Jacob Bernoulli conosciuto anche come James o Jacques; 6 gennaio 1655 [S.V. 27 dicembre 1654] – 16 agosto 1705 era uno dei molti matematici eminenti della famiglia Bernoulli. Era un primo sostenitore del calcolo leibniziano e si schierò con Gottfried Wilhelm Leibniz durante la controversia Leibniz-Newton sul calcolo. È noto per i suoi numerosi contributi al calcolo e, insieme a suo fratello Johann, è stato uno dei fondatori del calcolo delle variazioni. Ha anche scoperto la costante matematica fondamentale e. Tuttavia, il suo contributo più importante è stato nel campo della probabilità, dove ha derivato la prima versione della legge dei grandi numeri nella sua opera Ars Conjectandi.
Biografia
Jacob Bernoulli è nato a Basilea, Svizzera. Seguendo il desiderio di suo padre, ha studiato teologia ed è entrato nel ministero. Ma contrariamente ai desideri dei suoi genitori, ha anche studiato matematica e astronomia. Ha viaggiato in tutta Europa dal 1676 al 1682, imparando le ultime scoperte in matematica e scienze dalle figure principali dell'epoca. Questo includeva il lavoro di Johannes Hudde, Robert Boyle e Robert Hooke. Durante questo periodo ha anche sviluppato una teoria errata delle comete.
Bernoulli tornò in Svizzera e iniziò a insegnare meccanica all'Università di Basilea dal 1683. La sua dissertazione di dottorato Solutionem tergemini problematis è stata presentata nel 1684. È apparsa in stampa nel 1687.
Nel 1684 Bernoulli sposò Judith Stupanus; hanno avuto due figli. Durante questo decennio, ha anche iniziato una fertile carriera di ricerca. I suoi viaggi gli hanno permesso di stabilire una corrispondenza con molti matematici e scienziati eminenti della sua epoca, che ha mantenuto per tutta la vita. Durante questo periodo, ha studiato le nuove scoperte in matematica, incluso De ratiociniis in aleae ludo di Christiaan Huygens, La Géométrie di Descartes e i supplementi di Frans van Schooten. Ha anche studiato Isaac Barrow e John Wallis, il che ha portato al suo interesse per la geometria infinitesimale. A parte questi, è stato tra il 1684 e il 1689 che molti dei risultati che avrebbero costituito Ars Conjectandi sono stati scoperti.
Fu nominato professore di matematica all'Università di Basilea nel 1687, mantenendo questa posizione per il resto della sua vita. A quel punto, aveva iniziato a tutorare suo fratello Johann Bernoulli su argomenti matematici. I due fratelli iniziarono a studiare il calcolo come presentato da Leibniz nel suo articolo del 1684 sul calcolo differenziale in "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" pubblicato in Acta Eruditorum. Hanno anche studiato le pubblicazioni di von Tschirnhaus. Bisogna intendere che le pubblicazioni di Leibniz sul calcolo erano molto oscure per i matematici di quel tempo e i Bernoulli erano tra i primi a cercare di comprendere e applicare le teorie di Leibniz.
Jacob ha collaborato con suo fratello su varie applicazioni del calcolo. Tuttavia l'atmosfera di collaborazione tra i due fratelli si trasformò in rivalità man mano che il genio matematico di Johann iniziò a maturare, con entrambi che si attaccavano a vicenda in stampa e si ponevano difficili sfide matematiche per testare le abilità reciproche. Nel 1697, la relazione si era completamente rotta.
Il cratere lunare Bernoulli è inoltre intitolato a lui congiuntamente a suo fratello Johann.
Opere importanti
I primi contributi importanti di Jacob Bernoulli erano un opuscolo sui paralleli della logica e dell'algebra pubblicato nel 1685, lavoro sulla probabilità nel 1685 e geometria nel 1687. Il suo risultato geometrico ha fornito una costruzione per dividere qualsiasi triangolo in quattro parti uguali con due linee perpendicolari.
Nel 1689 aveva pubblicato un lavoro importante sulle serie infinite e pubblicato la sua legge dei grandi numeri nella teoria della probabilità. Jacob Bernoulli pubblicò cinque trattati su serie infinite tra il 1682 e il 1704. I primi due di questi contenevano molti risultati, come il risultato fondamentale che ∑ 1 n, ma ha mostrato che convergeva verso un limite finito inferiore a 2. Euler è stato il primo a trovare il limite di questa serie nel 1737. Bernoulli ha anche studiato la serie esponenziale che è emersa dall'esame dell'interesse composto.
Nel maggio 1690 in un articolo pubblicato in Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli ha mostrato che il problema di determinare l'isocora è equivalente alla risoluzione di un'equazione differenziale nonlineare del primo ordine. L'isocora, o curva di discesa costante, è la curva lungo la quale una particella scenderà sotto gravità da qualsiasi punto fino al fondo nello stesso tempo esatto, indipendentemente dal punto di partenza. Era stata studiata da Huygens nel 1687 e da Leibniz nel 1689. Dopo aver trovato l'equazione differenziale, Bernoulli l'ha risolta con quella che ora chiamiamo separazione delle variabili. L'articolo di Jacob Bernoulli del 1690 è importante per la storia del calcolo, poiché il termine integrale appare per la prima volta con il suo significato di integrazione. Nel 1696 Bernoulli risolse l'equazione, ora chiamata equazione differenziale di Bernoulli,
Jacob Bernoulli ha anche scoperto un metodo generale per determinare le evolventi di una curva come l'inviluppo dei suoi cerchi di curvatura. Ha anche investigato le curve causali e in particolare ha studiato queste curve associate della parabola, della spirale logaritmica e degli epicicloidi intorno al 1692. La lemniscata di Bernoulli è stata concepita per la prima volta da Jacob Bernoulli nel 1694. Nel 1695 ha investigato il problema del ponte levatoio che cerca la curva necessaria affinché un peso che scivola sul cavo mantenga sempre il ponte levatoio in equilibrio.
L'opera più originale di Jacob Bernoulli era Ars Conjectandi pubblicata a Basilea nel 1713, otto anni dopo la sua morte. L'opera era incompleta al momento della sua morte ma è comunque un'opera di straordinaria importanza nella teoria della probabilità. Nel libro Bernoulli ha recensito il lavoro di altri sulla probabilità, in particolare il lavoro di van Schooten, Leibniz e Prestet. I numeri di Bernoulli appaiono nel libro in una discussione della serie esponenziale. Molti esempi sono forniti su quanto ci si aspetterebbe di vincere giocando a vari giochi d'azzardo. Il termine prova di Bernoulli è derivato da questo lavoro. Ci sono interessanti riflessioni su che cosa sia realmente la probabilità:
... la probabilità come un grado misurabile di certezza; necessità e caso; aspettativa morale rispetto matematica; probabilità a priori e a posteriori; aspettativa di vincita quando i giocatori sono divisi secondo l'abilità; considerazione di tutti gli argomenti disponibili, la loro valutazione e la loro valutazione calcolabile; legge dei grandi numeri ...
Bernoulli è stato uno dei più significativi promotori dei metodi formali dell'analisi superiore. L'acutezza e l'eleganza si trovano raramente nel suo metodo di presentazione e espressione, ma c'è un massimo di integrità.
Scoperta della costante matematica e
Nel 1683 Bernoulli scoprì la costante e studiando una domanda sull'interesse composto che gli richiedeva di trovare il valore della seguente espressione che è in realtà e:
Un esempio è un conto che inizia con $1,00 e paga il 100% di interesse annuo. Se l'interesse viene accreditato una volta, alla fine dell'anno, il valore è $2,00; ma se l'interesse viene calcolato e aggiunto due volte l'anno, il $1 viene moltiplicato per 1,5 due volte, ottenendo $1,00×1,5² = $2,25. La capitalizzazione trimestrale produce $1,00×1,25⁴ = $2,4414..., e la capitalizzazione mensile produce $1,00×1,0833...¹² = $2,613035....
Bernoulli ha notato che questa sequenza si avvicina a un limite la forza dell'interesse per intervalli di capitalizzazione sempre più piccoli. La capitalizzazione settimanale produce $2,692597..., mentre la capitalizzazione giornaliera produce $2,714567..., appena due centesimi di più. Usando n come numero di intervalli di capitalizzazione, con interesse del 100% / n in ogni intervallo, il limite per grandi n è il numero che Euler in seguito ha chiamato e; con capitalizzazione continua, il valore del conto raggiungerà $2,7182818.... Più in generale, un conto che inizia con $1 e produce 1+R dollari a interesse composto, produrrà e^R dollari con capitalizzazione continua.
Lapide
Bernoulli voleva che una spirale logaritmica e il motto Eadem mutata resurgo 'Sebbene cambiato, mi alzo di nuovo lo stesso' fossero incisi sulla sua lapide. Ha scritto che la spirale auto-simile "potrebbe essere usata come simbolo, sia di fortezza e costanza nell'avversità, sia del corpo umano, che dopo tutti i suoi cambiamenti, anche dopo la morte, sarà restaurato al suo sé esatto e perfetto." Bernoulli morì nel 1705, ma fu incisa una spirale di Archimede invece di una logaritmica.
Traduzione dell'iscrizione latina:
Jacob Bernoulli, il matematico incomparabile.
Professore all'Università di Basilea Per più di 18 anni;
membro delle Accademie Reali di Parigi e Berlino; famoso per i suoi scritti.
Di una malattia cronica, di mente consapevole fino alla fine;
soccombette nell'anno di grazia 1705, il 16 agosto, all'età di 50 anni e 7 mesi, in attesa della resurrezione.
Judith Stupanus,
sua moglie per 20 anni,
e i suoi due figli hanno eretto un monumento al marito e al padre che mancano tanto.
