Una piccola riflessione ci mostrerà che ogni credenza, anche la più semplice e fondamentale, va oltre l'esperienza quando considerata come guida alle nostre azioni.
William Kingdon Clifford era un matematico e filosofo inglese. Basandosi sul lavoro di Hermann Grassmann, introdusse quella che è ora chiamata algebra geometrica, un caso speciale dell'algebra di Clifford che porta il suo nome. Le operazioni dell'algebra geometrica hanno l'effetto di riflettere, ruotare, traslare e mappare gli oggetti geometrici che vengono modellati in nuove posizioni. Le algebre di Clifford in generale e l'algebra geometrica in particolare hanno avuto un'importanza sempre crescente nella fisica matematica, nella geometria e nell'informatica. Clifford fu il primo a suggerire che la gravitazione potrebbe essere una manifestazione di una geometria sottostante. Nei suoi scritti filosofici coniò l'espressione mind-stuff.
Biografia
Nato a Exeter, William Clifford mostrò grande promessa a scuola. Andò al King's College London all'età di 15 anni e al Trinity College, Cambridge, dove fu eletto fellow nel 1868, dopo essere stato secondo wrangler nel 1867 e secondo Smith's prizeman. Essere secondo era un destino che condivideva con altri che divennero scienziati famosi, tra cui William Thomson Lord Kelvin e James Clerk Maxwell. Nel 1870, fece parte di una spedizione in Italia per osservare l'eclissi solare del 22 dicembre 1870. Durante quel viaggio sopravvisse a un naufragio lungo la costa siciliana.
Nel 1871, fu nominato professore di matematica e meccanica all'University College London, e nel 1874 divenne fellow della Royal Society. Era anche membro della London Mathematical Society e della Metaphysical Society.
Il 7 aprile 1875 Clifford sposò Lucy Lane, con la quale ebbe due figli. Clifford godeva di intrattenere i bambini e scrisse una raccolta di favole, The Little People.
Morte e eredità
Nel 1876, Clifford subì un esaurimento, probabilmente causato dal superlavoro. Insegnava e amministrava di giorno, e scriveva di notte. Una vacanza di sei mesi in Algeria e Spagna gli permise di riprendere i suoi doveri per 18 mesi, dopo i quali crollò di nuovo. Andò sull'isola di Madeira per riprendersi, ma morì lì di tubercolosi dopo pochi mesi, lasciando una vedova con due figli.
Clifford e sua moglie sono sepolti nel Highgate Cemetery di Londra, vicino alle tombe di George Eliot e Herbert Spencer, poco a nord della tomba di Karl Marx.
La rivista accademica Advances in Applied Clifford Algebras pubblica sull'eredità di Clifford in cinematica e algebra astratta.
Matematica
La scoperta della geometria non euclidea ha aperto nuove possibilità nella geometria nell'era di Clifford. Il campo della geometria differenziale intrinseca nacque, con il concetto di curvatura ampiamente applicato allo spazio stesso così come a linee e superfici curve. Clifford rimase molto impressionato dall'articolo del 1854 di Bernhard Riemann "On the hypotheses which lie at the bases of geometry". Nel 1870, riferì alla Cambridge Philosophical Society sui concetti di spazio curvo di Riemann, e incluse speculazioni sulla curvatura dello spazio dalla gravità. La traduzione di Clifford dell'articolo di Riemann fu pubblicata in Nature nel 1873. Il suo rapporto a Cambridge, "On the Space-Theory of Matter", fu pubblicato nel 1876, anticipando la relatività generale di Albert Einstein di 40 anni. Clifford elaborò la geometria dello spazio ellittico come uno spazio metrico non euclideo. Le curve equidistanti nello spazio ellittico sono ora dette parallele di Clifford.
Clifford era soprattutto e prima di tutto un geometra.
I contemporanei di Clifford lo consideravano acuto e originale, spiritoso e caloroso. Spesso lavorava fino a tardi nella notte, il che potrebbe aver accelerato la sua morte. Pubblicò articoli su una vasta gamma di argomenti tra cui forme algebriche e geometria proiettiva e il libro di testo Elements of Dynamic. La sua applicazione della teoria dei grafi alla teoria degli invarianti fu seguita da William Spottiswoode e Alfred Kempe.
Algebre
Nel 1878, Clifford pubblicò un lavoro seminale, basandosi sull'estesa algebra di Grassmann. Era riuscito a unificare i quaternioni, sviluppati da William Rowan Hamilton, con il prodotto esterno di Grassmann, noto anche come prodotto esteriore. Comprendeva la natura geometrica della creazione di Grassmann, e che i quaternioni si adattavano perfettamente all'algebra che Grassmann aveva sviluppato. I versori nei quaternioni facilitano la rappresentazione della rotazione. Clifford pose le fondamenta per un prodotto geometrico, composto dalla somma del prodotto interno e del prodotto esterno di Grassmann. Il prodotto geometrico fu infine formalizzato dal matematico ungherese Marcel Riesz. Il prodotto interno fornisce all'algebra geometrica una metrica, incorporando pienamente le relazioni di distanza e angolo per linee, piani e volumi, mentre il prodotto esterno conferisce a questi piani e volumi proprietà simili a vettori, inclusa una distorsione direzionale.
Combinando i due ha portato in gioco l'operazione di divisione. Ciò ha ampliato notevolmente la nostra comprensione qualitativa di come gli oggetti interagiscono nello spazio. Crucialmente, ha anche fornito i mezzi per calcolare quantitativamente le conseguenze spaziali di quelle interazioni. L'algebra geometrica risultante, come la chiamò, ha infine realizzato l'obiettivo da tempo ricercato di creare un'algebra che rispecchia i movimenti e le proiezioni degli oggetti nello spazio tridimensionale.
Inoltre, lo schema algebrico di Clifford si estende a dimensioni superiori. Le operazioni algebriche hanno la stessa forma simbolica che hanno in 2 o 3 dimensioni. L'importanza delle algebre di Clifford generali è cresciuta nel tempo, mentre le loro classi di isomorfismo - come algebre reali - sono state identificate in altri sistemi matematici oltre ai semplici quaternioni.
I reami dell'analisi reale e dell'analisi complessa sono stati ampliati attraverso l'algebra H dei quaternioni, grazie alla sua nozione di una sfera tridimensionale incorporata in uno spazio quadridimensionale. I versori quaternione, che abitano questa 3-sfera, forniscono una rappresentazione del gruppo di rotazione SO3. Clifford notò che i biquaternioni di Hamilton erano un prodotto tensoriale H ⊗ C forma di quaternioni duali. L'algebra dei quaternioni duali è usata per esprimere lo spostamento a vite, un mapping comune in cinematica.
Filosofia
Come filosofo, il nome di Clifford è principalmente associato a due frasi di sua invenzione, mind-stuff e il sé tribale. La prima simboleggia la sua concezione metafisica, suggerita dalla sua lettura di Baruch Spinoza, che Clifford nel 1878 definì come segue:
Quell'elemento di cui, come abbiamo visto, persino il sentimento più semplice è un complesso, lo chiamerò Mind-stuff. Una molecola mobile di materia inorganica non possiede mente o consapevolezza; ma possiede un piccolo pezzo di mind-stuff. Quando le molecole sono combinate insieme in modo da formare il film sul lato inferiore di una medusa, gli elementi di mind-stuff che le accompagnano sono combinati in modo da formare i deboli inizi della Sensibilità. Quando le molecole sono combinate in modo da formare il cervello e il sistema nervoso di un vertebrato, gli elementi corrispondenti di mind-stuff sono combinati in modo da formare una sorta di consapevolezza; cioè, i cambiamenti nel complesso che si verificano contemporaneamente si collegano talmente che la ripetizione di uno implica la ripetizione dell'altro. Quando la materia assume la forma complessa di un cervello umano vivente, il corrispondente mind-stuff assume la forma di una consapevolezza umana, dotata di intelligenza e volontà.
Riguardo al concetto di Clifford, Sir Frederick Pollock scrisse:
In breve, la concezione è che la mente è l'unica realtà ultima; non la mente come la conosciamo nelle forme complesse del sentimento consapevole e del pensiero, ma gli elementi più semplici da cui il pensiero e il sentimento sono costruiti. L'elemento ipotetico ultimo della mente, o atomo di mind-stuff, corrisponde precisamente all'atomo ipotetico della materia, essendo il fatto ultimo di cui l'atomo materiale è il fenomeno. La materia e l'universo sensibile sono le relazioni tra particolari organismi, cioè la mente organizzata in consapevolezza, e il resto del mondo. Questo porta a risultati che in senso lato e popolare sarebbero chiamati materialisti. Ma la teoria deve, come teoria metafisica, essere conteggiata dal lato idealista. Per parlare tecnicamente, è un monismo idealista.
Il sé tribale, d'altra parte, dà la chiave alla visione etica di Clifford, che spiega la coscienza e la legge morale attraverso lo sviluppo in ogni individuo di un "sé", che prescrive la condotta favorevole al benessere della "tribù". Gran parte della prominenza contemporanea di Clifford era dovuta al suo atteggiamento verso la religione. Animato da un intenso amore della sua concezione della verità e dalla dedizione al dovere pubblico, combatté contro quei sistemi ecclesiastici che a lui sembravano favorire l'oscurantismo, e anteporre le rivendicazioni della setta a quelle della società umana. L'allarme era maggiore, poiché la teologia era ancora non riconciliata con il darwinismo; e Clifford era considerato un campione pericoloso delle tendenze anti-spirituali attribuite allora alla scienza moderna. C'è stato anche dibattito sulla misura in cui la dottrina di Clifford di "concomitanza" o "parallelismo psicofisico" ha influenzato il modello del sistema nervoso di John Hughlings Jackson e, attraverso di lui, il lavoro di Janet, Freud, Ribot e Ey.
Etica
Nel suo saggio del 1877, "The Ethics of Belief", Clifford sostiene che è immorale credere cose per le quali manca l'evidenza. Descrive un armatore che aveva pianificato di inviare in mare una vecchia nave non ben costruita piena di passeggeri. L'armatore aveva dubbi su se la nave potesse essere adatta alla navigazione: "Questi dubbi lo tormentavano, e lo rendevano infelice." Ha considerato di far riparare la nave anche se sarebbe stato costoso. Alla fine, "riuscì a superare questi riflessioni malinconici." Guardò la nave partire, "con il cuore leggero…e ricevette il denaro dell'assicurazione quando affondò in mezzo all'oceano e non disse nulla."
Clifford sostiene che l'armatore era colpevole della morte dei passeggeri anche se sinceramente credeva che la nave fosse solida: "Non aveva il diritto di credere sulla base delle prove che aveva davanti a lui." Inoltre, sostiene che anche nel caso in cui la nave raggiunga con successo la destinazione, la decisione rimane immorale, perché la moralità della scelta è definita per sempre una volta che la scelta è fatta, e l'esito effettivo, definito dal caso cieco, non importa. L'armatore non sarebbe meno colpevole: il suo torto non sarebbe mai scoperto, ma ancora non aveva il diritto di prendere quella decisione date le informazioni disponibili in quel momento.
Clifford conclude famoosamente: "è sbagliato sempre, ovunque, e per chiunque, credere a qualsiasi cosa sulla base di prove insufficienti."
In quanto tale, sta argomentando in diretta opposizione ai pensatori religiosi per i quali la "fede cieca", cioè la credenza in cose nonostante la mancanza di prove per esse, era una virtù. Questo articolo è stato famosamente attaccato dal filosofo pragmatista William James nella sua conferenza "Will to Believe". Spesso questi due lavori vengono letti e pubblicati insieme come pietre di paragone per il dibattito su l'evidenzialismo, la fede e l'eccessiva credenza.
Premonizione della relatività
Sebbene Clifford non abbia mai costruito una teoria completa dello spaziotempo e della relatività, ci sono alcune osservazioni notevoli che ha fatto sulla stampa che hanno preannunciato questi concetti moderni: Nel suo libro Elements of Dynamic 1878, ha introdotto il "moto quasi-armonico in un'iperbole". Ha scritto un'espressione per un'iperbole unitaria parametrizzata, che altri autori in seguito usarono come modello per la velocità relativistica. Altrove afferma:
Questo passaggio fa riferimento ai biquaternioni, sebbene Clifford li abbia trasformati in biquaternioni divisi come suo sviluppo indipendente. Il libro continua con un capitolo "Sulla curvatura dello spazio", la sostanza della relatività generale. Clifford discusse anche le sue opinioni in On the Space-Theory of Matter nel 1876.
Nel 1910, William Barrett Frankland citò la Space-Theory of Matter nel suo libro sul parallelismo: "L'audacia di questa speculazione è senza dubbio senza pari nella storia del pensiero. Fino ad ora, tuttavia, presenta l'apparenza di un volo Icaro." Anni dopo, dopo che la relatività generale era stata avanzata da Albert Einstein, vari autori notarono che Clifford aveva anticipato Einstein. Hermann Weyl nel 1923, ad esempio, menzionò Clifford come uno di coloro che, come Bernhard Riemann, aveva anticipato le idee geometriche della relatività.
Nel 1940, Eric Temple Bell pubblicò The Development of Mathematics, in cui discute la prescienza di Clifford sulla relatività:
Ancora più audace di Riemann, Clifford confessò la sua convinzione (1870) che la materia è solo una manifestazione di curvatura in una varietà spaziotempo. Questa divinazione embrionale è stata acclamata come un'anticipazione della teoria relativistica di Einstein (1915-16) del campo gravitazionale. La teoria effettiva, tuttavia, ha solo una leggera rassomiglianza con il credo piuttosto dettagliato di Clifford. Di regola, quei profeti matematici che mai scendono ai particolari ottengono i punteggi migliori. Quasi chiunque può colpire il lato di un fienile a quaranta metri con una carica di fucile a canna liscia.
John Archibald Wheeler, durante il Congresso Internazionale per la Logica, la Metodologia e la Filosofia della Scienza CLMPS del 1960 a Stanford, introdusse la sua formulazione di geometrodinamica della relatività generale accreditando Clifford come l'iniziatore.
In The Natural Philosophy of Time 1961, Gerald James Whitrow reca
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