Un'equazione non significa nulla per me a meno che non esprima un pensiero di Dio.
Srinivasa Ramanujan (nato Srinivasa Ramanujan Aiyangar) era un matematico indiano che visse durante il dominio britannico in India. Sebbene avesse quasi nessuna formazione formale in matematica pura, diede contributi sostanziali all'analisi matematica, alla teoria dei numeri, alle serie infinite e alle frazioni continue, comprese soluzioni a problemi matematici allora considerati irrisolvibili.
Ramanujan inizialmente sviluppò la sua ricerca matematica in isolamento: secondo Hans Eysenck: "Cercò di interessare i principali matematici professionisti al suo lavoro, ma nella maggior parte dei casi fallì. Quello che doveva mostrare loro era troppo nuovo, troppo sconosciuto, e inoltre presentato in modi insoliti; non potevano essere disturbati". Cercando matematici che potessero capire meglio il suo lavoro, nel 1913 iniziò una partnership postale con il matematico inglese G. H. Hardy all'Università di Cambridge, in Inghilterra. Riconoscendo il lavoro di Ramanujan come straordinario, Hardy gli facilitò il trasferimento a Cambridge. Nei suoi appunti, Hardy ha commentato che Ramanujan aveva prodotto nuovi teoremi rivoluzionari, inclusi alcuni che "mi hanno completamente sconfitto; non avevo mai visto nulla di simile prima", e alcuni risultati recentemente provati ma altamente avanzati.
Durante la sua breve vita, Ramanujan compilò indipendentemente quasi 3.900 risultati, per lo più identità e equazioni. Molti erano completamente nuovi; i suoi risultati originali e altamente convenzionali, come il primo di Ramanujan, la funzione theta di Ramanujan, le formule di partizione e le funzioni theta fittizie, hanno aperto interi nuovi settori di lavoro e ispirato una vasta quantità di ulteriori ricerche. Quasi tutte le sue affermazioni sono state ora provate corrette. Il Ramanujan Journal, una rivista scientifica, è stato istituito per pubblicare lavori in tutte le aree della matematica influenzate da Ramanujan, e i suoi taccuini—contenenti riassunti dei suoi risultati pubblicati e non pubblicati—sono stati analizzati e studiati per decenni dopo la sua morte come fonte di nuove idee matematiche. Nel 2011 e di nuovo nel 2012, i ricercatori hanno continuato a scoprire che semplici commenti nei suoi scritti su "proprietà semplici" e "output simili" per certi risultati erano essi stessi risultati profondi e sottili della teoria dei numeri che rimasero insospettati fino a quasi un secolo dopo la sua morte. Divenne uno dei più giovani Fellow della Royal Society e solo il secondo membro indiano, e il primo indiano ad essere eletto Fellow del Trinity College, Cambridge. Delle sue lettere originali, Hardy affermò che una sola occhiata era sufficiente per mostrare che potevano essere state scritte solo da un matematico del più alto livello, paragonando Ramanujan a geni matematici come Euler e Jacobi.
Nel 1919, la cattiva salute—ora ritenuta essere epatite amebica, una complicazione di episodi di dissenteria molti anni prima—costrinse il ritorno di Ramanujan in India, dove morì nel 1920 all'età di 32 anni. Le sue ultime lettere a Hardy, scritte nel gennaio 1920, mostrano che stava ancora continuando a produrre nuove idee e teoremi matematici. Il suo "quaderno perduto", contenente scoperte dell'ultimo anno della sua vita, causò grande eccitazione tra i matematici quando fu riscoperto nel 1976.
Un Hindu profondamente religioso, Ramanujan attribuiva le sue sostanziali capacità matematiche alla divinità, e disse che la conoscenza matematica che esibiva gli era stata rivelata dalla sua dea di famiglia Namagiri Thayar. Una volta disse: "Un'equazione per me non ha significato a meno che non esprima un pensiero di Dio."
Primi anni
Ramanujan letteralmente, "fratello minore di Rama", una divinità hindu, nacque il 22 dicembre 1887 in una famiglia Tamil Brahmin Iyengar a Erode, Madras Presidency ora Tamil Nadu, India, nella residenza dei suoi nonni materni. Suo padre, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, originario del distretto di Thanjavur, lavorava come impiegato in un negozio di sari. Sua madre, Komalatammal, era una casalinga e cantava in un tempio locale. Vivevano in una piccola casa tradizionale in Sarangapani Sannidhi Street nella città di Kumbakonam. La casa di famiglia è ora un museo. Quando Ramanujan aveva un anno e mezzo, sua madre diede alla luce un figlio, Sadagopan, che morì meno di tre mesi dopo. Nel dicembre 1889 Ramanujan contrasse il vaiolo, ma si riprese, a differenza dei 4.000 altri che morirono in un brutto anno nel distretto di Thanjavur intorno a questo periodo. Si trasferì con sua madre a casa dei suoi genitori a Kanchipuram, vicino a Madras ora Chennai. Sua madre diede alla luce altri due figli, nel 1891 e nel 1894, entrambi morti prima del loro primo compleanno.
Il 1° ottobre 1892 Ramanujan fu iscritto alla scuola locale. Dopo che suo nonno materno perse il lavoro come funzionario di tribunale a Kanchipuram, Ramanujan e sua madre si trasferirono di nuovo a Kumbakonam e fu iscritto alla Kangayan Primary School. Quando suo nonno paterno morì, fu rimandato ai suoi nonni materni, che allora vivevano a Madras. Non amava la scuola a Madras e cercava di evitare di frequentarla. Sua famiglia assoldò un costabile locale per assicurarsi che frequentasse la scuola. Entro sei mesi, Ramanujan era di nuovo a Kumbakonam.
Poiché il padre di Ramanujan era al lavoro la maggior parte della giornata, sua madre si prendeva cura del ragazzo, e avevano una relazione stretta. Da lei imparò la tradizione e i purana, a cantare canzoni religiose, a partecipare ai puja nel tempio, e a mantenere particolari abitudini alimentari—tutto parte della cultura Brahmin. Alla Kangayan Primary School Ramanujan ebbe buoni risultati. Poco prima di compiere 10 anni, nel novembre 1897, superò gli esami primari in inglese, tamil, geografia e aritmetica con i migliori punteggi del distretto. Quell'anno Ramanujan entrò nella Town Higher Secondary School, dove incontré la matematica formale per la prima volta.
Un bambino prodigio all'età di 11 anni, aveva esaurito la conoscenza matematica di due studenti universitari che erano ospiti nella sua casa. Più tardi gli fu prestato un libro scritto da S. L. Loney sulla trigonometria avanzata. Lo padroneggiò all'età di 13 anni mentre scopriva teoremi sofisticati da solo. A 14 anni ricevette certificati di merito e premi accademici che continuarono durante la sua carriera scolastica, e aiutò la scuola nella logistica di assegnare i suoi 1.200 studenti ciascuno con diverse esigenze ai suoi circa 35 insegnanti. Completò gli esami di matematica nel tempo assegnato, e mostrò una familiarità con la geometria e le serie infinite. A Ramanujan fu mostrato come risolvere le equazioni cubiche nel 1902; sviluppò il suo metodo per risolvere la quartica. L'anno seguente cercò di risolvere la quintica, non sapendo che non poteva essere risolta dai radicali.
Nel 1903, quando aveva 16 anni, Ramanujan ottenne da un amico una copia dalla biblioteca di A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics, la raccolta di G. S. Carr di 5.000 teoremi. Ramanujan avrebbe studiato i contenuti del libro in dettaglio. L'anno seguente Ramanujan sviluppò e investigò indipendentemente i numeri di Bernoulli e calcolò la costante di Euler–Mascheroni fino a 15 cifre decimali. I suoi coetanei all'epoca dissero che "raramente lo capivano" e "stavano in rispettoso timore" di lui.
Quando si diplomò dalla Town Higher Secondary School nel 1904, Ramanujan ricevette il premio K. Ranganatha Rao per la matematica dal preside della scuola, Krishnaswami Iyer. Iyer presentò Ramanujan come uno studente eccezionale che meritava punteggi più alti del massimo. Ricevette una borsa di studio per studiare al Government Arts College, Kumbakonam, ma era così intento sulla matematica che non poteva concentrarsi su altri soggetti e fallì la maggior parte di essi, perdendo la sua borsa di studio nel processo. Nell'agosto 1905 Ramanujan scappò da casa, dirigendosi verso Visakhapatnam, e rimase a Rajahmundry per circa un mese. Successivamente si iscrisse al Pachaiyappa's College a Madras. Lì superò la matematica, scegliendo di provare solo le domande che lo affascinassero e lasciando il resto senza risposta, ma ebbe prestazioni scarse in altri soggetti, come l'inglese, la fisiologia e il sanscrito. Ramanujan fallì l'esame Fellow of Arts nel dicembre 1906 e di nuovo un anno dopo. Senza una laurea FA, lasciò il college e continuò a perseguire ricerche indipendenti in matematica, vivendo in estrema povertà e spesso sull'orlo della fame.
Nel 1910, dopo un incontro tra il Ramanujan 23enne e il fondatore della Indian Mathematical Society, V. Ramaswamy Aiyer, Ramanujan iniziò a ricevere riconoscimenti nei circoli matematici di Madras, portando alla sua inclusione come ricercatore presso l'Università di Madras.
Età adulta in India
Il 14 luglio 1909, Ramanujan sposò Janaki Janakiammal; 21 marzo 1899 – 13 aprile 1994, una ragazza che sua madre aveva selezionato per lui un anno prima e che aveva dieci anni quando si sposarono. Non era inusuale allora che i matrimoni fossero arrangiati con ragazze in giovane età. Janaki proveniva da Rajendram, un villaggio vicino alla stazione ferroviaria del distretto di Marudur Karur. Il padre di Ramanujan non partecipò alla cerimonia nuziale. Come era comune a quel tempo, Janaki continuò a stare a casa della madre per tre anni dopo il matrimonio, finché non raggiunse la pubertà. Nel 1912, lei e la madre di Ramanujan si unirono a Ramanujan a Madras.
Dopo il matrimonio, Ramanujan sviluppò un'idrocele testis. La condizione poteva essere trattata con un'operazione chirurgica di routine che avrebbe liberato il fluido bloccato nel sacco scrotale, ma la sua famiglia non poteva permettersi l'operazione. Nel gennaio 1910, un medico si offrì volontario di eseguire l'intervento senza costi.
Dopo il suo intervento chirurgico di successo, Ramanujan cercò un lavoro. Rimase a casa di un amico mentre andava di porta in porta a Madras in cerca di una posizione da impiegato. Per guadagnare soldi, diede lezioni agli studenti del Presidency College che si stavano preparando per l'esame F.A.
Alla fine del 1910, Ramanujan si ammalò di nuovo. Temeva per la sua salute, e disse al suo amico R. Radakrishna Iyer di "consegnare o al professore britannico Edward B. Ross, del Madras Christian College." Dopo che Ramanujan si riprese e recuperò i suoi taccuini da Iyer, prese un treno da Kumbakonam a Villupuram, una città sotto il controllo francese. Nel 1912, Ramanujan si trasferì con sua moglie e madre in una casa in Saiva Muthaiah Mudali street, George Town, Madras, dove vissero per alcuni mesi. Nel maggio 1913, dopo aver assicurato una posizione di ricerca presso l'Università di Madras, Ramanujan si trasferì con la sua famiglia a Triplicane.
Ricerca di carriera in matematica
Nel 1910, Ramanujan incontrò il vice collettore V. Ramaswamy Aiyer, che fondò la Indian Mathematical Society. Desiderando un lavoro nel dipartimento delle entrate dove lavorava Aiyer, Ramanujan gli mostrò i suoi taccuini di matematica. Come ricordò più tardi Aiyer:
Sono stato colpito dai risultati matematici straordinari contenuti nei [taccuini]. Non avevo intenzione di soffocare il suo genio con un incarico nei gradini più bassi del dipartimento delle entrate.
Aiyer inviò Ramanujan, con lettere di presentazione, ai suoi amici matematici a Madras. Alcuni di loro guardarono il suo lavoro e gli diedero lettere di presentazione a R. Ramachandra Rao, il collettore di distretto per Nellore e il segretario della Indian Mathematical Society. Rao rimase impressionato dalla ricerca di Ramanujan ma dubitava che fosse suo lavoro. Ramanujan menzionò una corrispondenza che aveva con il Professor Saldhana, un notevole matematico di Bombay, in cui Saldhana esprimeva una mancanza di comprensione del suo lavoro ma concludeva che non era un impostore. L'amico di Ramanujan C. V. Rajagopalachari cercò di alleviare i dubbi di Rao sull'integrità accademica di Ramanujan. Rao accettò di dargli un'altra possibilità, e ascoltò mentre Ramanujan discuteva di integrali ellittici, serie ipergeometriche, e della sua teoria di serie divergenti, che Rao disse infine lo convinse della brillantezza di Ramanujan. Quando Rao gli chiese cosa voleva, Ramanujan rispose che aveva bisogno di lavoro e supporto finanziario. Rao acconsentì e lo mandò a Madras. Continuò la sua ricerca con l'aiuto finanziario di Rao. Con l'aiuto di Aiyer, Ramanujan fece pubblicare il suo lavoro nel Journal of the Indian Mathematical Society.
Uno dei primi problemi che pose nel giornale era trovare il valore di:
Aspettò che una soluzione fosse offerta in tre numeri, per sei mesi, ma non riuscì a riceverne nessuna. Alla fine, Ramanujan fornì la soluzione al problema stesso. A pagina 105 del suo primo taccuino, formulò un'equazione che poteva essere utilizzata per risolvere il problema dei radicali infinitamente annidati.
Usando questa equazione, la risposta alla domanda posta nel Journal era semplicemente 3, ottenuta impostando x = 2, n = 1, e a = 0. Ramanujan scrisse il suo primo documento formale per il Journal sulle proprietà dei numeri di Bernoulli. Una proprietà che scoprì era che la sequenza dei denominatori A027642 nell'OEIS delle frazioni dei numeri di Bernoulli è sempre divisibile per sei. Ha anche ideato un metodo per calcolare Bn basato sui precedenti numeri di Bernoulli. Uno di questi metodi segue:
Si osserverà che se n è pari ma non uguale a zero,
- Bn è una frazione e il numeratore di Bn/n nei suoi termini più bassi è un numero primo,
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