Terence Chi-Shen Tao est un mathématicien australo-américain. Il est professeur de mathématiques à l'University of California, Los Angeles (UCLA), où il occupe la chaire James et Carol Collins. Ses recherches portent notamment sur l'analyse harmonique, les équations aux dérivées partielles, la combinatoire algébrique, la combinatoire arithmétique, la combinatoire géométrique, la théorie des probabilités, l'échantillonnage compressé et la théorie analytique des nombres.
Il a reçu la Médaille Fields en 2006 et le Breakthrough Prize in Mathematics en 2014. Il est également lauréat MacArthur Fellow 2006. Tao est l'auteur ou co-auteur de plus de trois cents articles de recherche.
Les parents de Tao sont des immigrants de première génération venus de Hong Kong en Australie. Le père de Tao, le Dr Billy Tao, était pédiatre, né à Shanghai, en Chine, et a obtenu son diplôme de médecine (MBBS) à l'University of Hong Kong en 1969. La mère de Tao, Grace, est originaire de Hong Kong ; elle a obtenu un diplôme avec mention très bien en astrophysique et mathématiques à l'University of Hong Kong. Elle était professeure de mathématiques et de physique dans un lycée de Hong Kong. Billy et Grace se sont rencontrés alors qu'ils étaient étudiants à l'University of Hong Kong. Ils ont ensuite émigré de Hong Kong vers l'Australie en 1972.
Tao a deux frères, Nigel et Trevor, qui vivent en Australie. Tous deux ont précédemment représenté l'Australie aux Olympiades internationales de mathématiques.
L'épouse de Tao, Laura, est ingénieure en électricité au Jet Propulsion Laboratory de la NASA. Ils vivent avec leur fils William et leur fille Madeleine à Los Angeles, en Californie.
Enfant prodige, Tao a manifesté des capacités mathématiques extraordinaires dès son plus jeune âge, suivant des cours de mathématiques de niveau universitaire à l'âge de 9 ans. Il est l'un des deux seuls enfants de l'histoire du programme Study of Exceptional Talent de Johns Hopkins à avoir obtenu un score de 700 ou plus à la section mathématiques du SAT à seulement huit ans ; Tao a obtenu 760. Julian Stanley, directeur du Study of Mathematically Precocious Youth, a déclaré qu'il possédait la plus grande capacité de raisonnement mathématique qu'il ait trouvée en années de recherche intensive. Tao a été le plus jeune participant à ce jour aux Olympiades internationales de mathématiques, concourant pour la première fois à l'âge de dix ans ; en 1986, 1987 et 1988, remportant respectivement une médaille de bronze, d'argent et d'or. Il reste le plus jeune lauréat de chacune des trois médailles de l'histoire des Olympiades, remportant une médaille d'or à l'âge de 13 ans en 1988.
 Terence Chi-Shen Tao
À 14 ans, Tao a participé au Research Science Institute. À 15 ans, il a publié son premier article en tant qu'assistant. En 1991, il a obtenu sa licence et son master à l'âge de 16 ans à la Flinders University sous la direction de Garth Gaudry. En 1992, il a remporté une bourse Fulbright Postgraduate pour entreprendre des recherches en mathématiques à Princeton University aux États-Unis. De 1992 à 1996, Tao a été doctorant à Princeton University sous la direction d'Elias Stein, obtenant son doctorat à l'âge de 21 ans. En 1996, il a rejoint le corps professoral de l'University of California, Los Angeles. En 1999, à l'âge de 24 ans, il a été promu professeur titulaire à UCLA et demeure la plus jeune personne jamais nommée à ce rang par l'institution.
Dans le domaine des mathématiques, Tao est connu pour sa collaboration avec le mathématicien britannique Ben J. Green d'Oxford University ; ensemble, ils ont démontré le théorème de Green-Tao. Réputé pour son esprit collaboratif, en 2006, Tao avait travaillé avec plus de 30 personnes dans ses découvertes, atteignant 68 co-auteurs en octobre 2015.
Dans une critique de livre, le mathématicien britannique Timothy Gowers a commenté les accomplissements de Tao :
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Les connaissances mathématiques de Tao possèdent une combinaison extraordinaire d'étendue et de profondeur : il peut écrire avec assurance et autorité sur des sujets aussi divers que les équations aux dérivées partielles, la théorie analytique des nombres, la géométrie des 3-variétés, l'analyse non standard, la théorie des groupes, la théorie des modèles, la mécanique quantique, les probabilités, la théorie ergodique, la combinatoire, l'analyse harmonique, le traitement d'images, l'analyse fonctionnelle, et bien d'autres. Certains de ces domaines sont ceux auxquels il a apporté des contributions fondamentales. D'autres sont des domaines qu'il semble comprendre au niveau intuitif profond d'un expert bien qu'il n'y travaille pas officiellement. Comment il fait tout cela, tout en écrivant des articles et des livres à un rythme prodigieux, demeure un mystère complet. On a dit que David Hilbert était la dernière personne à connaître toutes les mathématiques, mais il n'est pas facile de trouver des lacunes dans les connaissances de Tao, et si vous en trouvez, vous découvrirez peut-être bien que ces lacunes ont été comblées un an plus tard.
Tao a remporté de nombreux honneurs et prix mathématiques au fil des années.
Il est Fellow de la Royal Society, de l'Australian Academy of Science (membre correspondant), de la National Academy of Sciences (membre étranger), de l'American Academy of Arts and Sciences, et de l'American Mathematical Society. En 2006, il a reçu la Médaille Fields « pour ses contributions aux équations aux dérivées partielles, à la combinatoire, à l'analyse harmonique et à la théorie additive des nombres », et s'est également vu décerner le MacArthur Fellowship. Il a été présenté dans The New York Times, CNN, USA Today, Popular Science, et de nombreux autres médias.
En 2019, Tao avait publié près de 350 articles de recherche et 18 livres. Il a un nombre d'Erdős de 2.
En 2018, Tao a démontré une borne pour la constante de de Bruijn-Newman. En 2019, Tao a démontré pour la conjecture de Collatz en utilisant les probabilités que presque toutes les orbites de Collatz atteignent des valeurs presque bornées.
En 2004, Ben Green et Tao ont publié un prépublication démontrant ce qui est maintenant connu sous le nom de théorème de Green-Tao. Ce théorème affirme qu'il existe des progressions arithmétiques arbitrairement longues de nombres premiers. The New York Times l'a décrit ainsi :
> En 2004, le Dr Tao, aux côtés de Ben Green, un mathématicien aujourd'hui rattaché à l'University of Cambridge en Angleterre, a résolu un problème lié à la conjecture des nombres premiers jumeaux en examinant les progressions de nombres premiers — des séries de nombres également espacés. (Par exemple, 3, 7 et 11 constituent une progression de nombres premiers avec un espacement de 4 ; le nombre suivant dans la séquence, 15, n'est pas premier.) Le Dr Tao et le Dr Green ont démontré qu'il est toujours possible de trouver, quelque part dans l'infinité des entiers, une progression de nombres premiers d'espacement égal et de longueur quelconque.
Pour ce travail et d'autres contributions, Tao s'est vu décerner la médaille de l'Australian Mathematical Society en 2004. Il a reçu une médaille Fields en août 2006 lors du 25e Congrès international des mathématiciens à Madrid. Il fut le premier Australien, le premier membre du corps professoral de l'UCLA, et l'un des plus jeunes mathématiciens à recevoir cette distinction.
Un article de New Scientist évoque son aptitude en ces termes :
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La réputation de Tao est telle que les mathématiciens rivalisent désormais pour attirer son attention sur leurs problèmes, et il devient une sorte de Monsieur Réparation pour les chercheurs en difficulté. « Si vous êtes bloqué sur un problème, une solution consiste à intéresser Terence Tao », affirme Charles Fefferman [professeur de mathématiques à Princeton University].
Tao fut finaliste pour devenir l'Australien de l'année en 2007. Il est membre correspondant de l'Australian Academy of Science, et en 2007, il a été élu membre de la Royal Society. La même année, Tao a également publié l'inégalité de Tao, une extension au lemme de régularité de Szemerédi dans le domaine de la théorie de l'information.
En avril 2008, Tao a reçu le prix Alan T. Waterman, qui récompense un scientifique en début de carrière pour ses contributions exceptionnelles dans son domaine. Outre une médaille, les lauréats du prix Waterman reçoivent également une subvention de 500 000 dollars pour des recherches avancées.
En décembre 2008, il a été nommé conférencier Lars Onsager de 2008, pour « sa combinaison de profondeur, d'étendue et de volume mathématiques d'une manière sans précédent dans les mathématiques contemporaines ». Il a reçu la médaille Onsager et a donné sa conférence Lars Onsager intitulée « Structure et aléatoire dans les nombres premiers » à la NTNU, en Norvège.
Tao a également été élu membre de l'American Academy of Arts and Sciences en 2009.
En 2010, il a reçu le prix international King Faisal conjointement avec Enrico Bombieri. Toujours en 2010, il s'est vu décerner le prix Nemmers en mathématiques et le prix Pólya (SIAM) conjointement avec Emmanuel Candès pour leurs travaux sur l'échantillonnage compressé.
Dans les années 1950, Eugene Wigner a initié l'étude des matrices aléatoires et de leurs valeurs propres. Wigner a étudié le cas des matrices hermitiennes et symétriques, démontrant une « loi du demi-cercle » pour leurs valeurs propres. En 2010, Tao et Van Vu ont apporté une contribution majeure à l'étude des matrices aléatoires non symétriques. Ils ont montré que si n est grand et que les entrées d'une matrice A de dimension n × n sont sélectionnées aléatoirement selon une distribution de probabilité fixe quelconque de moyenne 0 et d'écart-type 1, alors les valeurs propres de A tendront à être uniformément dispersées sur le disque de rayon n^(1/2) autour de l'origine ; cela peut être formalisé dans le langage de la théorie de la mesure. Cela a fourni une preuve de la loi circulaire, conjecturée depuis longtemps, qui avait été précédemment démontrée sous des formulations plus faibles par de nombreux autres auteurs. Dans la formulation de Tao et Vu, la loi circulaire devient une conséquence immédiate d'un « principe d'universalité » affirmant que la distribution des valeurs propres ne peut dépendre que de la moyenne et de l'écart-type de la distribution de probabilité composante par composante donnée, fournissant ainsi une réduction de la loi circulaire générale à un calcul pour des distributions de probabilité spécialement choisies.
En 2011, Tao et Vu ont établi un « théorème des quatre moments », qui s'applique aux matrices hermitiennes aléatoires dont les composantes sont distribuées indépendamment, chacune avec une moyenne de 0 et un écart-type de 1, et dont il est exponentiellement improbable qu'elles soient grandes (comme pour une distribution gaussienne). Si l'on considère deux telles matrices aléatoires qui coïncident sur la valeur moyenne de tout polynôme quadratique dans les entrées diagonales et sur la valeur moyenne de tout polynôme quartique dans les entrées non diagonales, alors Tao et Vu montrent que la valeur attendue d'un grand nombre de fonctions des valeurs propres coïncidera également, à une erreur près qui est uniformément contrôlable par la taille de la matrice et qui devient arbitrairement petite à mesure que la taille de la matrice augmente. Des résultats similaires ont été obtenus à peu près au même moment par László Erdös, Horng-Tzer Yau et Jun Yin.
 Terence en costume
En 2004, Tao, avec Jean Bourgain et Nets Katz, a étudié la structure additive et multiplicative de sous-ensembles de corps finis d'ordre premier. Il est bien connu qu'il n'existe pas de sous-anneaux non triviaux d'un tel corps. Bourgain, Katz et Tao ont fourni une formulation quantitative de ce fait, montrant que pour tout sous-ensemble d'un tel corps, le nombre de sommes et de produits d'éléments du sous-ensemble doit être quantitativement important, comparé à la taille du corps et à la taille du sous-ensemble lui-même. Des améliorations de leur résultat ont été apportées ultérieurement par Bourgain, Alexey Glibichuk et Sergei Konyagin.
Dans des travaux publiés en 2008 mais connus depuis 2004, Tao et Ben Green ont démontré l'existence de progressions arithmétiques de longueur arbitraire dans les nombres premiers ; ce résultat est généralement désigné sous le nom de théorème de Green-Tao. La source des progressions arithmétiques de Green et Tao est le théorème fondateur d'Endre Szemerédi de 1975 sur l'existence de progressions arithmétiques dans certains ensembles d'entiers. Green et Tao ont montré que l'on peut utiliser un « principe de transfert » pour étendre la validité du théorème de Szemerédi à d'autres ensembles d'entiers. Le théorème de Green-Tao apparaît alors comme un cas particulier, bien qu'il ne soit pas trivial de montrer que les nombres premiers satisfont les conditions de l'extension par Green et Tao du théorème de Szemerédi. En 2010, Green et Tao ont proposé une extension multilinéaire du célèbre théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques. Étant donnée une matrice k × n A et une matrice k × 1 v dont les composantes sont toutes des entiers, Green et Tao établissent les conditions selon lesquelles il existe une infinité de matrices n × 1 x telles que toutes les composantes de Ax + v sont des nombres premiers. La preuve de Green et Tao était incomplète, car elle reposait sur des conjectures non démontrées. Ces conjectures ont été prouvées dans des travaux ultérieurs de Green, Tao et Tamar Ziegler.
En 2012, dans le cadre d'une collaboration avec son coauteur de longue date Ben Green, des preuves ont été annoncées pour la conjecture de Dirac-Motzkin et le « problème de la plantation de vergers » (qui demande le nombre maximal de droites passant par exactement 3 points dans un ensemble de n points du plan, non tous alignés). Cette même année, Tao a publié la première monographie sur le sujet de l'analyse de Fourier d'ordre supérieur.
En 2014, Tao a reçu un CTY Distinguished Alumni Honor du Johns Hopkins Center for Gifted and Talented Youth devant 963 participants de 8ème et 9ème année inscrits dans le même programme dont Tao est diplômé. Cette année-là, Tao a présenté des travaux sur une possible approche du Problème du Millénaire concernant l'existence et la régularité des équations de Navier-Stokes, en établissant l'explosion en temps fini pour une équation de Navier-Stokes tridimensionnelle moyennée. Cette année-là également, conjointement avec plusieurs coauteurs, il a prouvé plusieurs résultats sur les écarts courts et longs entre nombres premiers.
En septembre 2015, Tao a annoncé une preuve du problème de discrépance d'Erdős, utilisant pour la première fois des estimations d'entropie au sein de la théorie analytique des nombres.
