Devemos saber. Saberemos.
David Hilbert foi um matemático alemão e um dos matemáticos mais influentes e universais dos séculos 19 e início do 20. Hilbert descobriu e desenvolveu uma ampla gama de ideias fundamentais em muitas áreas, incluindo teoria dos invariantes, cálculo de variações, álgebra comutativa, teoria algébrica dos números, fundamentos da geometria, teoria espectral de operadores e sua aplicação a equações integrais, física matemática e fundamentos da matemática, particularmente teoria da prova.
Hilbert adotou e defendeu calurosamente a teoria dos conjuntos de Georg Cantor e os números transfinitos. Um exemplo famoso de sua liderança em matemática é sua apresentação em 1900 de uma coleção de problemas que estabeleceu o rumo de grande parte da pesquisa matemática do século 20.
Hilbert e seus alunos contribuíram significativamente para estabelecer o rigor e desenvolveram ferramentas importantes usadas na física matemática moderna. Hilbert é conhecido como um dos fundadores da teoria da prova e lógica matemática.
Vida
Primeiros anos e educação
Hilbert, o primeiro de dois filhos e único filho de Otto e Maria Therese Erdtmann Hilbert, nasceu na Província da Prússia, Reino da Prússia, seja em Königsberg de acordo com sua própria declaração ou em Wehlau conhecida desde 1946 como Znamensk perto de Königsberg, onde seu pai trabalhou na época de seu nascimento.
No final de 1872, Hilbert entrou no Friedrichskolleg Gymnasium Collegium fridericianum, a mesma escola que Immanuel Kant frequentou 140 anos antes; mas, após um período infeliz, ele se transferiu no final de 1879 e se formou no início de 1880 no Wilhelm Gymnasium, mais orientado para as ciências. Após sua formatura, no outono de 1880, Hilbert se matriculou na Universidade de Königsberg, a "Albertina". No início de 1882, Hermann Minkowski, dois anos mais jovem que Hilbert e também nativo de Königsberg, mas que havia ido a Berlim por três semestres, retornou a Königsberg e entrou na universidade. Hilbert desenvolveu uma amizade vitalícia com o tímido e talentoso Minkowski.
Carreira
Em 1884, Adolf Hurwitz chegou de Göttingen como um Extraordinarius, ou seja, um professor associado. Uma troca científica intensa e frutífera entre os três começou, e Minkowski e Hilbert especialmente exerceriam uma influência recíproca um sobre o outro em vários momentos de suas carreiras científicas. Hilbert obteve seu doutorado em 1885, com uma dissertação escrita sob Ferdinand von Lindemann, intitulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen "Sobre as propriedades invariantes de formas binárias especiais, em particular as funções harmônicas esféricas".
Hilbert permaneceu na Universidade de Königsberg como Privatdozent professor sênior de 1886 a 1895. Em 1895, como resultado da intervenção em seu favor por Felix Klein, ele obteve a posição de Professor de Matemática na Universidade de Göttingen. Durante os anos de Klein e Hilbert, Göttingen tornou-se a instituição mais preeminente no mundo matemático. Ele permaneceu lá pelo resto de sua vida.
Escola de Göttingen
Entre os alunos de Hilbert estavam Hermann Weyl, o campeão de xadrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo e Carl Gustav Hempel. John von Neumann foi seu assistente. Na Universidade de Göttingen, Hilbert foi cercado por um círculo social de alguns dos matemáticos mais importantes do século 20, como Emmy Noether e Alonzo Church.
Entre seus 69 alunos de doutorado em Göttingen havia muitos que depois se tornaram matemáticos famosos, incluindo com data da tese: Otto Blumenthal 1898, Felix Bernstein 1901, Hermann Weyl 1908, Richard Courant 1910, Erich Hecke 1910, Hugo Steinhaus 1911 e Wilhelm Ackermann 1925. Entre 1902 e 1939, Hilbert foi editor da Mathematische Annalen, a principal revista de matemática da época.
"Bom, ele não tinha imaginação suficiente para se tornar um matemático". — Resposta de Hilbert ao saber que um de seus alunos havia desistido para estudar poesia.
Anos posteriores
Por volta de 1925, Hilbert desenvolveu anemia perniciosa, uma deficiência de vitamina então intratável cujo sintoma principal é o esgotamento; seu assistente Eugene Wigner o descreveu como sujeito a "cansaço enorme" e como ele "parecia bem velho", e que mesmo depois de ser diagnosticado e tratado, ele "dificilmente era um cientista após 1925, e certamente não um Hilbert".
Hilbert viveu o tempo suficiente para ver os nazistas expurgarem muitos membros proeminentes da faculdade da Universidade de Göttingen em 1933. Os expulsos incluíram Hermann Weyl, que havia assumido a cadeira de Hilbert quando ele se aposentou em 1930, Emmy Noether e Edmund Landau. Um que teve que deixar a Alemanha, Paul Bernays, havia colaborado com Hilbert em lógica matemática e co-autor com ele do importante livro Grundlagen der Mathematik que eventualmente apareceu em dois volumes, em 1934 e 1939. Este foi um sequência do livro Principles of Mathematical Logic de Hilbert–Ackermann de 1928. O sucessor de Hermann Weyl foi Helmut Hasse.
Cerca de um ano depois, Hilbert participou de um banquete e foi sentado ao lado do novo Ministro da Educação, Bernhard Rust. Rust perguntou se "o Instituto Matemático realmente sofreu tanto por causa da partida dos judeus". Hilbert respondeu, "Sofreu? Não existe mais, não é!"
Morte
Quando Hilbert morreu em 1943, os nazistas haviam reorganizado quase completamente a universidade, pois muitos dos antigos professores eram judeus ou eram casados com judeus. O funeral de Hilbert foi frequentado por menos de uma dúzia de pessoas, apenas dois dos quais eram colegas acadêmicos, entre eles Arnold Sommerfeld, um físico teórico e também nativo de Königsberg. As notícias de sua morte só se tornaram conhecidas no mundo mais amplo seis meses após sua morte.
O epitáfio em seu túmulo em Göttingen consiste nas famosas frases que ele pronunciou na conclusão de seu discurso de aposentadoria à Sociedade de Cientistas e Médicos Alemães em 8 de setembro de 1930. As palavras foram dadas em resposta à máxima latina: "Ignoramus et ignorabimus" ou "Não sabemos, não saberemos":
Em inglês:
Devemos saber.
Saberemos.
No dia anterior a Hilbert pronunciar essas frases na reunião anual de 1930 da Sociedade de Cientistas e Médicos Alemães, Kurt Gödel — em uma discussão em mesa redonda durante a Conferência sobre Epistemologia realizada conjuntamente com as reuniões da Sociedade — anunciou provisoriamente a primeira expressão de seu teorema da incompletude. Os teoremas da incompletude de Gödel mostram que até mesmo sistemas axiomáticos elementares como a aritmética de Peano são auto-contraditórios ou contêm proposições lógicas que é impossível provar ou refutar.
Vida pessoal
Em 1892, Hilbert casou com Käthe Jerosch 1864–1945 de uma família judeu-alemã, "filha de um comerciante de Königsberg, uma jovem vocal com uma independência de espírito que correspondia à dele". Enquanto em Königsberg, tiveram um filho, Franz Hilbert 1893–1969.
O filho de Hilbert, Franz, sofreu durante toda a sua vida com uma doença mental não diagnosticada. Seu intelecto inferior foi uma decepção terrível para seu pai e essa desgraça foi motivo de angústia para os matemáticos e alunos em Göttingen.
Hilbert considerava o matemático Hermann Minkowski como seu "melhor e mais verdadeiro amigo".
Hilbert foi batizado e criado calvinista na Igreja Evangélica Prussiana. Mais tarde, ele deixou a Igreja e se tornou agnóstico. Ele também argumentou que a verdade matemática era independente da existência de Deus ou de outras suposições a priori. Quando Galileu Galilei foi criticado por não defender suas convicções sobre a teoria heliocêntrica, Hilbert se opôs: "Mas não era um idiota. Apenas um idiota poderia acreditar que a verdade científica precisa de martírio; isso pode ser necessário na religião, mas os resultados científicos se comprovam com o tempo."
Hilbert resolve o Problema de Gordan
O primeiro trabalho de Hilbert sobre funções invariantes o levou à demonstração em 1888 de seu famoso teorema da finitude. Vinte anos antes, Paul Gordan havia demonstrado o teorema da finitude de geradores para formas binárias usando uma abordagem computacional complexa. As tentativas de generalizar seu método para funções com mais de duas variáveis falharam por causa da enorme dificuldade dos cálculos envolvidos. Para resolver o que se tornou conhecido em alguns círculos como o Problema de Gordan, Hilbert percebeu que era necessário seguir um caminho completamente diferente. Como resultado, ele demonstrou o teorema da base de Hilbert, mostrando a existência de um conjunto finito de geradores para os invariantes de quantidades em qualquer número de variáveis, mas de forma abstrata. Ou seja, ao demonstrar a existência de tal conjunto, não era uma prova construtiva — não exibia "um objeto" — mas sim uma prova de existência e dependia do uso da lei do terceiro excluído em uma extensão infinita.
Hilbert enviou seus resultados para a Mathematische Annalen. Gordan, o especialista da casa sobre a teoria dos invariantes para a Mathematische Annalen, não conseguiu apreciar a natureza revolucionária do teorema de Hilbert e rejeitou o artigo, criticando a exposição por ser insuficientemente abrangente. Seu comentário foi:
Isto não é Matemática. Isto é Teologia
Klein, por outro lado, reconheceu a importância do trabalho e garantiu que seria publicado sem quaisquer alterações. Encorajado por Klein, Hilbert estendeu seu método em um segundo artigo, fornecendo estimativas sobre o grau máximo do conjunto mínimo de geradores, e o enviou mais uma vez aos Annalen. Depois de ler o manuscrito, Klein escreveu para ele, dizendo:
Sem dúvida, este é o trabalho mais importante sobre álgebra geral que a Annalen já publicou.
Mais tarde, após a utilidade do método de Hilbert ser universalmente reconhecida, o próprio Gordan diria:
Tenho me convencido de que até mesmo a teologia tem seus méritos.
Apesar de todos os seus sucessos, a natureza de sua prova criou mais problemas do que Hilbert poderia ter imaginado. Embora Kronecker tivesse cedido, Hilbert responderia mais tarde às críticas similares de outros que "muitas construções diferentes estão subsumidas sob uma ideia fundamental" — em outras palavras, para citar Reid: "Através de uma prova de existência, Hilbert havia conseguido obter uma construção"; "a prova", ou seja, os símbolos na página era "o objeto". Nem todos foram convencidos. Enquanto Kronecker morreria logo depois, sua filosofia construcionista continuaria com o jovem Brouwer e sua desenvolvente "escola" intuicionista, muito para tormento de Hilbert em seus últimos anos. De fato, Hilbert perderia seu "aluno talentoso" Weyl para o intuicionismo — "Hilbert ficou perturbado pela fascinação de seu ex-aluno pelas ideias de Brouwer, o que despertou em Hilbert a memória de Kronecker". Brouwer, o intuicionista, em particular se opôs ao uso da Lei do Terceiro Excluído sobre conjuntos infinitos como Hilbert o havia usado. Hilbert respondeu:
Axiomatização da geometria
O texto Grundlagen der Geometrie tr.: Foundations of Geometry publicado por Hilbert em 1899 propõe um conjunto formal, chamado axiomas de Hilbert, substituindo os axiomas tradicionais de Euclides. Eles evitam fraquezas identificadas nos de Euclides, cujos trabalhos na época ainda eram usados à maneira de livros didáticos. É difícil especificar os axiomas usados por Hilbert sem se referir ao histórico de publicação do Grundlagen, uma vez que Hilbert os alterou e modificou várias vezes. O monógrafo original foi rapidamente seguido por uma tradução francesa, em que Hilbert adicionou V.2, o Axioma da Completude. Uma tradução para o inglês, autorizada por Hilbert, foi feita por E.J. Townsend e protegida por direitos autorais em 1902. Esta tradução incorporou as alterações feitas na tradução francesa e é considerada uma tradução da 2ª edição. Hilbert continuou a fazer alterações no texto e várias edições apareceram em alemão. A 7ª edição foi a última a aparecer durante a vida de Hilbert. Novas edições seguiram a 7ª, mas o texto principal essencialmente não foi revisado.
A abordagem de Hilbert sinalizou a mudança para o moderno método axiomático. Nisto, Hilbert foi antecipado pelo trabalho de Moritz Pasch de 1882. Os axiomas não são tomados como verdades auto-evidentes. A geometria pode tratar coisas sobre as quais temos intuições poderosas, mas não é necessário atribuir qualquer significado explícito aos conceitos indefinidos. Os elementos, como ponto, linha, plano e outros, poderiam ser substituídos, como se diz que Hilbert ter dito a Schoenflies e Kötter, por mesas, cadeiras, copos de cerveja e outros objetos semelhantes. São seus relacionamentos definidos que são discutidos.
Hilbert primeiro enumera os conceitos indefinidos: ponto, linha, plano, relação entre pontos e linhas, pontos e planos e linhas e planos, intermediação, congruência de pares de pontos segmentos de linha e congruência de ângulos. Os axiomas unificam tanto a geometria plana quanto a geometria sólida de Euclides
