharam a atenção da comunidade matemática, embora fossem amplamente vistos como difíceis de entender, pois haviam sido escritos de forma bastante tensa. Contra o estilo usual em publicações matemáticas acadêmicas, muitos detalhes técnicos haviam sido omitidos. Logo ficou aparente que Perelman havia feito contribuições importantes aos fundamentos do fluxo de Ricci, embora não fosse imediatamente claro para a comunidade matemática que essas contribuições eram suficientes para provar a conjectura de geometrização ou a conjectura de Poincaré.
Em abril de 2003, Perelman visitou o Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University e New York University para dar breves séries de palestras sobre seu trabalho, e para esclarecer alguns detalhes para especialistas nos campos relevantes.
Em junho de 2003, Bruce Kleiner e John Lott, ambos então da University of Michigan, postaram notas no website de Lott que, seção por seção, preencheram muitos dos detalhes no primeiro pré-print de Perelman. Em setembro de 2004, suas notas foram atualizadas para incluir o segundo pré-print de Perelman. Seguindo revisões e correções adicionais, eles postaram uma versão no arXiv em 25 de maio de 2006, uma versão modificada da qual foi publicada no periódico acadêmico Geometry & Topology em 2008. No International Congress of Mathematicians de 2006, Lott disse "Levou algum tempo para examinarmos o trabalho de Perelman. Isto é em parte devido à originalidade do trabalho de Perelman e em parte à sofisticação técnica de seus argumentos. Todas as indicações são de que seus argumentos estão corretos." Na introdução de seu artigo, Kleiner e Lott explicaram
As provas de Perelman são concisas e, às vezes, esboçadas. O propósito destas notas é fornecer os detalhes que faltam em [os primeiros dois pré-prints de Perelman]... Com relação às provas, [os artigos de Perelman] contêm algumas afirmações incorretas e argumentos incompletos, que tentamos apontar para o leitor. (Alguns dos erros em [o primeiro artigo de Perelman] foram corrigidos em [o segundo artigo de Perelman].) Não encontramos nenhum problema sério, significando problemas que não possam ser corrigidos usando os métodos introduzidos por Perelman.
Em junho de 2006, a Asian Journal of Mathematics publicou
