Se ao menos tivesse os Teoremas! Então eu encontraria as provas facilmente.
Georg Friedrich Bernhard Riemann foi um matemático alemão que fez contribuições para análise, teoria dos números e geometria diferencial. No campo da análise real, ele é principalmente conhecido pela primeira formulação rigorosa da integral, a integral de Riemann, e seu trabalho em séries de Fourier. Suas contribuições à análise complexa incluem notavelmente a introdução das superfícies de Riemann, abrindo novos caminhos para um tratamento natural e geométrico da análise complexa. Seu famoso artigo de 1859 sobre a função de contagem de primos, contendo a declaração original da hipótese de Riemann, é considerado um dos artigos mais influentes na teoria dos números analítica. Através de suas contribuições pioneiras à geometria diferencial, Riemann estabeleceu as bases da matemática da relatividade geral. Ele é considerado por muitos como um dos maiores matemáticos de todos os tempos.
Biografia
Anos iniciais
Riemann nasceu em 17 de setembro de 1826 em Breselenz, uma aldeia perto de Dannenberg no Reino de Hanover. Seu pai, Friedrich Bernhard Riemann, era um pobre pastor luterano em Breselenz que lutou nas Guerras Napoleônicas. Sua mãe, Charlotte Ebell, morreu antes de seus filhos chegarem à idade adulta. Riemann era o segundo de seis filhos, tímido e sofrendo de numerosos colapsos nervosos. Riemann exibiu habilidades matemáticas excepcionais, como capacidades de cálculo, desde uma idade precoce, mas sofria de timidez e medo de falar em público.
Educação
Durante 1840, Riemann foi para Hanover viver com sua avó e frequentar o ensino médio do liceu. Após a morte de sua avó em 1842, ele frequentou o ensino médio no Johanneum Lüneburg. No ensino médio, Riemann estudou a Bíblia intensivamente, mas era frequentemente distraído pela matemática. Seus professores ficavam impressionados com sua habilidade de realizar operações matemáticas complicadas, nas quais frequentemente superava o conhecimento de seus instrutores. Em 1846, aos 19 anos, começou a estudar filologia e teologia cristã para se tornar pastor e ajudar financeiramente sua família.
Durante a primavera de 1846, seu pai, depois de reunir dinheiro suficiente, enviou Riemann para a Universidade de Göttingen, onde planejava estudar para obter um diploma em Teologia. No entanto, uma vez lá, começou a estudar matemática sob Carl Friedrich Gauss, especificamente suas aulas sobre o método dos mínimos quadrados. Gauss recomendou que Riemann abandonasse seu trabalho teológico e entrasse no campo da matemática; depois de obter a aprovação de seu pai, Riemann se transferiu para a Universidade de Berlin em 1847. Durante seu período de estudo, Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner e Gotthold Eisenstein estavam lecionando. Ele permaneceu em Berlin por dois anos e retornou a Göttingen em 1849.
Academia
Riemann realizou suas primeiras aulas em 1854, que fundaram o campo da geometria Riemanniana e assim prepararam o terreno para a teoria geral da relatividade de Albert Einstein. Em 1857, houve uma tentativa de promover Riemann ao status de professor extraordinário na Universidade de Göttingen. Embora essa tentativa tenha falhado, resultou em Riemann finalmente receber um salário regular. Em 1859, seguindo a morte de Dirichlet que ocupava a cadeira de Gauss na Universidade de Göttingen, ele foi promovido a chefe do departamento de matemática da Universidade de Göttingen. Ele também foi o primeiro a sugerir usar dimensões superiores a apenas três ou quatro para descrever a realidade física.
Em 1862 ele se casou com Elise Koch e tiveram uma filha Ida Schilling que nasceu em 22 de dezembro de 1862.
Família protestante e morte na Itália
Riemann fugiu de Göttingen quando os exércitos de Hanover e Prússia se chocaram lá em 1866. Ele morreu de tuberculose durante sua terceira viagem à Itália em Selasca, agora uma aldeia de Verbania, no Lago Maggiore, onde foi enterrado no cemitério em Biganzolo Verbania.
Riemann era um cristão dedicado, filho de um ministro protestante, e via sua vida como matemático como outra forma de servir a Deus. Durante sua vida, manteve-se fiel à sua fé cristã e a considerava o aspecto mais importante de sua vida. No momento de sua morte, estava recitando a Oração do Senhor com sua esposa e morreu antes de terminarem de rezar a oração. Enquanto isso, em Göttingen sua governanta descartou alguns dos papéis em seu escritório, incluindo muito trabalho não publicado. Riemann se recusava a publicar trabalhos incompletos, e algumas percepções profundas podem ter sido perdidas para sempre.
A lápide de Riemann em Biganzolo, Itália, refere-se a Romanos 8:28:
Aqui repousa em Deus
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Professor em Göttingen
nascido em Breselenz, 17 de setembro de 1826
morreu em Selasca, 20 de julho de 1866
Para aqueles que amam a Deus, todas as coisas devem trabalhar juntas para o bem
Aqui repousa em Deus Georg Friedrich Bernhard Riemann Professor em Göttingen nascido em Breselenz, 17 de setembro de 1826 morreu em Selasca, 20 de julho de 1866 Para aqueles que amam a Deus, todas as coisas devem trabalhar juntas para o bem
Geometria Riemanniana
Os trabalhos publicados de Riemann abriram áreas de pesquisa combinando análise com geometria. Essas se tornariam posteriormente partes importantes das teorias de geometria Riemanniana, geometria algébrica e teoria de variedades complexas. A teoria das superfícies de Riemann foi elaborada por Felix Klein e particularmente por Adolf Hurwitz. Esta área da matemática é parte do fundamento da topologia e ainda está sendo aplicada de maneiras novas à física matemática.
Em 1853, Gauss pediu a Riemann, seu aluno, para preparar um Habilitationsschrift sobre os fundamentos da geometria. Ao longo de muitos meses, Riemann desenvolveu sua teoria de dimensões superiores e apresentou sua aula em Göttingen em 1854 intitulada "Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" "Sobre as hipóteses que fundamentam a geometria". Foi publicado apenas doze anos depois em 1868 por Dedekind, dois anos após sua morte. Sua recepção inicial parece ter sido lenta, mas agora é reconhecido como um dos trabalhos mais importantes em geometria.
O assunto fundado por este trabalho é a geometria Riemanniana. Riemann encontrou a maneira correta de estender para n dimensões a geometria diferencial de superfícies, que o próprio Gauss provou em seu theorema egregium. O objeto fundamental é chamado de tensor de curvatura de Riemann. Para o caso da superfície, isso pode ser reduzido a um número escalar, positivo, negativo ou zero; os casos não-zero e constantes sendo modelos das geometrias não-Euclidianas conhecidas.
A ideia de Riemann foi introduzir uma coleção de números em cada ponto no espaço, ou seja, um tensor que descreveria quanto estava dobrado ou curvado. Riemann descobriu que em quatro dimensões espaciais, é preciso uma coleção de dez números em cada ponto para descrever as propriedades de uma variedade, não importa o quão distorcida seja. Esta é a famosa construção central em sua geometria, conhecida agora como uma métrica Riemanniana.
Análise complexa
Em sua dissertação, ele estabeleceu uma base geométrica para a análise complexa através de superfícies de Riemann, através das quais funções multivalentes como o logaritmo com infinitas folhas ou a raiz quadrada com duas folhas poderiam se tornar funções biunívocas. Funções complexas são funções harmônicas, ou seja, satisfazem a equação de Laplace e, portanto, as equações de Cauchy-Riemann nessas superfícies e são descritas pela localização de suas singularidades e pela topologia das superfícies. O "gênero" topológico das superfícies de Riemann é dado por g = w / 2 − n + 1 parâmetros os "moduli".
Suas contribuições nesta área são numerosas. O famoso teorema da aplicação de Riemann diz que um domínio simplesmente conexo no plano complexo é "biholomorficamente equivalente", ou seja, há uma bijeção entre eles que é holomorfa com um inverso holomórfico a C ou ao interior do círculo unitário. A generalização do teorema para superfícies de Riemann é o famoso teorema da uniformização, que foi provado no século 19 por Henri Poincaré e Felix Klein. Aqui também, provas rigorosas foram dadas pela primeira vez após o desenvolvimento de ferramentas matemáticas mais ricas neste caso, topologia. Para a prova da existência de funções em superfícies de Riemann, ele usou uma condição de minimalidade, que chamou de princípio de Dirichlet. Karl Weierstrass encontrou uma lacuna na prova: Riemann não havia notado que sua suposição de trabalho de que o mínimo existia poderia não funcionar; o espaço de funções poderia não ser completo e, portanto, a existência de um mínimo não era garantida. Através do trabalho de David Hilbert no Cálculo de Variações, o princípio de Dirichlet foi finalmente estabelecido. De outra forma, Weierstrass ficou muito impressionado com Riemann, especialmente com sua teoria de funções abelianas. Quando o trabalho de Riemann apareceu, Weierstrass retirou seu artigo do Crelle's Journal e não o publicou. Tiveram uma boa compreensão quando Riemann o visitou em Berlin em 1859. Weierstrass encorajou seu aluno Hermann Amandus Schwarz a encontrar alternativas ao princípio de Dirichlet em análise complexa, em que teve sucesso. Uma anedota de Arnold Sommerfeld mostra as dificuldades que os matemáticos contemporâneos tinham com as novas ideias de Riemann. Em 1870, Weierstrass havia levado a dissertação de Riemann consigo para as férias em Rigi e reclamou que era difícil de entender. O físico Hermann von Helmholtz o ajudou no trabalho durante toda a noite e retornou com o comentário de que era "natural" e "muito compreensível".
Outros destaques incluem seu trabalho em funções abelianas e funções teta em superfícies de Riemann. Riemann havia estado em competição com Weierstrass desde 1857 para resolver os problemas inversos de Jacobi para integrais abelianas, uma generalização de integrais elípticas. Riemann usou funções teta em várias variáveis e reduziu o problema à determinação dos zeros dessas funções teta. Riemann também investigou matrizes de período e as caracterizou através das "relações de período Riemanniano" simétricas, parte real negativa. Por Ferdinand Georg Frobenius e Solomon Lefschetz a validade dessa relação é equivalente à incorporação de C n / Ω, esta é a variedade jacobiana da superfície de Riemann, um exemplo de uma variedade abeliana.
Muitos matemáticos como Alfred Clebsch avançaram o trabalho de Riemann em curvas algébricas. Essas teorias dependiam das propriedades de uma função definida em superfícies de Riemann. Por exemplo, o teorema de Riemann-Roch Roch era aluno de Riemann diz algo sobre o número de diferenciais linearmente independentes com condições conhecidas sobre os zeros e polos de uma superfície de Riemann.
De acordo com Detlef Laugwitz, funções automórficas apareceram pela primeira vez em um ensaio sobre a equação de Laplace em cilindros eletricamente carregados. Riemann, no entanto, usou tais funções para mapeamentos conformes, como mapear triângulos topológicos para o círculo em sua aula de 1859 sobre funções hipergeométricas ou em seu tratado sobre superfícies mínimas.
Análise real
No campo da análise real, ele descobriu a integral de Riemann em sua habilitação. Entre outras coisas, mostrou que toda função contínua por partes é integrável. Similarmente, a integral de Stieltjes remonta ao matemático de Göttingen, e assim são nomeadas juntas a integral de Riemann-Stieltjes.
Em seu trabalho de habilitação em séries de Fourier, onde seguiu o trabalho de seu professor Dirichlet, mostrou que funções integráveis por Riemann são "representáveis" por séries de Fourier. Dirichlet mostrou isso para funções contínuas, diferenciáveis por partes, portanto com muitos pontos não diferenciáveis. Riemann deu um exemplo de uma série de Fourier representando uma função contínua, quase em nenhum lugar diferenciável, um caso não coberto por Dirichlet. Ele também provou o lema de Riemann-Lebesgue: se uma função é representável por uma série de Fourier, então os coeficientes de Fourier tendem a zero para n grande.
O ensaio de Riemann foi também o ponto de partida para o trabalho de Georg Cantor com séries de Fourier, que foi o impulso para a teoria dos conjuntos.
Ele também trabalhou com equações diferenciais hipergeométricas em 1857 usando métodos analíticos complexos e apresentou as soluções através do comportamento de caminhos fechados sobre singularidades descritos pela matriz de monodromia. A prova da existência de tais equações diferenciais por matrizes de monodromia conhecidas anteriormente é um dos problemas de Hilbert.
Teoria dos números
Ele fez algumas contribuições famosas à teoria dos números analítica moderna. Em um único artigo breve, o único que publicou sobre o assunto de teoria dos números, investigou a função zeta que agora leva seu nome, estabelecendo sua importância para compreender a distribuição dos números primos. A hipótese de Riemann foi uma série de conjecturas que fez sobre as propriedades da função.
No trabalho de Riemann, há muitos mais desenvolvimentos interessantes. Ele provou a equação funcional para a função zeta já conhecida por Leonhard Euler, atrás da qual uma função teta se encontra. Através da soma dessa função de aproximação sobre os zeros não triviais na linha com parte real 1/2, ele deu uma fórmula exata e "explícita" para π x .
Riemann conhecia o trabalho de Pafnuty Chebyshev sobre o Teorema dos Números Primos. Ele
