Srinivasa Ramanujan

Une équation ne signifie rien pour moi à moins qu'elle n'exprime une pensée de Dieu.

Srinivasa Ramanujan (né Srinivasa Ramanujan Aiyangar) était un mathématicien indien qui a vécu durant la domination britannique en Inde. Bien qu'il n'ait reçu presque aucune formation formelle en mathématiques pures, il a apporté des contributions substantielles à l'analyse mathématique, la théorie des nombres, les séries infinies et les fractions continues, y compris des solutions à des problèmes mathématiques considérés alors comme insolubles. 

Ramanujan a d'abord développé sa propre recherche mathématique en isolation : selon Hans Eysenck : « Il a essayé d'intéresser les mathématiciens professionnels de premier plan à son travail, mais a échoué pour la plupart. Ce qu'il devait leur montrer était trop novateur, trop peu familier, et présenté en outre de manière inhabituelle ; ils ne pouvaient pas se donner la peine ». Cherchant des mathématiciens qui pourraient mieux comprendre son travail, en 1913 il a commencé un partenariat postal avec le mathématicien anglais G. H. Hardy à l'Université de Cambridge, Angleterre. Reconnaissant le travail de Ramanujan comme extraordinaire, Hardy a arrangé pour qu'il voyage à Cambridge. Dans ses notes, Hardy a commenté que Ramanujan avait produit de nouveaux théorèmes révolutionnaires, y compris certains qui « m'ont complètement vaincu ; je n'avais jamais vu quoi que ce soit de semblable auparavant », et certains résultats récemment prouvés mais très avancés.

Durant sa courte vie, Ramanujan a compilé indépendamment près de 3 900 résultats, principalement des identités et des équations. Beaucoup étaient complètement novateurs ; ses résultats originaux et hautement non conventionnels, tels que le nombre premier de Ramanujan, la fonction thêta de Ramanujan, les formules de partition et les fonctions thêta fictives, ont ouvert des domaines d'études entièrement nouveaux et inspiré une vaste quantité de recherches supplémentaires. Presque toutes ses affirmations ont maintenant été prouvées correctes. Le Journal de Ramanujan, une revue scientifique, a été établi pour publier les travaux dans tous les domaines des mathématiques influencés par Ramanujan, et ses carnets—contenant des résumés de ses résultats publiés et non publiés—ont été analysés et étudiés pendant des décennies après sa mort comme source de nouvelles idées mathématiques. Jusqu'en 2011 et à nouveau en 2012, les chercheurs ont continué à découvrir que de simples commentaires dans ses écrits sur les « propriétés simples » et les « résultats similaires » pour certaines découvertes étaient eux-mêmes des résultats profonds et subtils de la théorie des nombres qui sont restés insoupçonnés pendant près d'un siècle après sa mort. Il est devenu l'un des plus jeunes Fellows de la Royal Society et seulement le deuxième membre indien, et le premier indien à être élu Fellow du Trinity College, Cambridge. De ses lettres originales, Hardy a affirmé qu'un seul coup d'œil suffisait pour montrer qu'elles ne pouvaient avoir été écrites que par un mathématicien du plus haut calibre, comparant Ramanujan à des génies mathématiques tels qu'Euler et Jacobi.

En 1919, une mauvaise santé—maintenant supposée être une amibiase hépatique une complication d'épisodes de dysenterie de nombreuses années auparavant—a forcé le retour de Ramanujan en Inde, où il est décédé en 1920 à l'âge de 32 ans. Ses dernières lettres à Hardy, écrites en janvier 1920, montrent qu'il continuait à produire de nouvelles idées et théorèmes mathématiques. Son « cahier perdu », contenant des découvertes de la dernière année de sa vie, a provoqué une grande excitation parmi les mathématiciens quand il a été redécouvert en 1976.

Profondément hindou religieux, Ramanujan a attribué ses capacités mathématiques substantielles à la divinité, et a dit que la connaissance mathématique qu'il a affichée lui avait été révélée par sa déesse familiale Namagiri Thayar. Il a une fois dit, « Une équation n'a pour moi aucun sens à moins qu'elle n'exprime une pensée de Dieu. »

Jeunesse

Ramanujan littéralement, « frère cadet de Rama », une divinité hindoue est né le 22 décembre 1887 dans une famille Tamil Brahmin Iyengar à Erode, Présidence du Madras maintenant Tamil Nadu, Inde, à la résidence de ses grands-parents maternels. Son père, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, originaire du district de Thanjavur, travaillait comme commis dans une boutique de saris. Sa mère, Komalatammal, était une femme au foyer et chantait au temple local. Ils vivaient dans une petite maison traditionnelle sur la rue Sarangapani Sannidhi dans la ville de Kumbakonam. La maison familiale est maintenant un musée. Quand Ramanujan avait un an et demi, sa mère a donné naissance à un fils, Sadagopan, qui est décédé moins de trois mois plus tard. En décembre 1889, Ramanujan a contracté la variole, mais s'est rétabli, contrairement aux 4 000 autres personnes décédées une année difficile dans le district de Thanjavur à cette époque. Il a déménagé avec sa mère à la maison de ses parents à Kanchipuram, près de Madras maintenant Chennai. Sa mère a donné naissance à deux autres enfants, en 1891 et 1894, tous deux décédés avant leur premier anniversaire.

Le 1er octobre 1892, Ramanujan a été inscrit à l'école locale. Après que son grand-père maternel ait perdu son emploi de fonctionnaire judiciaire à Kanchipuram, Ramanujan et sa mère sont revenus à Kumbakonam et il a été inscrit à l'école primaire Kangayan. Quand son grand-père paternel est décédé, il a été renvoyé chez ses grands-parents maternels, vivant alors à Madras. Il n'aimait pas l'école à Madras et a essayé d'éviter d'y aller. Sa famille a engagé un agent de police local pour s'assurer qu'il fréquentait l'école. En six mois, Ramanujan était de retour à Kumbakonam.

Comme le père de Ramanujan était au travail la plupart du jour, sa mère s'occupait du garçon, et ils avaient une relation étroite. D'elle, il a appris la tradition et les puranas, à chanter des chansons religieuses, à assister aux pujas au temple, et à maintenir des habitudes alimentaires particulières—tout cela faisant partie de la culture brahmane. À l'école primaire Kangayan, Ramanujan a bien performé. Juste avant ses 10 ans, en novembre 1897, il a réussi ses examens primaires en anglais, tamoul, géographie et arithmétique avec les meilleures notes du district. Cette année-là, Ramanujan a intégré l'école secondaire supérieure Town, où il a rencontré les mathématiques formelles pour la première fois.

Enfant prodige à l'âge de 11 ans, il avait épuisé les connaissances mathématiques de deux étudiants universitaires qui logeaient chez lui. On lui a ensuite prêté un livre écrit par S. L. Loney sur la trigonométrie avancée. Il a maîtrisé cela à l'âge de 13 ans tout en découvrant des théorèmes sophistiqués par lui-même. À 14 ans, il a reçu des certificats de mérite et des distinctions académiques qui ont continué tout au long de sa carrière scolaire, et il a aidé l'école dans la logistique d'assigner à ses 1 200 étudiants chacun avec des besoins différents à ses environ 35 enseignants. Il a terminé les examens de mathématiques en half du temps alloué, et a montré une familiarité avec la géométrie et les séries infinies. Ramanujan a été montré comment résoudre les équations cubiques en 1902 ; il a développé sa propre méthode pour résoudre la quartique. L'année suivante, il a essayé de résoudre la quintique, ne sachant pas qu'elle ne pouvait pas être résolue par des radicaux.

En 1903, quand il avait 16 ans, Ramanujan a obtenu d'un ami une copie de la bibliothèque d'une Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics, la collection de 5 000 théorèmes de G. S. Carr. Ramanujan aurait étudié le contenu du livre en détail. Le livre est généralement reconnu comme un élément clé pour éveiller son génie. L'année suivante, Ramanujan a développé indépendamment et enquêté sur les nombres de Bernoulli et a calculé la constante d'Euler–Mascheroni jusqu'à 15 décimales. Ses pairs à l'époque ont dit qu'ils « le comprenaient rarement » et « se tenaient dans une respectueuse crainte » de lui.

Quand il a obtenu son diplôme de l'école secondaire supérieure Town en 1904, Ramanujan a reçu le prix K. Ranganatha Rao pour les mathématiques par le directeur de l'école, Krishnaswami Iyer. Iyer a présenté Ramanujan comme un étudiant exceptionnel qui méritait des notes supérieures au maximum. Il a reçu une bourse pour étudier au Collège des Arts du Gouvernement, Kumbakonam, mais était tellement concentré sur les mathématiques qu'il ne pouvait pas se concentrer sur d'autres sujets et a échoué la plupart d'entre eux, perdant sa bourse dans le processus. En août 1905, Ramanujan s'est enfui de chez lui, se dirigeant vers Visakhapatnam, et a séjourné à Rajahmundry pendant environ un mois. Il s'est ensuite inscrit au Collège de Pachaiyappa à Madras. Là, il a réussi en mathématiques, choisissant uniquement de tenter des questions qui l'intéressaient et laissant le reste sans réponse, mais a performé mal dans d'autres sujets, tels que l'anglais, la physiologie et le sanskrit. Ramanujan a échoué son examen de Fellow of Arts en décembre 1906 et à nouveau un an plus tard. Sans diplôme de FA, il a quitté l'université et a continué à poursuivre une recherche indépendante en mathématiques, vivant dans une extrême pauvreté et souvent au bord de la famine.

En 1910, après une rencontre entre le Ramanujan âgé de 23 ans et le fondateur de la Société mathématique indienne, V. Ramaswamy Aiyer, Ramanujan a commencé à être reconnu dans les cercles mathématiques de Madras, menant à son inclusion en tant que chercheur à l'Université de Madras.

Vie adulte en Inde

Le 14 juillet 1909, Ramanujan a épousé Janaki Janakiammal ; 21 mars 1899 – 13 avril 1994, une fille que sa mère avait sélectionnée pour lui un an auparavant et qui avait dix ans quand ils se sont mariés. Ce n'était pas inhabituel à l'époque que les mariages soient arrangés avec des filles à un jeune âge. Janaki venait de Rajendram, un village proche de la gare de la ligne ferroviaire du district de Marudur Karur. Le père de Ramanujan n'a pas participé à la cérémonie de mariage. Comme c'était courant à cette époque, Janaki a continué à rester chez elle maternelle pendant trois ans après le mariage, jusqu'à ce qu'elle atteigne la puberté. En 1912, elle et la mère de Ramanujan ont rejoint Ramanujan à Madras.

Après le mariage, Ramanujan a développé une hydrocèle testiculaire. La condition pourrait être traitée avec une opération chirurgicale de routine qui libérerait le liquide bloqué dans le scrotum, mais sa famille ne pouvait pas se permettre l'opération. En janvier 1910, un médecin s'est volontairement offert à faire la chirurgie sans frais.

Après sa chirurgie réussie, Ramanujan a cherché un emploi. Il a séjourné chez un ami tandis qu'il allait de porte en porte autour de Madras à la recherche d'une position de commis. Pour gagner de l'argent, il a enseigné à des étudiants du Collège Presidency qui se préparaient pour leur examen de FA.

À la fin de 1910, Ramanujan a été à nouveau malade. Il s'inquiétait pour sa santé, et a dit à son ami R. Radakrishna Iyer de « remettre ou au professeur britannique Edward B. Ross, du Collège chrétien de Madras. » Après que Ramanujan se soit rétabli et ait récupéré ses carnets d'Iyer, il a pris un train de Kumbakonam à Villupuram, une ville sous contrôle français. En 1912, Ramanujan a déménagé avec sa femme et sa mère dans une maison de la rue Saiva Muthaiah Mudali, George Town, Madras, où ils ont vécu quelques mois. En mai 1913, après avoir obtenu une position de chercheur à l'Université de Madras, Ramanujan a déménagé avec sa famille à Triplicane.

Poursuite d'une carrière en mathématiques

En 1910, Ramanujan a rencontré le sous-collecteur V. Ramaswamy Aiyer, qui a fondé la Société mathématique indienne. Souhaitant un emploi au département du revenu où Aiyer travaillait, Ramanujan lui a montré ses carnets de mathématiques. Comme Aiyer l'a rappelé plus tard :

J'ai été frappé par les résultats mathématiques extraordinaires contenus dans [les carnets]. Je n'avais pas l'intention d'étouffer son génie par une nomination aux échelons les plus bas du département du revenu.

Aiyer a envoyé Ramanujan, avec des lettres d'introduction, à ses amis mathématiciens à Madras. Certains d'entre eux ont regardé son travail et lui ont donné des lettres d'introduction à R. Ramachandra Rao, le collecteur de district pour Nellore et le secrétaire de la Société mathématique indienne. Rao a été impressionné par la recherche de Ramanujan mais a douté que ce soit son propre travail. Ramanujan a mentionné une correspondance qu'il avait avec le professeur Saldhana, un notable mathématicien de Bombay, dans laquelle Saldhana a exprimé un manque de compréhension de son travail mais a conclu qu'il n'était pas un fraudeur. L'ami de Ramanujan C. V. Rajagopalachari a essayé d'apaiser les doutes de Rao sur l'intégrité académique de Ramanujan. Rao a accepté de lui donner une autre chance, et a écouté tandis que Ramanujan discutait des intégrales elliptiques, des séries hypergéométriques, et sa théorie des séries divergentes, que Rao a dit l'a finalement convaincu de la brillance de Ramanujan. Quand Rao lui a demandé ce qu'il voulait, Ramanujan a répondu qu'il avait besoin de travail et de soutien financier. Rao a consenti et l'a envoyé à Madras. Il a continué sa recherche avec l'aide financière de Rao. Avec l'aide d'Aiyer, Ramanujan a fait publier son travail dans le Journal de la Société mathématique indienne.

L'un des premiers problèmes qu'il a posés dans le journal était de trouver la valeur de :

Il a attendu qu'une solution soit offerte en trois numéros, sur six mois, mais n'a pas reçu de réponse. À la fin, Ramanujan a fourni la solution au problème lui-même. À la page 105 de son premier carnet, il a formulé une équation qui pourrait être utilisée pour résoudre le problème des radicaux infiniment imbriqués.

En utilisant cette équation, la réponse à la question posée dans le Journal était simplement 3, obtenue en fixant x = 2, n = 1, et a = 0. Ramanujan a écrit son premier article formel pour le Journal sur les propriétés des nombres de Bernoulli. Une propriété qu'il a découverte était que la séquence des dénominateurs A027642 dans l'OEIS des fractions des nombres de Bernoulli est toujours divisible par six. Il a également conçu une méthode de calcul de Bn basée sur les nombres de Bernoulli précédents. L'une de ces méthodes suit :

Il sera observé que si n est pair mais pas égal à zéro,

1. Bn est une fraction et le numérateur de Bn/n dans ses termes les plus bas est un nombre premier,