Felix Klein

Todos sabem o que é uma curva, até que estudou matemática o suficiente para ficar confuso pelo inúmero número de possíveis exceções.

Christian Felix Klein foi um matemático alemão e educador de matemática, conhecido por seu trabalho com teoria dos grupos, análise complexa, geometria não-euclidiana e as associações entre geometria e teoria dos grupos. Seu programa de Erlangen de 1872, classificando geometrias por seus grupos de simetria básicos, foi uma síntese influente de grande parte da matemática da época.

Vida

Felix Klein nasceu em 25 de abril de 1849 em Düsseldorf, para pais prussianos; seu pai, Caspar Klein 1809–1889, era secretário de um oficial do governo prussiano estacionado na Província do Reno. A mãe de Klein era Sophie Elise Klein 1819–1890, née Kayser. Ele frequentou o Gymnasium em Düsseldorf, depois estudou matemática e física na Universidade de Bonn, 1865–1866, com a intenção de se tornar um físico. Na época, Julius Plücker ocupava a cátedra de matemática e física experimental de Bonn, mas quando Klein se tornou seu assistente, durante 1866, o interesse de Plücker era geometria. Klein recebeu seu doutorado, supervisionado por Plücker, da Universidade de Bonn durante 1868.

Plücker morreu durante 1868, deixando seu livro sobre a base da geometria de linhas incompleto. Klein era a pessoa óbvia para completar a segunda parte da Neue Geometrie des Raumes de Plücker, e assim se familiarizou com Alfred Clebsch, que havia se mudado para Göttingen durante 1868. Klein visitou Clebsch no ano seguinte, juntamente com visitas a Berlim e Paris. Durante julho de 1870, no início da Guerra Franco-Prussiana, ele estava em Paris e teve que deixar o país. Por um breve tempo serviu como auxiliar médico no exército prussiano antes de ser nomeado professor assistente em Göttingen no início de 1871.

Erlangen nomeou Klein professor durante 1872, quando ele tinha apenas 23 anos de idade. Para isso, ele foi apoiado por Clebsch, que o considerava provável de se tornar o melhor matemático de sua época. Klein não desejava uma escola em Erlangen onde havia poucos estudantes, e então ficou feliz em receber uma cátedra na Technische Hochschule de Munique durante 1875. Lá ele e Alexander von Brill ensinaram cursos avançados para muitos excelentes estudantes, incluindo, Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi, e Gregorio Ricci-Curbastro.

Durante 1875 Klein casou com Anne Hegel, a neta do filósofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

Após cinco anos na Technische Hochschule, Klein foi nomeado para uma cátedra de geometria em Leipzig. Lá seus colegas incluíram Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study e Friedrich Engel. Os anos de Klein em Leipzig, 1880 a 1886, mudaram fundamentalmente sua vida. Durante 1882, sua saúde desabou; durante 1883–1884, foi atormentado pela depressão. Apesar disso sua pesquisa continuou; seu trabalho seminal sobre funções sigma hiperelpípticas data de cerca desse período, sendo publicado durante 1886 e 1888.

Klein aceitou uma cátedra na Universidade de Göttingen durante 1886. A partir de então até sua aposentadoria em 1913, ele buscou restabelecer Göttingen como o principal centro de pesquisa de matemática do mundo. No entanto, ele nunca conseguiu transferir de Leipzig para Göttingen sua própria primazia como desenvolvedor de geometria. Em Göttingen, ele lecionou uma variedade de cursos, principalmente sobre a interface entre matemática e física, como mecânica e teoria do potencial.

A instalação de pesquisa que Klein estabeleceu em Göttingen serviu como modelo para as melhores instalações desse tipo em todo o mundo. Ele introduziu reuniões de discussão semanais, e criou uma sala de leitura matemática e biblioteca. Durante 1895, Klein contratou David Hilbert longe da Universidade de Königsberg; essa nomeação provou ser fatídica, porque Hilbert continuou a boa reputação de Göttingen até sua própria aposentadoria durante 1932.

Com a editoria de Klein, Mathematische Annalen se tornou um dos melhores periódicos de matemática do mundo. Fundado por Clebsch, apenas com a gestão de Klein é que primeiro rivalizou e depois superou o Crelle's Journal baseado na Universidade de Berlim. Klein estabeleceu um pequeno time de editores que se reuniam regularmente, tomando decisões democráticas. O periódico se especializou em análise complexa, geometria algébrica, e teoria dos invariantes pelo menos até Hilbert terminar o assunto. Também forneceu uma importante via de saída para análise real e a nova teoria dos grupos.

Durante 1893 em Chicago, Klein foi um orador importante no Congresso Matemático Internacional realizado como parte da Exposição Universal de Chicago. Devido em parte aos esforços de Klein, Göttingen começou a admitir mulheres durante 1893. Ele supervisionou a primeira tese de doutorado em matemática escrita em Göttingen por uma mulher; era Grace Chisholm Young, uma estudante inglesa de Arthur Cayley, a quem Klein admirava. Durante 1897 Klein se tornou membro estrangeiro da Academia Real Holandesa de Artes e Ciências.

Por volta de 1900, Klein começou a se interessar pelo ensino de matemática nas escolas. Durante 1905, foi decisivo na formulação de um plano recomendando que geometria analítica, os rudimentos de cálculo diferencial e integral, e o conceito de função fossem ensinados nas escolas secundárias. Essa recomendação foi gradualmente implementada em muitos países ao redor do mundo. Durante 1908, Klein foi eleito presidente da Comissão Internacional de Instrução Matemática no Congresso Internacional de Matemáticos de Roma. Com sua orientação, a parte alemã da Comissão publicou muitos volumes sobre o ensino de matemática em todos os níveis na Alemanha.

A Sociedade Matemática de Londres concedeu a Klein sua Medalha De Morgan durante 1893. Foi eleito membro da Royal Society durante 1885, e foi agraciado com sua Medalha Copley durante 1912. Ele se aposentou no ano seguinte devido a problemas de saúde, mas continuou a ensinar matemática em sua casa por alguns anos mais.

Klein foi um dos 93 signatários do Manifesto dos Noventa e Três, um documento redigido em apoio à invasão alemã da Bélgica nos estágios iniciais da Primeira Guerra Mundial.

Klein tinha o título de Geheimrat conselheiro de confiança.

Ele morreu em Göttingen durante 1925.

Trabalho

A dissertação de Klein, sobre geometria de linhas e suas aplicações à mecânica, classificou complexos de linhas de segundo grau usando a teoria de divisores elementares de Weierstrass.

As primeiras descobertas matemáticas importantes de Klein foram feitas durante 1870. Em colaboração com Sophus Lie, ele descobriu as propriedades fundamentais das linhas assintóticas na superfície de Kummer. Eles investigaram posteriormente W-curves, curvas invariantes sob um grupo de transformações projetivas. Foi Lie quem introduziu Klein ao conceito de grupo, que deveria ter um papel importante em seu trabalho posterior. Klein também aprendeu sobre grupos com Camille Jordan.

Klein inventou a "garrafa de Klein" nomeada após ele, uma superfície fechada de um lado que não pode ser incorporada no espaço euclidiano tridimensional, mas pode ser imersa como um cilindro curvado através de si mesmo para se unir com sua outra extremidade de "dentro". Pode ser incorporada no espaço euclidiano de dimensões 4 e superiores. O conceito de uma Garrafa de Klein foi inventado como uma fita de Möbius tridimensional, com um método de construção sendo a união das arestas de duas fitas de Möbius.

Durante os anos 1890, Klein começou a estudar física matemática com mais intensidade, escrevendo sobre o giroscópio com Arnold Sommerfeld. Durante 1894, ele iniciou a ideia de uma enciclopédia de matemática incluindo suas aplicações, que se tornou a Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Essa empresa, que duraria até 1935, forneceu uma importante referência padrão de valor duradouro.

Programa de Erlangen

Durante 1871, enquanto estava em Göttingen, Klein fez descobertas importantes em geometria. Publicou dois artigos Sobre a Chamada Geometria Não-Euclidiana mostrando que as geometrias euclidiana e não-euclidiana poderiam ser consideradas espaços métricos determinados por uma métrica de Cayley-Klein. Esse insight tinha o corolário de que a geometria não-euclidiana era consistente se e somente se a geometria euclidiana fosse, dando o mesmo status às geometrias euclidiana e não-euclidiana, e terminando toda controvérsia sobre geometria não-euclidiana. Arthur Cayley nunca aceitou o argumento de Klein, acreditando que era circular.

A síntese de Klein da geometria como o estudo das propriedades de um espaço que é invariante sob um determinado grupo de transformações, conhecida como programa de Erlangen 1872, influenciou profundamente a evolução da matemática. Este programa foi iniciado pela aula inaugural de Klein como professor em Erlangen, embora não tenha sido o discurso real que ele proferiu na ocasião. O programa propôs um sistema unificado de geometria que se tornou o método moderno aceito. Klein mostrou como as propriedades essenciais de uma geometria dada poderiam ser representadas pelo grupo de transformações que preservam essas propriedades. Assim a definição do programa de geometria abarcava tanto geometria euclidiana quanto não-euclidiana.

Presentemente a significância das contribuições de Klein para a geometria é mais do que evidente, mas não porque essas contribuições sejam agora consideradas estranhas ou erradas. Ao contrário, essas contribuições se tornaram tão parte de nosso pensamento matemático presente que é difícil para nós apreciar sua novidade, e a forma como não foram imediatamente aceitas por todos seus contemporâneos.

Análise complexa

Klein considerava seu trabalho em análise complexa como sua principal contribuição para a matemática, especificamente seu trabalho em:

• A conexão entre certas ideias de Riemann e teoria dos invariantes,
• Teoria dos números e álgebra abstrata;
• Teoria dos grupos;
• Geometria com mais de 3 dimensões e equações diferenciais, especialmente equações que ele inventou, nomeadamente funções modulares elípticas e funções automórficas.

Klein mostrou que o grupo modular move a região fundamental do plano complexo de forma a tesselar esse plano. Durante 1879, ele examinou a ação de PSL2,7, considerada como uma imagem do grupo modular, e obteve uma representação explícita de uma superfície de Riemann agora chamada de quartícupa de Klein. Ele mostrou que essa superfície era uma curva no espaço projetivo, que sua equação era x3y + y3z + z3x = 0, e que seu grupo de simetrias era PSL2,7 de ordem 168. Seu Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale 1882 trata análise complexa de uma maneira geométrica, conectando teoria do potencial e mapeamentos conformes. Este trabalho baseou-se em noções da dinâmica dos fluidos.

Klein considerou equações de grau > 4, e foi especialmente interessado em usar métodos transcendentais para resolver a equação geral de quinto grau. Baseando-se nos métodos de Charles Hermite e Leopold Kronecker, produziu resultados semelhantes aos de Brioschi e posteriormente resolveu completamente o problema por meio do grupo icosaédrico. Este trabalho o permitiu escrever uma série de artigos sobre funções modulares elípticas.

Em seu livro de 1884 sobre o icosaedro, Klein estabeleceu uma teoria de funções automórficas, associando álgebra e geometria. No entanto Poincaré publicou um esboço de sua teoria de funções automórficas durante 1881, o que resultou em uma rivalidade amigável entre os dois homens. Ambos buscavam formular e provar um grande teorema de uniformização que estabelecesse a nova teoria mais completamente. Klein conseguiu formular tal teorema e descrever uma estratégia para prová-lo. Mas enquanto fazia este trabalho sua saúde diminuiu, como mencionado acima.

Klein resumiu seu trabalho sobre funções automórficas e modulares elípticas em um tratado de quatro volumes, escrito com Robert Fricke durante um período de cerca de 20 anos.

Obras selecionadas

• 1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
• e-text em Project Gutenberg, também disponível de Cornell
• 1884:Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade Tradução em inglês por G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
• Tradução em inglês por G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
• 1886: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
• 1888: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
• 1894: Über die hypergeometrische Funktion
• 1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
• 1897: com Arnold Sommerfeld Theorie des Kreisels volumes posteriores: 1898, 1903, 1910
• 1890: com Robert Fricke Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2 volumes e 1892
• 1894: Evanston Colloquium 1893 reportado e publicado por Ziwet New York, 1894
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1897, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen em alemão, Leipzig: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01 Zweiter Band. 1901.
• 1901: Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1912, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere