Dobbiamo sapere. Sapremo.
David Hilbert era un matematico tedesco e uno dei matematici più influenti e universali del XIX e dell'inizio del XX secolo. Hilbert scoprì e sviluppò un'ampia gamma di idee fondamentali in molti settori, tra cui la teoria degli invarianti, il calcolo delle variazioni, l'algebra commutativa, la teoria algebrica dei numeri, i fondamenti della geometria, la teoria spettrale degli operatori e la sua applicazione alle equazioni integrali, la fisica matematica e i fondamenti della matematica, in particolare la teoria della prova.
Hilbert adottò e difese calorosamente la teoria degli insiemi e i numeri transfiniti di Georg Cantor. Un famoso esempio della sua leadership in matematica è la sua presentazione nel 1900 di una raccolta di problemi che ha tracciato il corso di gran parte della ricerca matematica del XX secolo.
Hilbert e i suoi studenti hanno contribuito significativamente a stabilire il rigore e hanno sviluppato importanti strumenti utilizzati nella fisica matematica moderna. Hilbert è noto come uno dei fondatori della teoria della prova e della logica matematica.
Vita
Infanzia e istruzione
Hilbert, il primo di due figli e unico figlio di Otto e Maria Therese Erdtmann Hilbert, è nato nella provincia di Prussia, Regno di Prussia, secondo la dichiarazione dello stesso Hilbert sia a Königsberg oppure a Wehlau, conosciuta dal 1946 come Znamensk vicino a Königsberg dove suo padre lavorava al momento della sua nascita.
Alla fine del 1872, Hilbert entrò nel Friedrichskolleg Gymnasium Collegium fridericianum, la stessa scuola che Immanuel Kant aveva frequentato 140 anni prima; però, dopo un periodo infelice, si trasferì alla fine del 1879 e si diplomò all'inizio del 1880 al più orientato alle scienze Wilhelm Gymnasium. Dopo la laurea, nell'autunno del 1880, Hilbert si iscrisse all'Università di Königsberg, l'"Albertina". All'inizio del 1882, Hermann Minkowski, due anni più giovane di Hilbert e anch'egli originario di Königsberg ma che era andato a Berlino per tre semestri, tornò a Königsberg e si iscrisse all'università. Hilbert sviluppò un'amicizia per tutta la vita con il timido e dotato Minkowski.
Carriera
Nel 1884, Adolf Hurwitz arrivò da Göttingen come Extraordinarius, cioè professore associato. Iniziò un intenso e fruttuoso scambio scientifico tra i tre, e Minkowski e Hilbert in particolare avrebbero esercitato un'influenza reciproca l'uno sull'altro in vari momenti delle loro carriere scientifiche. Hilbert ottenne il suo dottorato nel 1885, con una dissertazione, scritta sotto Ferdinand von Lindemann, intitolata Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen "Sulle proprietà invarianti di forme binarie speciali, in particolare le funzioni armonica sferiche".
Hilbert rimase all'Università di Königsberg come Privatdozent, docente senior dal 1886 al 1895. Nel 1895, a seguito dell'intervento di Felix Klein a suo favore, ottenne la posizione di Professore di Matematica all'Università di Göttingen. Durante gli anni di Klein e Hilbert, Göttingen divenne l'istituzione più importante nel mondo matematico. Vi rimase per il resto della sua vita.
Scuola di Göttingen
Tra gli studenti di Hilbert erano Hermann Weyl, il campione di scacchi Emanuel Lasker, Ernst Zermelo e Carl Gustav Hempel. John von Neumann era il suo assistente. All'Università di Göttingen, Hilbert era circondato da un circolo sociale di alcuni dei matematici più importanti del XX secolo, come Emmy Noether e Alonzo Church.
Tra i suoi 69 studenti di dottorato a Göttingen c'erano molti che in seguito divennero matematici famosi, inclusi con data della tesi: Otto Blumenthal 1898, Felix Bernstein 1901, Hermann Weyl 1908, Richard Courant 1910, Erich Hecke 1910, Hugo Steinhaus 1911 e Wilhelm Ackermann 1925. Tra il 1902 e il 1939 Hilbert fu redattore della Mathematische Annalen, la principale rivista matematica dell'epoca.
"Bene, non aveva abbastanza immaginazione per diventare un matematico". — La risposta di Hilbert dopo aver saputo che uno dei suoi studenti aveva abbandonato gli studi per dedicarsi alla poesia.
Ultimi anni
Intorno al 1925, Hilbert sviluppò l'anemia perniciosa, una carenza vitaminica allora non curabile il cui sintomo principale è l'esaurimento; il suo assistente Eugene Wigner lo descrisse come soggetto a "stanchezza enorme" e come "sembrava piuttosto vecchio", e che anche dopo essere stato infine diagnosticato e trattato, "era difficilmente uno scienziato dopo il 1925, e certamente non un Hilbert".
Hilbert vide i nazisti epurare molti dei eminenti membri della facoltà dell'Università di Göttingen nel 1933. Quelli costretti a partire includevano Hermann Weyl che aveva assunto la cattedra di Hilbert quando si ritirò nel 1930, Emmy Noether e Edmund Landau. Uno che dovette lasciare la Germania, Paul Bernays, aveva collaborato con Hilbert nella logica matematica e aveva scritto con lui l'importante libro Grundlagen der Mathematik che alla fine apparve in due volumi, nel 1934 e nel 1939. Questo era un seguito al libro Hilbert–Ackermann Principles of Mathematical Logic del 1928. Il successore di Hermann Weyl fu Helmut Hasse.
Circa un anno dopo, Hilbert partecipò a un banchetto e fu seduto accanto al nuovo Ministro dell'Istruzione, Bernhard Rust. Rust chiese se "l'Istituto Matematico davvero ha sofferto molto a causa della partenza degli ebrei". Hilbert rispose: "Soffrire? Non esiste più, no!"
Morte
Quando Hilbert morì nel 1943, i nazisti avevano praticamente completato il ricambio del personale dell'università, poiché molti dei precedenti membri della facoltà erano ebrei o sposati con ebrei. Il funerale di Hilbert fu seguito da meno di una dozzina di persone, solo due delle quali erano colleghi accademici, tra loro Arnold Sommerfeld, un fisico teorico e anche originario di Königsberg. La notizia della sua morte divenne nota al mondo più ampio solo sei mesi dopo la sua morte.
L'epitaffio sulla sua lapide a Göttingen consiste delle famose frasi che pronunciò in conclusione del suo discorso di pensionamento alla Società dei Naturalisti e Medici Tedeschi l'8 settembre 1930. Le parole furono pronunciate in risposta alla massima latina: "Ignoramus et ignorabimus" o "Non sappiamo, non sapremo":
In inglese:
Dobbiamo sapere.
Sapremo.
Il giorno prima che Hilbert pronunciasse queste frasi alla riunione annuale del 1930 della Società dei Naturalisti e Medici Tedeschi, Kurt Gödel—in una discussione a tavola rotonda durante la Conferenza di Epistemologia svoltasi congiuntamente con le riunioni della Società—annunciò provvisoriamente la prima formulazione del suo teorema di incompletezza. I teoremi di incompletezza di Gödel mostrano che anche i sistemi assiomatici elementari come l'aritmetica di Peano sono autoconcludenti o contengono proposizioni logiche che è impossibile provare o confutare.
Vita personale
Nel 1892, Hilbert sposò Käthe Jerosch 1864–1945 da una famiglia ebrea tedesca, "la figlia di un mercante di Königsberg, una giovane donna esplicita con un'indipendenza di pensiero che corrispondeva alla sua". Mentre erano a Königsberg ebbero il loro unico figlio, Franz Hilbert 1893–1969.
Il figlio di Hilbert, Franz, soffrì per tutta la vita di una malattia mentale non diagnosticata. Il suo intelletto inferiore fu una terribile delusione per suo padre e questa sfortuna fu motivo di angoscia per i matematici e gli studenti a Göttingen.
Hilbert considerava il matematico Hermann Minkowski il suo "migliore e più fedele amico".
Hilbert è stato battezzato e cresciuto come calvinista nella Chiesa evangelica prussiana. Più tardi lasciò la Chiesa e divenne agnostico. Ha anche sostenuto che la verità matematica era indipendente dall'esistenza di Dio o da altri presupposti a priori. Quando Galileo Galilei fu criticato per non aver difeso le sue convinzioni sulla teoria eliocentrica, Hilbert si oppose: "Ma non era un idiota. Solo un idiota potrebbe credere che la verità scientifica ha bisogno del martirio; questo potrebbe essere necessario in religione, ma i risultati scientifici si provano da soli nel tempo".
Hilbert risolve il problema di Gordan
Il primo lavoro di Hilbert sulle funzioni invarianti lo portò alla dimostrazione nel 1888 del suo famoso teorema di finitezza. Vent'anni prima, Paul Gordan aveva dimostrato il teorema della finitezza dei generatori per forme binarie usando un approccio computazionale complesso. I tentativi di generalizzare il suo metodo a funzioni con più di due variabili fallirono a causa dell'enorme difficoltà dei calcoli coinvolti. Per risolvere quello che era diventato noto in alcuni circoli come il problema di Gordan, Hilbert si rese conto che era necessario intraprendere un percorso completamente diverso. Di conseguenza, dimostrò il teorema di base di Hilbert, mostrando l'esistenza di un insieme finito di generatori, per gli invarianti dei quantici in un qualsiasi numero di variabili, ma in forma astratta. Cioè, mentre dimostrava l'esistenza di un tale insieme, non era una prova costruttiva — non esibiva "un oggetto" — ma piuttosto, era una prova di esistenza e si basava sull'uso della legge del terzo escluso in un'estensione infinita.
Hilbert inviò i suoi risultati alla Mathematische Annalen. Gordan, l'esperto della casa sulla teoria degli invarianti per la Mathematische Annalen, non poteva apprezzare la natura rivoluzionaria del teorema di Hilbert e rifiutò l'articolo, criticando l'esposizione perché era insufficientemente completa. Il suo commento era:
Questa non è Matematica. Questa è Teologia
Klein, d'altro canto, riconobbe l'importanza del lavoro e garantì che sarebbe stato pubblicato senza alcuna alterazione. Incoraggiato da Klein, Hilbert estese il suo metodo in un secondo articolo, fornendo stime sul grado massimo dell'insieme minimo di generatori, e lo inviò di nuovo alla Annalen. Dopo aver letto il manoscritto, Klein gli scrisse, dicendo:
Senza dubbio questo è il lavoro più importante sulla matematica generale che la Annalen abbia mai pubblicato.
Più tardi, dopo che l'utilità del metodo di Hilbert fu universalmente riconosciuta, lo stesso Gordan disse:
Mi sono convinto che anche la teologia ha i suoi meriti.
Per tutti i suoi successi, la natura della sua prova ha creato più problemi di quanto Hilbert avrebbe potuto immaginare. Sebbene Kronecker avesse ceduto, Hilbert in seguito avrebbe risposto a critiche simili di altri che "molte costruzioni diverse sono comprese sotto un'idea fondamentale" — in altre parole per citare Reid: "Attraverso una prova di esistenza, Hilbert era stato in grado di ottenere una costruzione"; "la prova", cioè i simboli sulla pagina era "l'oggetto". Non tutti erano convinti. Mentre Kronecker sarebbe morto poco dopo, la sua filosofia costruttivista avrebbe continuato con il giovane Brouwer e la sua scuola intuizionista in sviluppo, molto al tormento di Hilbert negli anni successivi. Infatti, Hilbert avrebbe perso il suo "studente dotato" Weyl all'intuizionismo — "Hilbert era disturbato dal fascino del suo ex studente per le idee di Brouwer, che suscitò in Hilbert il ricordo di Kronecker". Brouwer l'intuizionista in particolare si oppose all'uso della Legge del Terzo Escluso su insiemi infiniti come Hilbert l'aveva utilizzata. Hilbert rispose:
Assiomatizzazione della geometria
Il testo Grundlagen der Geometrie tr.: Fondamenti della Geometria pubblicato da Hilbert nel 1899 propone un insieme formale, chiamato assiomi di Hilbert, sostituendo gli assiomi tradizionali di Euclide. Evitano le debolezze identificate in quelli di Euclide, i cui lavori al tempo erano ancora usati in modo da manuale. È difficile specificare gli assiomi usati da Hilbert senza fare riferimento alla storia della pubblicazione del Grundlagen poiché Hilbert li ha cambiati e modificati più volte. Il monografo originale è stato rapidamente seguito da una traduzione francese, nella quale Hilbert ha aggiunto V.2, l'Assioma di Completezza. Una traduzione inglese, autorizzata da Hilbert, è stata fatta da E.J. Townsend e protetta da diritti d'autore nel 1902. Questa traduzione ha incorporato i cambiamenti apportati nella traduzione francese ed è quindi considerata una traduzione della 2ª edizione. Hilbert ha continuato a fare cambiamenti nel testo e diverse edizioni sono apparse in tedesco. La 7ª edizione è stata l'ultima ad apparire durante la vita di Hilbert. Nuove edizioni hanno seguito la 7ª, ma il testo principale è stato essenzialmente non rivisto.
L'approccio di Hilbert ha segnalato il passaggio al moderno metodo assiomatico. In questo, Hilbert è stato anticipato dal lavoro di Moritz Pasch del 1882. Gli assiomi non sono assunti come verità autoevidenti. La geometria può trattare cose su cui abbiamo intuizioni potenti, ma non è necessario assegnare alcun significato esplicito ai concetti indefiniti. Gli elementi, come punto, linea, piano e altri, potrebbero essere sostituiti, come Hilbert è stato riportato avesse detto a Schoenflies e Kötter, da tavoli, sedie, bicchieri di birra e altri tali oggetti. Sono le loro relazioni definite che vengono discusse.
Hilbert enumera prima i concetti indefiniti: punto, linea, piano, relazione che giace tra punti e linee, punti e piani, e linee e piani, intermediarietà, congruenza di coppie di punti segmenti di linea, e congruenza di angoli. Gli assiomi unificano sia la geometria piana che la geometria solida di Euclide
