Ogni buon matematico è almeno per metà un filosofo, e ogni buon filosofo è almeno per metà un matematico.
Friedrich Ludwig Gottlob Frege era un filosofo, logico e matematico tedesco. Ha lavorato come professore di matematica presso l'Università di Jena, ed è considerato da molti il padre della filosofia analitica, concentrandosi sulla filosofia del linguaggio, la logica e la matematica. Sebbene fosse largamente ignorato durante la sua vita, Giuseppe Peano 1858–1932, Bertrand Russell 1872–1970, e, in una certa misura, Ludwig Wittgenstein 1889–1951 introdussero il suo lavoro alle generazioni successive di filosofi.
I suoi contributi includono lo sviluppo della logica moderna nella Begriffsschrift e il lavoro sui fondamenti della matematica. Il suo libro Fondamenti dell'aritmetica è il testo seminale del progetto logicista, ed è citato da Michael Dummett come il luogo in cui individuare la linguistic turn. Anche i suoi articoli filosofici "Sul senso e il riferimento" e "Il pensiero" sono ampiamente citati. Il primo sostiene due diversi tipi di significato e il descrittivismo. In Fondamenti e "Il pensiero", Frege sostiene il platonismo contro lo psicologismo o il formalismo, riguardanti rispettivamente i numeri e le proposizioni. Il paradosso di Russell ha minato il progetto logicista mostrando che la Legge Fondamentale V di Frege nei Fondamenti è falsa.
Vita
Infanzia 1848–69
Frege è nato nel 1848 a Wismar, Meclemburgo-Strelitz, oggi parte del Meclemburgo-Pomerania Anteriore. Suo padre Carl Karl Alexander Frege 1809–1866 era il cofondatore e preside di una scuola superiore femminile fino alla sua morte. Dopo la morte di Carl, la scuola è stata guidata dalla madre di Frege Auguste Wilhelmine Sophie Frege née Bialloblotzky, 12 gennaio 1815 – 14 ottobre 1898; sua madre era Auguste Amalia Maria Ballhorn, una discendente di Philipp Melanchthon e suo padre era Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, un discendente di una famiglia nobile polacca che lasciò la Polonia nel XVII secolo.
Nell'infanzia, Frege incontrò filosofie che avrebbero guidato la sua futura carriera scientifica. Ad esempio, suo padre scrisse un libro di testo sulla lingua tedesca per bambini di 9-13 anni, intitolato Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren 2nd ed., Wismar 1850; 3rd ed., Wismar and Ludwigslust: Hinstorff, 1862 Libro di aiuto per insegnare il tedesco a bambini da 9 a 13 anni, la cui prima sezione affrontava la struttura e la logica del linguaggio.
Frege ha studiato presso la Große Stadtschule Wismar e si è diplomato nel 1869. Suo insegnante Gustav Adolf Leo Sachse 5 novembre 1843 – 1 settembre 1909, che era un poeta, ha avuto il ruolo più importante nel determinare la futura carriera scientifica di Frege, incoraggiandolo a continuare i suoi studi presso l'Università di Jena.
Studi universitari 1869–74
Frege si è immatricolato presso l'Università di Jena nella primavera del 1869 come cittadino della Confederazione della Germania del Nord. Nei quattro semestri dei suoi studi ha frequentato circa venti corsi di lezioni, la maggior parte di essi su matematica e fisica. Il suo insegnante più importante è stato Ernst Karl Abbe 1840–1905; fisico, matematico e inventore. Abbe ha tenuto lezioni sulla teoria della gravità, il galvanismo e l'elettrodinamica, la teoria delle funzioni di variabile complessa, le applicazioni della fisica, le divisioni selezionate della meccanica e la meccanica dei solidi. Abbe era più di un insegnante per Frege: era un amico di fiducia e, come direttore del produttore ottico Carl Zeiss AG, era in grado di far progredire la carriera di Frege. Dopo la laurea di Frege, entrarono in corrispondenza più stretta.
I suoi altri insegnanti universitari notevoli erano Christian Philipp Karl Snell 1806–86; argomenti: uso dell'analisi infinitesimale nella geometria, geometria analitica dei piani, meccanica analitica, ottica, fondamenti fisici della meccanica; Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900; geometria analitica, fisica applicata, analisi algebrica, sul telegrafo e altre macchine elettroniche; e il filosofo Kuno Fischer 1824–1907; filosofia kantiana e critica.
A partire dal 1871, Frege ha continuato i suoi studi a Göttingen, l'università leader in matematica nei territori di lingua tedesca, dove ha frequentato le lezioni di Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72; geometria analitica, Ernst Christian Julius Schering 1824–97; teoria delle funzioni, Wilhelm Eduard Weber 1804–91; studi fisici, fisica applicata, Eduard Riecke 1845–1915; teoria dell'elettricità, e Hermann Lotze 1817–81; filosofia della religione. Molte delle dottrine filosofiche del Frege maturo hanno paralleli in Lotze; è stato oggetto di dibattito accademico se c'era o meno un'influenza diretta sulle opinioni di Frege derivante dalla frequenza delle lezioni di Lotze.
Nel 1873, Frege ha conseguito il suo dottorato sotto Ernst Christian Julius Schering, con una dissertazione intitolata "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" "Su una rappresentazione geometrica di forme immaginarie in un piano", in cui mirava a risolvere problemi fondamentali della geometria come l'interpretazione matematica dei punti immaginari infinitamente lontani della geometria proiettiva.
Frege ha sposato Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 15 febbraio 1856 – 25 giugno 1904 il 14 marzo 1887.
Lavoro come logico
Sebbene la sua educazione e il suo primo lavoro matematico si concentrassero principalmente sulla geometria, il lavoro di Frege si rivolse presto alla logica. La sua Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens , Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 ha segnato un punto di svolta nella storia della logica. La Begriffsschrift ha aperto nuovi orizzonti, includendo un trattamento rigoroso delle idee di funzioni e variabili. L'obiettivo di Frege era mostrare che la matematica scaturisce dalla logica, e nel farlo, ha ideato tecniche che lo portarono ben oltre il sillogismo aristotelico e la logica proposizionale stoica che gli erano state tramandate dalla tradizione logica.
In effetti, Frege ha inventato la logica dei predicati assiomatica, in gran parte grazie alla sua invenzione di variabili quantificate, che alla fine divenne onnipresente in matematica e logica, e che risolse il problema della molteplicità generale. La logica precedente aveva affrontato le costanti logiche e, o, se... allora..., non, e alcuni e tutti, ma le iterazioni di queste operazioni, in particolare "alcuni" e "tutti", erano poco comprese: anche la distinzione tra una frase come "ogni ragazzo ama una ragazza" e "una ragazza è amata da ogni ragazzo" poteva essere rappresentata solo molto artificialmente, mentre il formalismo di Frege non aveva difficoltà nel rappresentare le diverse letture di "ogni ragazzo ama una ragazza che ama un ragazzo che ama una ragazza" e frasi simili, in completo parallelo con il suo trattamento di, ad esempio, "ogni ragazzo è stolto".
Un esempio frequentemente notato è che la logica di Aristotele non riesce a rappresentare affermazioni matematiche come il teorema di Euclide, un'affermazione fondamentale della teoria dei numeri secondo cui ci sono infiniti numeri primi. La "notazione concettuale" di Frege, tuttavia, può rappresentare tali inferenze. L'analisi dei concetti logici e il meccanismo di formalizzazione essenziale per Principia Mathematica 3 voll., 1910–13, di Bertrand Russell, 1872–1970, e Alfred North Whitehead, 1861–1947, per la teoria delle descrizioni di Russell, per i teoremi di incompletezza di Kurt Gödel 1906–78, e per la teoria della verità di Alfred Tarski 1901–83, è in ultima analisi dovuta a Frege.
Uno degli scopi dichiarati di Frege era isolare i principi genuinamente logici dell'inferenza, in modo che nella corretta rappresentazione della prova matematica, non si farebbe mai appello all'"intuizione". Se c'era un elemento intuitivo, doveva essere isolato e rappresentato separatamente come un assioma: da lì in poi, la prova doveva essere puramente logica e senza lacune. Avendo esposto questa possibilità, lo scopo più ampio di Frege era difendere la visione che l'aritmetica è un ramo della logica, una visione nota come logicismo: a differenza della geometria, l'aritmetica doveva essere mostrata come non avere basi nell'"intuizione", e nessuna necessità di assiomi non logici. Già nella Begriffsschrift del 1879 importanti teoremi preliminari, ad esempio, una forma generalizzata della legge della tricotomia, furono derivati in quella che Frege intendeva come pura logica.
Questa idea è stata formulata in termini non simbolici nel suo I fondamenti dell'aritmetica Die Grundlagen der Arithmetik, 1884. Più tardi, nelle sue Leggi fondamentali dell'aritmetica Grundgesetze der Arithmetik, vol. 1, 1893; vol. 2, 1903; il vol. 2 è stato pubblicato a sue spese, Frege ha tentato di derivare, utilizzando il suo simbolismo, tutte le leggi dell'aritmetica dagli assiomi che aveva affermato come logici. La maggior parte di questi assiomi sono stati ripresi dalla sua Begriffsschrift, sebbene non senza alcuni significativi cambiamenti. L'unico nuovo principio davvero nuovo era uno che chiamava Legge Fondamentale V: l'"intervallo di valori" della funzione fx è lo stesso dell'"intervallo di valori" della funzione gx se e solo se ∀x.
Il caso cruciale della legge può essere formulato nella notazione moderna come segue. Sia {x|Fx} denoti l'estensione del predicato Fx, cioè l'insieme di tutti gli F, e similmente per Gx. Allora la Legge Fondamentale V dice che i predicati Fx e Gx hanno la stessa estensione se e solo se ∀x. L'insieme degli F è lo stesso dell'insieme dei G solo nel caso in cui ogni F sia un G e ogni G sia un F. Il caso è speciale perché quello che qui viene chiamato l'estensione di un predicato, o un insieme, è solo un tipo di "intervallo di valori" di una funzione.
In un famoso episodio, Bertrand Russell scrisse a Frege, proprio quando il vol. 2 della Grundgesetze stava per andare in stampa nel 1903, mostrando che il paradosso di Russell poteva essere derivato dalla Legge Fondamentale V di Frege. È facile definire la relazione di appartenenza di un insieme o estensione nel sistema di Frege; Russell quindi attirò l'attenzione su "l'insieme di cose x tali che x non è un membro di x". Il sistema della Grundgesetze implica che l'insieme così caratterizzato sia e non sia un membro di se stesso, ed è quindi incoerente. Frege scrisse una frettolosa e ultima appendice al vol. 2, derivando la contraddizione e proponendo di eliminarla modificando la Legge Fondamentale V. Frege ha aperto l'Appendice con il commento eccezionalmente onesto: "Difficilmente qualcosa di più sfortunato può capitare a uno scrittore scientifico che avere una delle fondamenta del suo edificio scossa dopo che il lavoro è finito. Questa era la posizione in cui mi sono trovato messo da una lettera del signor Bertrand Russell, proprio quando la stampa di questo volume stava per completarsi." Questa lettera e la risposta di Frege sono tradotte in Jean van Heijenoort 1967.
Il rimedio proposto da Frege è stato successivamente dimostrato implicare che c'è un solo oggetto nell'universo del discorso, e quindi è inutile infatti, questo comporterebbe una contraddizione nel sistema di Frege se avesse assiomatizzato l'idea, fondamentale nella sua discussione, che il Vero e il Falso sono oggetti distinti; vedi, ad esempio, Dummett 1973, ma il lavoro recente ha mostrato che gran parte del programma della Grundgesetze potrebbe essere salvato in altri modi:
- La Legge Fondamentale V può essere indebolita in altri modi. Il modo più noto è dovuto al filosofo e logico matematico George Boolos 1940–1996, che era un esperto del lavoro di Frege. Un "concetto" F è "piccolo" se gli oggetti che cadono sotto F non possono essere messi in una corrispondenza uno-a-uno con l'universo del discorso, cioè, a meno che: ∃R[R is 1-to-1 & ∀x∃yxRy & Fy]. Ora indebolisci V a V*: un "concetto" F e un "concetto" G hanno la stessa "estensione" se e solo se né F né G è piccolo o ∀xFx ↔ Gx. V* è coerente se lo è l'aritmetica di secondo ordine, e basta per provare gli assiomi dell'aritmetica di secondo ordine.
- La Legge Fondamentale V può semplicemente essere sostituita con il principio di Hume, che dice che il numero degli F è lo stesso del numero dei G se e solo se gli F possono essere messi in una corrispondenza uno-a-uno con i G. Anche questo principio è coerente se lo è l'aritmetica di secondo ordine, e basta per provare gli assiomi dell'aritmetica di secondo ordine. Questo risultato è chiamato il teorema di Frege perché è stato notato che nello sviluppo dell'aritmetica, l'uso della Legge Fondamentale V da parte di Frege è limitato a una prova del principio di Hume; è da questo, a sua volta, che derivano i principi aritmetici. Sul principio di Hume e il teorema di Frege, vedi "La logica di Frege, il teorema e i fondamenti per l'aritmetica".
- La logica di Frege, ora nota come logica di secondo ordine, può essere indebolita a quella che viene chiamata logica di secondo ordine predicativa. La logica di secondo ordine predicativa più la Legge Fondamentale V è provabilmente coerente con metodi finitistici o costruttivi, ma può interpretare solo frammenti molto deboli dell'aritmetica.
Il lavoro di Frege in logica ha avuto poca attenzione internazionale fino al 1903, quando Russell scrisse un'appendice a I principi della matematica affermando le sue differenze con Frege. La notazione diagrammatica che Frege usava non aveva precedenti e non ha avuto imitatori da allora. Inoltre, fino all'apparizione della Principia Mathematica di Russell e Whitehead 3 voll. nel 1910–13, l'approccio dominante alla logica matematica era ancora quello di George Boole 1815–64 e dei suoi discendenti intellettuali, in particolare Ernst Schröder 1841–1902. Le idee logiche di Frege si sono diffuse comunque attraverso gli scritti del suo studente Rudolf Carnap 1891–1970 e altri ammiratori, in particolare Bertrand Russell e Ludwig Wittgenstein 1889–1951.
Filosofo
Frege è uno dei fondatori della filosofia analitica, il cui lavoro sulla logica e il linguaggio ha dato origine alla linguistic turn in filosofia. I suoi contributi alla filosofia del linguaggio includono:
- Analisi funzione e argomento della proposizione;
- Distinzione tra concetto e oggetto Begriff und Gegensta
