Felix Klein

Tutti sanno cosa sia una curva, finché non ha studiato abbastanza matematica da confondersi per l'innumerevole quantità di possibili eccezioni.

Christian Felix Klein era un matematico tedesco ed educatore matematico, noto per il suo lavoro sulla teoria dei gruppi, l'analisi complessa, la geometria non euclidea, e sulle associazioni tra geometria e teoria dei gruppi. Il suo programma di Erlangen del 1872, che classificava le geometrie in base ai loro gruppi di simmetria fondamentali, fu una sintesi influente di gran parte della matematica dell'epoca.

Vita

Felix Klein nacque il 25 aprile 1849 a Düsseldorf, da genitori prussiani; suo padre, Caspar Klein 1809–1889, era segretario di un funzionario del governo prussiano stazionato nella Provincia del Reno. La madre di Klein era Sophie Elise Klein 1819–1890, nata Kayser. Frequentò il Gymnasium a Düsseldorf, poi studiò matematica e fisica all'Università di Bonn, 1865–1866, con l'intenzione di diventare fisico. In quel periodo, Julius Plücker ricopriva la cattedra di matematica e fisica sperimentale di Bonn, ma nel momento in cui Klein divenne suo assistente, durante il 1866, l'interesse di Plücker era la geometria. Klein ricevette il suo dottorato, supervisionato da Plücker, dall'Università di Bonn durante il 1868.

Plücker morì durante il 1868, lasciando incompleto il suo libro sui fondamenti della geometria delle linee. Klein era la persona ovvia per completare la seconda parte della Neue Geometrie des Raumes di Plücker, e così divenne amico di Alfred Clebsch, che si era trasferito a Göttingen durante il 1868. Klein visitò Clebsch l'anno successivo, insieme a visite a Berlino e Parigi. Durante luglio 1870, all'inizio della guerra franco-prussiana, era a Parigi e dovette lasciare il paese. Per un breve periodo servì come infermiere medico nell'esercito prussiano prima di essere nominato docente a Göttingen all'inizio del 1871.

Erlangen nominò Klein professore durante il 1872, quando aveva solo 23 anni. Per questo, fu sostenuto da Clebsch, che lo riteneva destinato a diventare il miglior matematico del suo tempo. Klein non desiderava una scuola a Erlangen dove c'erano pochi studenti, e fu quindi felice di ricevere un'offerta di cattedra presso la Technische Hochschule di Monaco durante il 1875. Lì lui e Alexander von Brill insegnarono corsi avanzati a molti eccellenti studenti, tra cui Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi e Gregorio Ricci-Curbastro.

Durante il 1875 Klein sposò Anne Hegel, la nipote del filosofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

Dopo cinque anni alla Technische Hochschule, Klein fu nominato a una cattedra di geometria a Lipsia. Lì i suoi colleghi includevano Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study e Friedrich Engel. Gli anni di Klein a Lipsia, 1880-1886, cambiarono fondamentalmente la sua vita. Durante il 1882, la sua salute crollò; durante il 1883–1884, fu tormentato dalla depressione. Tuttavia la sua ricerca continuò; il suo lavoro seminale sulle funzioni sigma iperellittiche risale a questo periodo, essendo pubblicato durante il 1886 e il 1888.

Klein accettò una cattedra all'Università di Göttingen durante il 1886. Da allora fino al suo ritiro nel 1913, cercò di ristabilire Göttingen come principale centro di ricerca matematica del mondo. Tuttavia non riuscì mai a trasferire da Lipsia a Göttingen la sua stessa primazia come sviluppatore di geometria. A Göttingen, insegnò una varietà di corsi, principalmente riguardanti l'interfaccia tra matematica e fisica, come la meccanica e la teoria del potenziale.

La struttura di ricerca che Klein stabilì a Göttingen servì come modello per le migliori strutture di questo tipo in tutto il mondo. Introdusse riunioni di discussione settimanali, e creò una sala di lettura matematica e una biblioteca. Durante il 1895, Klein assunse David Hilbert dall'Università di Königsberg; questo incarico si rivelò fatidico, perché Hilbert continuò la buona reputazione di Göttingen fino al suo ritiro nel 1932.

Con la redazione di Klein, Mathematische Annalen divenne una delle migliori riviste di matematica del mondo. Fondata da Clebsch, solo con la gestione di Klein prima rivaleggiò e poi superò il Crelle's Journal basato all'Università di Berlino. Klein stabilì un piccolo team di redattori che si incontravano regolarmente, prendendo decisioni democratiche. La rivista si specializzò in analisi complessa, geometria algebrica e teoria degli invarianti almeno fino a quando Hilbert non chiuse l'argomento. Fornì anche un importante sbocco per l'analisi reale e la nuova teoria dei gruppi.

Durante il 1893 a Chicago, Klein fu un relatore principale al Congresso Matematico Internazionale tenuto come parte dell'Esposizione Mondiale Colombiana. In parte grazie agli sforzi di Klein, Göttingen iniziò ad ammettere donne durante il 1893. Supervisionò la prima tesi di dottorato in matematica scritta a Göttingen da una donna; era Grace Chisholm Young, una studentessa inglese di Arthur Cayley, che Klein ammirava. Durante il 1897 Klein divenne membro straniero della Reale Accademia Olandese di Arti e Scienze.

Intorno al 1900, Klein iniziò a interessarsi all'insegnamento della matematica nelle scuole. Durante il 1905, fu determinante nel formulare un piano che raccomandava che la geometria analitica, gli elementi del calcolo differenziale e integrale e il concetto di funzione fossero insegnati nelle scuole secondarie. Questa raccomandazione fu gradualmente implementata in molti paesi nel mondo. Durante il 1908, Klein fu eletto presidente della Commissione Internazionale sull'Insegnamento Matematico al Congresso Internazionale dei Matematici di Roma. Sotto la sua guida, la parte tedesca della Commissione pubblicò molti volumi sull'insegnamento della matematica a tutti i livelli in Germania.

La London Mathematical Society assegnò a Klein la sua Medaglia De Morgan durante il 1893. Fu eletto membro della Royal Society durante il 1885, e gli fu assegnata la sua Medaglia Copley durante il 1912. Si ritirò l'anno successivo a causa di problemi di salute, ma continuò a insegnare matematica a casa per alcuni anni ancora.

Klein era uno dei 93 firmatari del Manifesto dei Novantaquattro, un documento scritto in sostegno dell'invasione tedesca del Belgio nelle prime fasi della Prima Guerra Mondiale.

Klein aveva il titolo di Geheimrat consigliere di fiducia.

Morì a Göttingen durante il 1925.

Lavoro

La dissertazione di Klein, sulla geometria delle linee e le sue applicazioni alla meccanica, classificava i complessi di linee di secondo grado usando la teoria dei divisori elementari di Weierstrass.

Le prime scoperte matematiche importanti di Klein furono fatte durante il 1870. In collaborazione con Sophus Lie, scoprì le proprietà fondamentali delle linee asintotiche sulla superficie di Kummer. Successivamente investigarono le curve W, curve invarianti sotto un gruppo di trasformazioni proiettive. Fu Lie a introdurre Klein al concetto di gruppo, che doveva avere un ruolo importante nel suo lavoro successivo. Klein imparò anche i gruppi da Camille Jordan.

Klein inventò la "bottiglia di Klein" a lui dedicata, una superficie chiusa unilaterale che non può essere incorporata nello spazio euclideo tridimensionale, ma può essere immersa come un cilindro ripiegato su se stesso per unirsi al suo altro estremo dall'"interno". Può essere incorporata nello spazio euclideo di dimensioni 4 e superiori. Il concetto di una bottiglia di Klein è stato ideato come una striscia di Möbius tridimensionale, con un metodo di costruzione che è l'attacco dei bordi di due strisce di Möbius.

Durante il 1890, Klein iniziò a studiare la fisica matematica più intensamente, scrivendo sul giroscopio con Arnold Sommerfeld. Durante il 1894, iniziò l'idea di un'enciclopedia della matematica comprese le sue applicazioni, che divenne l'Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Questa impresa, che durò fino al 1935, fornì un importante standard di riferimento di valore duraturo.

Programma di Erlangen

Durante il 1871, mentre era a Göttingen, Klein fece scoperte importanti in geometria. Pubblicò due articoli Sulla cosiddetta geometria non euclidea mostrando che le geometrie euclidea e non euclidea potevano essere considerate spazi metrici determinati da una metrica di Cayley-Klein. Questa intuizione aveva il corollario che la geometria non euclidea era coerente se e solo se la geometria euclidea lo era, dando lo stesso status alle geometrie euclidea e non euclidea, e terminando tutte le controversie sulla geometria non euclidea. Arthur Cayley non accettò mai l'argomento di Klein, ritenendo che fosse circolare.

La sintesi di Klein della geometria come lo studio delle proprietà di uno spazio invariante sotto un dato gruppo di trasformazioni, nota come programma di Erlangen 1872, influenzò profondamente l'evoluzione della matematica. Questo programma fu iniziato dalla lezione inaugurale di Klein come professore a Erlangen, sebbene non fosse il discorso effettivo che tenne in quella occasione. Il programma propose un sistema unificato di geometria che è diventato il metodo moderno accettato. Klein mostrò come le proprietà essenziali di una data geometria potessero essere rappresentate dal gruppo di trasformazioni che preservano quelle proprietà. Quindi la definizione della geometria del programma englobava sia la geometria euclidea che quella non euclidea.

Attualmente il significato dei contributi di Klein alla geometria è più che evidente, ma non perché quei contributi siano ora considerati strani o sbagliati. Al contrario, quei contributi sono diventati così parte del nostro presente pensiero matematico che è difficile per noi apprezzare la loro novità, e il modo in cui non furono immediatamente accettati da tutti i suoi contemporanei.

Analisi complessa

Klein considerava il suo lavoro sull'analisi complessa come il suo contributo principale alla matematica, specificamente il suo lavoro su:

• Il collegamento tra certe idee di Riemann e la teoria degli invarianti,
• Teoria dei numeri e algebra astratta;
• Teoria dei gruppi;
• Geometria con più di 3 dimensioni ed equazioni differenziali, specialmente equazioni che inventò, vale a dire funzioni modulari ellittiche e funzioni automorfe.

Klein mostrò che il gruppo modulare muove la regione fondamentale del piano complesso in modo da tessellare quel piano. Durante il 1879, esaminò l'azione di PSL2,7, considerato come un'immagine del gruppo modulare, e ottenne un'esplicita rappresentazione di una superficie di Riemann ora denominata la quartica di Klein. Mostrò che quella superficie era una curva nello spazio proiettivo, che la sua equazione era x3y + y3z + z3x = 0, e che il suo gruppo di simmetrie era PSL2,7 di ordine 168. Il suo Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale 1882 tratta l'analisi complessa in modo geometrico, collegando la teoria del potenziale e le mappature conformi. Questo lavoro attinse a nozioni della dinamica dei fluidi.

Klein considerò equazioni di grado > 4, ed era particolarmente interessato all'uso di metodi trascendentali per risolvere l'equazione generale di quinto grado. Sulla base dei metodi di Charles Hermite e Leopold Kronecker, produsse risultati simili a quelli di Brioschi e in seguito risolse completamente il problema per mezzo del gruppo icosaedrale. Questo lavoro gli permise di scrivere una serie di articoli sulle funzioni modulari ellittiche.

Nel suo libro del 1884 sull'icosaedro, Klein stabilì una teoria delle funzioni automorfe, associando algebra e geometria. Tuttavia Poincaré pubblicò uno schema della sua teoria delle funzioni automorfe durante il 1881, il che risultò in una rivalità amichevole tra i due uomini. Entrambi cercavano di formulare e provare un grande teorema di uniformazione che avrebbe stabilito la nuova teoria più completamente. Klein riuscì a formulare tale teorema e a descrivere una strategia per provarlo. Ma mentre faceva questo lavoro la sua salute diminuì, come menzionato sopra.

Klein riassunse il suo lavoro sulle funzioni modulari automorfe ed ellittiche in un trattato in quattro volumi, scritto con Robert Fricke durante un periodo di circa 20 anni.

Opere selezionate

• 1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
• e-text at Project Gutenberg, also available from Cornell
• 1884:Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade English translation by G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
• English translation by G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
• 1886: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
• 1888: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
• 1894: Über die hypergeometrische Funktion
• 1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
• 1897: with Arnold Sommerfeld Theorie des Kreisels later volumes: 1898, 1903, 1910
• 1890: with Robert Fricke Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2 volumes and 1892
• 1894: Evanston Colloquium 1893 reported and published by Ziwet New York, 1894
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1897, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen in German, Leipzig: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01 Zweiter Band. 1901.
• 1901: Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein
• Fricke, Robert; Klein, Felix 1912, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere