감각이 고통으로 느껴지는 것은 그것이 고통이라는 것이다.
Saul Aaron Kripke는 분석 철학 전통에 속하는 미국의 철학자이자 논리학자이다. 그는 뉴욕시립대학교 대학원 철학 석좌교수이자 Princeton University 명예교수이다. 1960년대 이후로 Kripke는 수리 논리, 양상 논리, 언어 철학, 수학 철학, 형이상학, 인식론 및 재귀 이론과 관련된 여러 분야의 중심 인물이었다. 그의 많은 저작은 아직 발표되지 않았거나 테이프 녹음과 개인적으로 유통되는 원고의 형태로만 존재한다.
Kripke는 특히 양상 논리에 있어 논리학에 영향력 있고 독창적인 기여를 했다. 그의 주요 기여는 가능 세계를 포함하는 양상 논리의 의미론으로, 현재 Kripke 의미론이라 불린다. 그는 2001년 논리 및 철학 분야의 Schock Prize를 수상했다.
Kripke는 또한 논리적 실증주의의 쇠퇴 이후 형이상학의 부흥에 부분적으로 책임이 있으며, 필연성이 선험적이라는 인식론적 개념과 구별되는 형이상학적 개념이라고 주장하고, 물이 H2O라는 것처럼 후험적으로 알려진 필연적 진리들이 존재한다고 했다. 1970년 Princeton 강의 시리즈는 1980년 『Naming and Necessity』라는 책으로 출판되었으며, 20세기 가장 중요한 철학 저작 중 하나로 간주된다. 이 저작은 모든 가능 세계에서 참인 순수 지시어로서의 이름의 개념을 소개하며, 이는 기술과 대조된다. 또한 Gottlob Frege의 의미 개념과 Bertrand Russell의 기술 이론에서 발견되는 기술주의 이론에 이의를 제기하는 Kripke의 인과적 지시 이론을 포함한다.
Kripke는 또한 Ludwig Wittgenstein에 대한 독창적인 해석을 제시했으며, 이는 "Kripkenstein"으로 알려져 있고, 그의 저작 『Wittgenstein on Rules and Private Language』에 나타난다. 이 책은 의미에 대한 회의주의를 위한 역설인 그의 규칙 따르기 논증을 포함한다.
삶과 경력
Saul Kripke는 Dorothy K. Kripke와 Rabbi Myer S. Kripke에게서 태어난 세 자녀 중 맏이다. 그의 아버지는 Nebraska의 Omaha에 있는 유일한 보수주의 회중인 Beth El Synagogue의 지도자였으며, 그의 어머니는 어린이들을 위한 교육용 유대교 도서를 저술했다. Saul과 그의 두 자매 Madeline과 Netta는 Dundee Grade School과 Omaha Central High School에 다녔다. Kripke는 신동으로 낙인찍혔으며, 여섯 살에 고대 히브리어를 독학하고, 아홉 살에 Shakespeare의 전집을 읽었으며, 초등학교를 마치기 전에 Descartes의 저작과 복잡한 수학 문제를 마스터했다. 그는 17세에 양상 논리에서 첫 번째 완전성 정리를 저술했으며, 1년 후 그것이 출판되었다. 1958년 고등학교를 졸업한 후 Kripke는 Harvard University에 진학했고 1962년 수학 학사 학위로 최우등 졸업했다. Harvard 2학년 때 그는 인근의 MIT에서 대학원 수준의 논리학 강좌를 가르쳤다. 졸업 후 그는 Fulbright Fellowship을 받았으며, 1963년 Society of Fellows에 임명되었다. Kripke는 나중에 "대학을 건너뛰었으면 좋겠다. 흥미로운 사람들을 알게 되었지만 뭔가 배웠다고는 할 수 없다. 아마 나는 혼자 읽으면서 어쨌든 그 모든 것을 배웠을 것이다"라고 말했다.
Harvard에서 잠시 강의한 후, 1968년 Kripke는 뉴욕시의 Rockefeller University로 이사하여 1976년까지 강의했다. 1978년 그는 Princeton University의 석좌교수직을 맡았다. 1988년 그는 인문학 분야의 뛰어난 성취로 대학의 Behrman Award를 수상했다. 2002년 Kripke는 CUNY Graduate Center에서 강의하기 시작했으며, 2003년 그곳의 철학 석좌교수로 임명되었다.
Kripke는 University of Nebraska 1977, Johns Hopkins University 1997, University of Haifa, Israel 1998 및 University of Pennsylvania 2005로부터 명예 박사 학위를 받았다. 그는 American Philosophical Society의 회원이자 American Academy of Arts and Sciences의 선출된 Fellow이며, 1985년에는 British Academy의 Corresponding Fellow였다. 그는 2001년 논리 및 철학 분야의 Schock Prize를 수상했다.
Kripke는 철학자 Margaret Gilbert와 결혼했다. 그는 텔레비전 작가, 감독 및 제작자 Eric Kripke의 2촌 조카이다.
저작
Kripke의 철학에 대한 기여는 다음을 포함한다:
- 양상 및 관련 논리를 위한 Kripke 의미론으로, 그의 십대 때부터 시작하는 여러 논문에서 출판됨.
- 1972년과 1980년에 출판된 그의 1970년 Princeton 강의 『Naming and Necessity』로, 언어 철학을 크게 재구성함.
- 그의 Wittgenstein 해석.
- 그의 진리 이론.
그는 또한 재귀 이론에 기여했으며, admissible ordinal과 Kripke–Platek 집합 이론을 참조한다.
양상 논리
Kripke의 초기 저작 두 편인 "A Completeness Theorem in Modal Logic" 1959와 "Semantical Considerations on Modal Logic" 1963은 양상 논리에 관한 것으로, 전자는 그가 십대일 때 저술되었다. 양상 계열에서 가장 잘 알려진 논리들은 K라 불리는 약한 논리에서 구성되며, 이는 Kripke의 이름을 따서 명명되었다. Kripke는 관계 의미론 또는 틀 의미론으로도 알려진 현재의 표준 Kripke 의미론을 도입했다. Kripke 의미론은 비고전 논리 체계에 대한 형식 의미론이다. 처음 양상 논리에 만들어졌으며, 나중에 직관주의 논리와 다른 비고전 체계로 적응되었다. Kripke 의미론의 발견은 이전에 Kripke 이전에는 그러한 논리의 모델 이론이 부재했기 때문에 비고전 논리 제작에 있어 획기적인 일이었다.
Kripke 틀 또는 양상 틀은 한 쌍 ⟨ W , R ⟩이며, 여기서 W는 공집합이 아닌 집합이고 R은 W 위의 이항 관계이다. W의 원소들을 노드 또는 세계라 부르며, R은 접근 관계로 알려져 있다. 접근 관계의 추이성, 반사성 등의 성질에 따라 대응하는 틀은 확장에 의해 추이적, 반사적 등으로 설명된다.
Kripke 모델은 삼중쌍 ⟨ W , R , ⊩ ⟩은 W의 노드들과 양상 공식 사이의 관계로, 다음과 같다:
- w ⊩ ¬ A ,
- w ⊩ A → B ,
- w ⊩ ◻ A .
w ⊩ A를 만족 관계, 평가 또는 강제 관계라 읽는다. 만족 관계는 명제 변수들의 값에 의해 유일하게 결정된다.
공식 A는 다음에서 타당하다:
- 모든 w ∈ W에 대해 모델 ⟨ W , R , ⊩ ⟩,
- 틀 ⟨ W , R ⟩,
- 틀 또는 모델들의 클래스 C, 만약 그것이 C의 모든 구성원에서 타당하다면.
우리는 ThmC를 C에서 타당한 모든 공식들의 집합으로 정의한다. 역으로, X가 공식들의 집합이면, ModX를 X의 모든 공식을 검증하는 모든 틀들의 클래스라 하자.
양상 논리, 즉 공식들의 집합 L은 틀들의 클래스 C에 대해 건전하다, 만약 L ⊆ ThmC이면. L은 C에 대해 완전하다 만약 L ⊇ ThmC이면.
의미론은 논리, 즉 도출 체계만 조사할 때 유용하다, 의미론적 함축 관계가 그것의 구문론적 대응물인 결과 관계 도출성을 반영한다면. 어떤 양상 논리가 Kripke 틀들의 클래스에 대해 건전하고 완전한지, 그리고 그들에 대해 그것이 어떤 클래스인지를 결정하는 것이 필수적이다.
Kripke 틀들의 어떤 클래스 C에 대해서도, ThmC는 특히 최소 정규 양상 논리 K의 정리들이 모든 Kripke 모델에서 타당한 정규 양상 논리이다. 하지만 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 연구되는 양상 체계들의 대부분이 단순한 조건으로 설명되는 틀들의 클래스의 완전성이 있기 때문에 이것은 문제가 없는 Kripke 불완전 정규 양상 논리들이 있다.
정규 양상 논리 L은 틀들의 클래스 C에 대응한다, 만약 C = ModL이면. 다시 말해, C는 L이 C에 대해 건전한 최대 틀들의 클래스이다. 따라서 L은 그것이 대응하는 클래스의 완전성을 가질 때 그리고 오직 그때만 Kripke 완전하다.
스키마 T를 생각해보자: ◻ A → A . T는 반사적 Kripke 틀들의 클래스에 대응한다.
보통 그것의 완전성을 증명하기보다는 L의 대응하는 틀들의 클래스를 특성화하는 것이 훨씬 더 쉽다, 따라서 대응은 완전성 증명으로의 안내 역할을 한다. 대응은 또한 양상 논리들의 불완전성을 보이는 데 사용된다: L1 ⊆ L2가 같은 틀들의 클래스에 대응하는 정규 양상 논리들이지만 L1이 L2의 모든 정리를 증명하지 않는다고 가정하자. 그러면 L1은 Kripke 불완전하다. 예를 들어, 스키마 ◻ A ≡ ◻ A → ◻ A .
정규 모델
어떤 정규 양상 논리 L에 대해서도, Kripke 모델이라 불리는 정규 모델은 구성될 수 있으며, 최대 일관된 집합들을 모델로 사용하는 표준 기법의 적응에 의해 정확히 L의 정리들을 검증한다. 정규 Kripke 모델들은 대수 의미론에서 Lindenbaum–Tarski 대수 구성과 유사한 역할을 한다.
공식들의 집합은 L-일관된 것이다 만약 L의 공리들과 modus ponens를 사용하여 그들로부터 모순이 도출될 수 없다면. 최대 L-일관된 집합, 간단히 L-MCS는 적절한 L-일관된 상위집합이 없는 L-일관된 집합이다.
L의 정규 모델은 Kripke 모델 ⟨ W , R , ⊩ ⟩은 다음과 같다:
정규 모델은 L의 모델이다, 모든 L-MCS가 L의 모든 정리를 포함하기 때문에. Zorn의 보조정리에 의해, 각 L-일관된 집합은 L-MCS에 포함되고, 특히 L에서 증명할 수 없는 모든 공식은 정규 모델에서 반례를 가진다.
정규 모델들의 주요 응용은 완전성 증명이다. K의 정규 모델의 성질들은 즉시 모든 Kripke 틀들의 클래스에 대해 K의 완전성을 함축한다. 이 논증은 임의의 L에 대해 작동하지 않는다, 정규 모델의 기초 틀이 L의 틀 조건들을 만족한다는 보장이 없기 때문이다.
공식 또는 공식들의 집합 X가 Kripke 틀들의 성질 P에 대해 정규라고 말한다, 만약
- X가 P를 만족하는 모든 틀에서 타당하다면,
- X를 포함하는 어떤 정규 양상 논리 L에 대해서도, L의 정규 모델의 기초 틀이 P를 만족한다면.
정규 공식들의 집합들의 합집합은 자체적으로 정규이다. 앞의 논의로부터 정규 공식들의 집합에 의해 공리화되는 어떤 논리든 Kripke 완전하고 컴팩트하다는 것이 따른다.
공리들 T, 4, D, B, 5, H, G 및 따라서 그들의 어떤 조합도 정규이다. GL과 Grz는 컴팩트하지 않기 때문에 정규가 아니다. 공리 M 자체로는 정규가 아니다 Goldblatt, 1991, 하지만 결합된 논리 S4.1은 실제로 K4.1도 정규이다.
일반적으로, 주어진 공리가 정규인지 여부는 결정 불가능하다. 우리는 좋은 충분 조건을 알고 있다: H. Sahlqvist는 다음과 같은 현재 Sahlqvist 공식이라 불리는 넓은 클래스의 공식들을 식별했다:
- Sahlqvist 공식은 정규이다,
- Sahlqvist 공식에 대응하는 틀들의 클래스는 1차 정의 가능하다,
- 주어진 Sahlqvist 공식에 대응하는 틀 조건을 계산하는 알고리즘이 있다.
이것은 강력한 준칙이다: 예를 들어, 위에서 정규인 것으로 나열된 모든 공리들은 Sahlqvist 공식들과 동등하다. 논리는 유한 모델 성질(FMP)을 가진다 만약 그것이 유한 틀들의 클래스에 대해 완전하다면. 이 개념의 응용은 결정성 질문이다: Post의 정리로부터 FMP를 가지는 재귀적으로 공리화되는 양상 논리 L은 주어진 유한 틀이 L의 모델인지 여부를 결정하는 것이 결정 가능하다면 결정 가능하다. 특히, FMP를 가지는 모든 유한하게 공리화 가능한 논리는 결정 가능하다.
주어진 논리에 대해 FMP를 확립하기 위한 다양한 방법들이 있다. 정규 모델 구성의 정제 및 확장은 종종 여과 또는 전개와 같은 도구를 사용하여 작동한다. 또 다른 가능성으로서, 무절단 순차 계산에 기초한 완전성 증명들은 보통 유한 모델을 직접 생성한다.
실제로 사용되는 양상 체계들의 대부분은 위에 나열된 모든 것을 포함하여 FMP를 가진다.
어떤 경우들에서, 우리는 FMP를 사용하여 논리의 Kripke 완전성을 증명할 수 있다: 모든 정규 양상 논리는 양상 대수들의 클래스에 대해 완전하고, 유한 양상 대수는 Kripke 틀로 변환될 수 있다. 예로서, Robert Bull은 이 방법을 사용하여 S4.3의 모든 정규 확장이 FMP를 가지며 Kripke 완전하다는 것을 증명했다.
Kripke 의미론은 하나 이상의 양상을 가진 논리들로의 직
