Se la dimostrazione è corretta, allora nessun altro riconoscimento è necessario
Grigori Yakovlevich Perelman è un matematico russo noto per i suoi contributi nei campi dell'analisi geometrica, della geometria riemanniana e della topologia geometrica.
Negli anni '90, in parte in collaborazione con Yuri Burago, Mikhael Gromov e Anton Petrunin, ha dato contributi influenti allo studio degli spazi di Alexandrov. Nel 1994, ha provato la congettura dell'anima nella geometria riemanniana, che era stato un problema aperto per i 20 anni precedenti. Nel 2002 e 2003, ha sviluppato nuove tecniche nell'analisi del flusso di Ricci, fornendo così uno schema dettagliato di una dimostrazione della congettura di Poincaré e della congettura di geometrizzazione di Thurston, la prima delle quali era stata un famoso problema aperto in matematica per il secolo precedente. I dettagli completi del lavoro di Perelman sono stati completati e spiegati da vari autori negli anni successivi.
Ad agosto 2006, a Perelman fu offerta la Medaglia Fields per "i suoi contributi alla geometria e i suoi rivoluzionari insegnamenti sulla struttura analitica e geometrica del flusso di Ricci", ma ha rifiutato il premio, dichiarando: "Non mi interessa il denaro o la fama; non voglio essere esposto come un animale in uno zoo." Il 22 dicembre 2006, la rivista scientifica Science ha riconosciuto la dimostrazione di Perelman della congettura di Poincaré come il "Progresso scientifico dell'anno", il primo tale riconoscimento nel campo della matematica.
Il 18 marzo 2010, è stato annunciato che aveva soddisfatto i criteri per ricevere il primo Clay Millennium Prize per la risoluzione della congettura di Poincaré. Il 1º luglio 2010, ha rifiutato il premio di un milione di dollari, dicendo che considerava la decisione della giunta dell'Istituto Clay ingiusta, nel senso che il suo contributo alla risoluzione della congettura di Poincaré non era maggiore di quello di Richard S. Hamilton, il matematico che ha aperto la strada al flusso di Ricci in parte con l'obiettivo di attaccare la congettura. Aveva precedentemente rifiutato il prestigioso premio della European Mathematical Society, nel 1996.
Infanzia e educazione
Grigori Yakovlevich Perelman è nato a Leningrado, Unione Sovietica ora Saint Petersburg, Russia il 13 giugno 1966, da genitori russo-ebrei Yakov che ora vive in Israele e Lyubov che ancora vive a Saint Petersburg con Grigori. La madre di Grigori Lyubov ha abbandonato il lavoro di specializzazione in matematica per allevarlo. Il talento matematico di Grigori divenne evidente all'età di dieci anni, e sua madre lo iscrisse al programma di formazione matematica dopo le lezioni di Sergei Rukshin.
La sua educazione matematica proseguì alla Leningrad Secondary School #239, una scuola specializzata con programmi avanzati di matematica e fisica. Grigori eccelleva in tutte le materie tranne l'educazione fisica. Nel 1982, come membro della squadra dell'Unione Sovietica che gareggiava alle Olimpiadi Matematiche Internazionali, una competizione internazionale per studenti delle scuole superiori, ha vinto una medaglia d'oro, raggiungendo un punteggio perfetto. Ha continuato come studente della Scuola di Matematica e Meccanica presso l'Università di Stato di Leningrado, senza esami di ammissione e iscritto all'università.
Dopo aver completato il suo dottorato di ricerca nel 1990, Perelman ha iniziato a lavorare presso il Dipartimento di Leningrado dell'Istituto di Matematica Steklov dell'Accademia delle Scienze dell'URSS, dove i suoi consulenti erano Aleksandr Aleksandrov e Yuri Burago. Alla fine degli anni '80 e all'inizio degli anni '90, con una forte raccomandazione del geometra Mikhail Gromov, Perelman ha ottenuto posizioni di ricerca presso diverse università negli Stati Uniti. Nel 1991 Perelman ha vinto il Premio Young Mathematician della Società Matematica di Saint Petersburg per il suo lavoro sugli spazi di Aleksandrov con curvatura limitata dal basso. Nel 1992, è stato invitato a trascorrere un semestre ciascuno presso il Courant Institute di New York University e Stony Brook University dove ha iniziato a lavorare su varietà con limiti inferiori sulla curvatura di Ricci. Da lì, ha accettato una borsa di ricerca biennale Miller presso l'University of California, Berkeley nel 1993. Dopo aver provato la congettura dell'anima nel 1994, è stato offerto lavori presso diverse università di alto livello negli Stati Uniti, incluse Princeton e Stanford, ma ha rifiutato tutti e è tornato all'Istituto Steklov a Saint Petersburg nell'estate del 1995 per una posizione di sola ricerca.
Ricerca negli anni '90
Il lavoro più notevole di Perelman in questo periodo è stato nel campo degli spazi di Alexandrov, il cui concetto risale agli anni '50. In un famoso articolo del 1992 coautore con Yuri Burago e Mikhail Gromov, Perelman ha esposto le fondamenta moderne di questo campo, con la nozione di convergenza di Gromov-Hausdorff come principio organizzativo. Nel 1993, Perelman ha sviluppato una nozione di teoria di Morse su questi spazi non lisci. Per il suo lavoro su spazi di Alexandrov, Perelman è stato invitato a tenere una conferenza al Congresso Internazionale dei Matematici del 1994.
La congettura dell'anima di Cheeger e Gromoll, formulata nel 1972, dice:
Supponiamo che (M, g) sia una varietà riemanniana completa, connessa e non compatta con curvatura sezionale K ≥ 0, e che esista un punto in M dove la curvatura sezionale (in tutte le direzioni sezionali) è strettamente positiva. Allora l'anima di M è un punto; equivalentemente M è diffeomorfa a Rn.
Questo era di interesse poiché Cheeger e Gromoll avevano stabilito il risultato sotto l'ipotesi più forte che tutte le curvature sezionali siano positive. Poiché la deformazione da curvatura non negativa a positiva non è ben compresa, la congettura dell'anima è stata proposta. Nel 1994, Perelman ha dato una breve e elegante prova della congettura stabilendo che nel caso generale K ≥ 0, la retrazione di Sharafutdinov P : M → S è una sommersione.
Tre articoli notevoli di Perelman dal 1994 al 1997 affrontano la costruzione di varie interessanti varietà riemanniane con curvatura di Ricci positiva.
Congetture di geometrizzazione e Poincaré
Il problema
La congettura di Poincaré, proposta dal matematico francese Henri Poincaré nel 1904, era uno dei problemi chiave nella topologia. Qualsiasi ciclo su una 3-sfera, come esemplificato dall'insieme di punti a una distanza di 1 dall'origine nello spazio euclideo quadridimensionale, può essere contratto in un punto. La congettura di Poincaré asserisce che qualsiasi varietà tridimensionale chiusa, tale che qualsiasi ciclo possa essere contratto in un punto, è topologicamente una 3-sfera. Il risultato analogo si sa che è vero in dimensioni maggiori o uguali a cinque dal 1960 come nel lavoro di Stephen Smale. Il caso quadridimensionale ha resistito più a lungo, essere finalmente risolto nel 1982 da Michael Freedman. Ma il caso di tre-varietà si è rivelato il più difficile di tutti. Grosso modo, questo perché nel manipolare topologicamente una tre-varietà ci sono troppo poche dimensioni per spostare "regioni problematiche" senza interferire con qualcos'altro. Il contributo più fondamentale al caso tridimensionale era stato prodotto da Richard S. Hamilton. Il ruolo di Perelman era di completare il programma di Hamilton.
La prova di Perelman
Nel novembre 2002, Perelman ha postato il primo di tre preprint su arXiv, in cui ha sostenuto di aver delineato una prova della congettura di geometrizzazione, di cui la congettura di Poincaré è un caso particolare. Questo è stato seguito da altri due preprint nel 2003.
Perelman ha modificato il programma di Richard S. Hamilton per una prova della congettura. L'idea centrale è la nozione del flusso di Ricci. L'idea fondamentale di Hamilton è formulare un "processo dinamico" in cui una data tre-varietà è geometricamente distorta, con il processo di distorsione governato da un'equazione differenziale analoga all'equazione del calore. L'equazione del calore che molto prima motivò Riemann a enunciare la sua ipotesi di Riemann sugli zeri della funzione zeta descrive il comportamento di quantità scalari come la temperatura. Assicura che le concentrazioni di temperatura elevata si diffonderanno fino a raggiungere una temperatura uniforme in tutto un oggetto. Allo stesso modo, il flusso di Ricci descrive il comportamento di una quantità tensoriale, il tensore di curvatura di Ricci. La speranza di Hamilton era che sotto il flusso di Ricci le concentrazioni di curvatura grande si diffondessero fino a raggiungere una curvatura uniforme su tutta la tre-varietà. Se così fosse, se si inizia con una tre-varietà qualsiasi e si lascia che il flusso di Ricci si verifichi, allora si dovrebbe, in linea di principio, eventualmente ottenere una sorta di "forma normale". Secondo William Thurston questa forma normale deve assumere una di un piccolo numero di possibilità, ognuna con un diverso tipo di geometria, chiamate geometrie modello di Thurston.
Tuttavia, era ampiamente previsto che il processo sarebbe stato ostacolato dallo sviluppo di "singolarità". Negli anni '90, Hamilton ha fatto progressi nella comprensione dei possibili tipi di singolarità che potrebbero verificarsi, ma non è stato in grado di fornire una descrizione completa. Gli articoli di Perelman hanno tracciato una soluzione. Secondo Perelman, ogni singolarità assomiglia o a un cilindro che collassa al suo asse, o a una sfera che collassa al suo centro. Con questa comprensione, è stato in grado di costruire una modifica del flusso di Ricci standard, chiamata flusso di Ricci con chirurgia, che può sistematicamente escindere regioni singolari mentre si sviluppano, in modo controllato. L'idea del flusso di Ricci con chirurgia era presente sin da un articolo del 1993 di Hamilton, che l'aveva realizzato con successo nel 1997 nel contesto di spazi di dimensioni superiori soggetti a certe condizioni geometriche ristrette. La procedura di chirurgia di Perelman era ampiamente simile a quella di Hamilton ma era strikingly diversa nei suoi aspetti tecnici.
Perelman ha mostrato che qualsiasi singolarità che si sviluppa in un tempo finito è essenzialmente un "pizzicamento" lungo certe sfere corrispondenti alla decomposizione prima della 3-varietà. Inoltre, qualsiasi singolarità di "tempo infinito" risulta da certi pezzi collassanti della decomposizione JSJ. Il lavoro di Perelman prova questa affermazione e quindi prova la congettura di geometrizzazione.
I contenuti dei tre articoli sono riassunti di seguito:
- Il primo preprint, La formula di entropia per il flusso di Ricci e le sue applicazioni geometriche, fornisce molte tecniche nuove nello studio del flusso di Ricci, il cui risultato principale è un teorema che fornisce una caratterizzazione quantitativa di regioni ad alta curvatura del flusso.
- Il secondo preprint, Flusso di Ricci con chirurgia su tre-varietà, ha corretto alcune affermazioni scorrette del primo articolo e riempie alcuni dettagli, e utilizza il risultato principale del primo articolo per prescrivere la procedura di chirurgia. La seconda metà dell'articolo è dedicata a un'analisi di flussi di Ricci che esistono per tempo infinito.
- Il terzo preprint, Tempo di estinzione finito per le soluzioni del flusso di Ricci su certe tre-varietà, fornisce una scorciatoia alla prova della congettura di Poincaré che evita gli argomenti nella seconda metà del secondo preprint. Mostra che su qualsiasi spazio che soddisfa le ipotesi della congettura di Poincaré, il flusso di Ricci con chirurgia esiste solo per tempo finito, così che l'analisi di tempo infinito del flusso di Ricci è irrilevante.
Tobias Colding e William Minicozzi II hanno fornito un argomento completamente alternativo al terzo preprint di Perelman. Il loro argomento, dato il prerequisito di alcuni sofisticati argomenti di teoria della misura geometrica come sviluppati negli anni '80, è particolarmente semplice.
Verifica
I preprint di Perelman hanno rapidamente attirato l'attenzione della comunità matematica, sebbene fossero ampiamente visti come difficili da comprendere poiché erano stati scritti in modo piuttosto conciso. Contrariamente allo stile usuale nelle pubblicazioni accademiche matematiche, molti dettagli tecnici erano stati omessi. Presto divenne evidente che Perelman aveva dato contributi importanti alle fondamenta del flusso di Ricci, anche se non era immediatamente chiaro alla comunità matematica che questi contributi fossero sufficienti a provare la congettura di geometrizzazione o la congettura di Poincaré.
Ad aprile 2003, Perelman ha visitato il Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University e New York University per tenere brevi serie di conferenze sul suo lavoro, e per chiarire alcuni dettagli per esperti nei campi rilevanti.
Nel giugno 2003, Bruce Kleiner e John Lott, entrambi allora dell'University of Michigan, hanno postato note sul sito web di Lott che, sezione per sezione, hanno riempito molti dei dettagli nel primo preprint di Perelman. Nel settembre 2004, le loro note sono state aggiornate per includere il secondo preprint di Perelman. Dopo ulteriori revisioni e correzioni, hanno postato una versione su arXiv il 25 maggio 2006, una versione modificata della quale è stata pubblicata nella rivista accademica Geometry & Topology nel 2008. Al Congresso Internazionale dei Matematici del 2006, Lott ha detto "Ci è voluto un po' di tempo per esaminare il lavoro di Perelman. Ciò è dovuto in parte all'originalità del lavoro di Perelman e in parte alla sofisticazione tecnica dei suoi argomenti. Tutti i segnali indicano che i suoi argomenti sono corretti." Nell'introduzione al loro articolo, Kleiner e Lott hanno spiegato
Le prove di Perelman sono concise e, a volte, schematiche. Lo scopo di queste note è di fornire i dettagli che mancano in [i primi due preprint di Perelman]... Per quanto riguarda le prove, [i documenti di Perelman] contengono alcune affermazioni scorrette e argomenti incompleti, che abbiamo cercato di sottolineare al lettore. (Alcuni degli errori nel [primo articolo di Perelman] sono stati corretti nel [secondo articolo di Perelman].) Non abbiamo trovato alcun problema serio, intendendo problemi che non possono essere corretti usando i metodi introdotti da Perelman.
Nel giugno 2006, l'Asian Journal of Mathematics ha pubblicato
