Si seulement j'avais les théorèmes ! Alors je trouverais les preuves assez facilement.
Georg Friedrich Bernhard Riemann était un mathématicien allemand qui a apporté des contributions à l'analyse, la théorie des nombres et la géométrie différentielle. Dans le domaine de l'analyse réelle, il est surtout connu pour la première formulation rigoureuse de l'intégrale, l'intégrale de Riemann, et son travail sur les séries de Fourier. Ses contributions à l'analyse complexe incluent notamment l'introduction des surfaces de Riemann, ouvrant de nouveaux horizons dans un traitement naturel et géométrique de l'analyse complexe. Son célèbre article de 1859 sur la fonction de comptage des nombres premiers, contenant l'énoncé original de l'hypothèse de Riemann, est considéré comme l'un des articles les plus influents de la théorie analytique des nombres. Grâce à ses contributions pionnières à la géométrie différentielle, Riemann a jeté les bases des mathématiques de la relativité générale. Il est considéré par beaucoup comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
Biographie
Les premières années
Riemann est né le 17 septembre 1826 à Breselenz, un village près de Dannenberg dans le Royaume de Hanovre. Son père, Friedrich Bernhard Riemann, était un pauvre pasteur luthérien à Breselenz qui a combattu aux guerres napoléoniennes. Sa mère, Charlotte Ebell, est décédée avant que ses enfants n'atteignent l'âge adulte. Riemann était le deuxième de six enfants, timide et souffrant de nombreux effondrements nerveux. Riemann a manifesté des aptitudes mathématiques exceptionnelles, telles que des capacités de calcul, dès son jeune âge, mais a souffert de timidité et d'une peur de parler en public.
Éducation
Durant 1840, Riemann s'est rendu à Hanovre pour vivre avec sa grand-mère et fréquenter le lycée au collège. Après le décès de sa grand-mère en 1842, il a fréquenté le lycée au Johanneum Lüneburg. Au lycée, Riemann a étudié intensivement la Bible, mais il était souvent distrait par les mathématiques. Ses professeurs ont été amazoués par sa remarquable capacité à effectuer des opérations mathématiques compliquées, dans lesquelles il surpassait souvent les connaissances de son instructeur. En 1846, à l'âge de 19 ans, il a commencé à étudier la philologie et la théologie chrétienne afin de devenir pasteur et d'aider à soutenir sa famille.
Au printemps 1846, son père, après avoir amassé suffisamment d'argent, a envoyé Riemann à l'Université de Göttingen, où il envisageait d'étudier pour obtenir un diplôme en théologie. Cependant, une fois là, il a commencé à étudier les mathématiques sous la direction de Carl Friedrich Gauss, en particulier ses cours sur la méthode des moindres carrés. Gauss a recommandé à Riemann d'abandonner ses travaux théologiques et d'entrer dans le domaine mathématique ; après avoir obtenu l'approbation de son père, Riemann s'est transféré à l'Université de Berlin en 1847. Pendant sa période d'études, Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner et Gotthold Eisenstein enseignaient. Il est resté à Berlin pendant deux ans et est retourné à Göttingen en 1849.
Carrière académique
Riemann a donné ses premières conférences en 1854, ce qui a fondé le domaine de la géométrie riemannienne et a ainsi jeté les bases de la théorie générale de la relativité d'Albert Einstein. En 1857, il y a eu une tentative de promouvoir Riemann au statut de professeur extraordinaire à l'Université de Göttingen. Bien que cette tentative ait échoué, elle a finalement permis à Riemann d'obtenir un salaire régulier. En 1859, suite au décès de Dirichlet qui occupait la chaire de Gauss à l'Université de Göttingen, il a été promu à la tête du département de mathématiques de l'Université de Göttingen. Il a également été le premier à suggérer d'utiliser des dimensions supérieures à simplement trois ou quatre pour décrire la réalité physique.
En 1862, il a épousé Elise Koch et ils ont eu une fille Ida Schilling qui est née le 22 décembre 1862.
Famille protestante et mort en Italie
Riemann a fui Göttingen lorsque les armées de Hanovre et de Prusse s'y sont affrontées en 1866. Il est mort de la tuberculose lors de son troisième voyage en Italie à Selasca, maintenant un hameau de Verbania, sur le Lac Majeur, où il a été enterré dans le cimetière de Biganzolo Verbania.
Riemann était un chrétien dédié, fils d'un ministre protestant, et voyait sa vie de mathématicien comme une autre façon de servir Dieu. Pendant sa vie, il s'en est tenu étroitement à sa foi chrétienne et l'a considérée comme l'aspect le plus important de sa vie. Au moment de sa mort, il récitait le Notre-Père avec sa femme et est décédé avant qu'ils ne terminent la prière. Pendant ce temps, à Göttingen, sa gouvernante a jeté à la poubelle certains des papiers de son bureau, y compris une grande partie du travail non publié. Riemann a refusé de publier un travail incomplet, et certaines intuitions profondes ont peut-être été perdues à jamais.
La pierre tombale de Riemann à Biganzolo en Italie se réfère à Romains 8:28 :
Ici repose en Dieu
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Professeur à Göttingen
né à Breselenz, 17 septembre 1826
décédé à Selasca, 20 juillet 1866
Pour ceux qui aiment Dieu, toutes choses doivent concourir au bien
Ici repose en Dieu Georg Friedrich Bernhard Riemann Professeur à Göttingen né à Breselenz, 17 septembre 1826 décédé à Selasca, 20 juillet 1866 Pour ceux qui aiment Dieu, toutes choses doivent concourir au bien
Géométrie riemannienne
Les travaux publiés de Riemann ont ouvert des domaines de recherche combinant l'analyse avec la géométrie. Ceux-ci seraient par la suite devenus des parties majeures des théories de la géométrie riemannienne, de la géométrie algébrique et de la théorie des variétés complexes. La théorie des surfaces de Riemann a été élaborée par Felix Klein et particulièrement Adolf Hurwitz. Ce domaine des mathématiques fait partie des fondations de la topologie et est toujours appliqué de nouvelles façons à la physique mathématique.
En 1853, Gauss a demandé à Riemann, son étudiant, de préparer une Habilitationsschrift sur les fondations de la géométrie. Au cours de plusieurs mois, Riemann a développé sa théorie des dimensions supérieures et a livré sa conférence à Göttingen en 1854 intitulée « Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen » « Sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie ». Elle n'a été publiée que douze ans plus tard en 1868 par Dedekind, deux ans après sa mort. Sa réception initiale semble avoir été lente, mais elle est maintenant reconnue comme l'une des œuvres les plus importantes de la géométrie.
Le sujet fondé par cette œuvre est la géométrie riemannienne. Riemann a trouvé la bonne façon d'étendre en n dimensions la géométrie différentielle des surfaces, que Gauss lui-même a prouvée dans son theorema egregium. L'objet fondamental s'appelle le tenseur de courbure de Riemann. Pour le cas de surface, cela peut être réduit à un nombre scalaire, positif, négatif ou zéro ; les cas non nuls et constants étant des modèles des géométries non-euclidiennes connues.
L'idée de Riemann était d'introduire une collection de nombres à chaque point de l'espace, c'est-à-dire un tenseur qui décrirait combien il était courbé ou recourbé. Riemann a découvert qu'en quatre dimensions spatiales, on a besoin d'une collection de dix nombres à chaque point pour décrire les propriétés d'une variété, peu importe le degré de déformation. C'est la fameuse construction centrale de sa géométrie, connue maintenant sous le nom de métrique riemannienne.
Analyse complexe
Dans sa dissertation, il a établi une fondation géométrique pour l'analyse complexe grâce aux surfaces de Riemann, grâce auxquelles des fonctions multivaluées comme le logarithme avec infiniment de feuillets ou la racine carrée avec deux feuillets pourraient devenir des fonctions biunivoques. Les fonctions complexes sont des fonctions harmoniques, c'est-à-dire qu'elles satisfont l'équation de Laplace et donc les équations de Cauchy–Riemann sur ces surfaces et sont décrites par la localisation de leurs singularités et la topologie des surfaces. Le « genre » topologique des surfaces de Riemann est donné par g = w / 2 − n + 1 paramètres les « modules ».
Ses contributions à ce domaine sont nombreuses. Le célèbre théorème de représentation conforme de Riemann dit qu'un domaine simplement connexe dans le plan complexe est « biholomorphiquement équivalent » c'est-à-dire qu'il existe une bijection entre eux qui est holomorphe avec un inverse holomorphe à C ou à l'intérieur du cercle unité. La généralisation du théorème aux surfaces de Riemann est le célèbre théorème d'uniformisation, qui a été prouvé au 19e siècle par Henri Poincaré et Felix Klein. Ici aussi, des preuves rigoureuses n'ont d'abord été données qu'après le développement d'outils mathématiques plus riches, en l'occurrence la topologie. Pour la preuve de l'existence de fonctions sur les surfaces de Riemann, il a utilisé une condition de minimalité, qu'il appelait le principe de Dirichlet. Karl Weierstrass a trouvé une lacune dans la preuve : Riemann n'avait pas remarqué que son hypothèse de travail selon laquelle le minimum existait pouvait ne pas fonctionner ; l'espace des fonctions pouvait ne pas être complet, et donc l'existence d'un minimum n'était pas garantie. Grâce au travail de David Hilbert en Calcul des variations, le principe de Dirichlet a finalement été établi. Sinon, Weierstrass a été très impressionné par Riemann, particulièrement par sa théorie des fonctions abéliennes. Lorsque le travail de Riemann a été publié, Weierstrass a retiré son article du Journal de Crelle et ne l'a pas publié. Ils avaient une bonne compréhension lorsque Riemann l'a visité à Berlin en 1859. Weierstrass a encouragé son étudiant Hermann Amandus Schwarz à trouver des alternatives au principe de Dirichlet dans l'analyse complexe, dans lequel il a réussi. Une anecdote d'Arnold Sommerfeld montre les difficultés que les mathématiciens contemporains avaient avec les nouvelles idées de Riemann. En 1870, Weierstrass avait emporté la dissertation de Riemann avec lui en vacances à Rigi et s'est plaint que c'était difficile à comprendre. Le physicien Hermann von Helmholtz l'a aidé dans le travail pendant la nuit et est revenu avec le commentaire que c'était « naturel » et « très compréhensible ».
D'autres points saillants incluent son travail sur les fonctions abéliennes et les fonctions thêta sur les surfaces de Riemann. Riemann était en compétition avec Weierstrass depuis 1857 pour résoudre les problèmes inverses jacobiens pour les intégrales abéliennes, une généralisation des intégrales elliptiques. Riemann a utilisé des fonctions thêta en plusieurs variables et a réduit le problème à la détermination des zéros de ces fonctions thêta. Riemann a également étudié les matrices de période et les a caractérisées par les « relations de période riemannienne » symétriques, partie réelle négative. Par Ferdinand Georg Frobenius et Solomon Lefschetz, la validité de cette relation est équivalente à l'intégration de C n / Ω, ceci est la variété jacobienne de la surface de Riemann, un exemple de variété abélienne.
De nombreux mathématiciens tels qu'Alfred Clebsch ont approfondi le travail de Riemann sur les courbes algébriques. Ces théories dépendaient des propriétés d'une fonction définie sur les surfaces de Riemann. Par exemple, le théorème de Riemann–Roch (Roch était un étudiant de Riemann) dit quelque chose sur le nombre de différentielles linéairement indépendantes avec des conditions connues sur les zéros et les pôles d'une surface de Riemann.
Selon Detlef Laugwitz, les fonctions automorphes sont apparues pour la première fois dans un essai sur l'équation de Laplace sur des cylindres électriquement chargés. Cependant, Riemann a utilisé ces fonctions pour des applications conformes telles que le mappage de triangles topologiques au cercle dans sa conférence de 1859 sur les fonctions hypergéométriques ou dans son traité sur les surfaces minimales.
Analyse réelle
Dans le domaine de l'analyse réelle, il a découvert l'intégrale de Riemann dans son habilitation. Entre autres, il a montré que chaque fonction continue par morceaux est intégrable. De même, l'intégrale de Stieltjes remonte au mathématicien de Göttingen, et donc elles sont nommées ensemble l'intégrale de Riemann–Stieltjes.
Dans son travail d'habilitation sur les séries de Fourier, où il a suivi le travail de son professeur Dirichlet, il a montré que les fonctions intégrables au sens de Riemann sont « représentables » par des séries de Fourier. Dirichlet l'a montré pour les fonctions continues et différentiables par morceaux, donc avec dénombrablement de nombreux points non-différentiables. Riemann a donné un exemple d'une série de Fourier représentant une fonction continue, presque nulle part différentiable, un cas non couvert par Dirichlet. Il a également prouvé le lemme de Riemann–Lebesgue : si une fonction est représentable par une série de Fourier, alors les coefficients de Fourier vont à zéro pour n grand.
L'essai de Riemann a également été le point de départ du travail de Georg Cantor avec les séries de Fourier, qui a été l'impulsion pour la théorie des ensembles.
Il a également travaillé avec des équations différentielles hypergéométriques en 1857 en utilisant des méthodes analytiques complexes et a présenté les solutions par le comportement de chemins fermés autour des singularités décrits par la matrice de monodromie. La preuve de l'existence de telles équations différentielles par des matrices de monodromie précédemment connues est l'un des problèmes de Hilbert.
Théorie des nombres
Il a apporté d'importantes contributions à la théorie analytique des nombres modernes. Dans un seul et unique article court, le seul qu'il a publié sur le sujet de la théorie des nombres, il a étudié la fonction zêta qui porte maintenant son nom, établissant son importance pour comprendre la distribution des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann était l'une d'une série de conjectures qu'il a formulées sur les propriétés de la fonction.
Dans le travail de Riemann, il y a de nombreux développements intéressants supplémentaires. Il a prouvé l'équation fonctionnelle pour la fonction zêta déjà connue de Leonhard Euler, derrière laquelle se cache une fonction thêta. Grâce à la sommation de cette fonction d'approximation sur les zéros non triviaux sur la ligne avec partie réelle 1/2, il a donné une formule exacte et « explicite » pour π x .
Riemann connaissait le travail de Pafnuty Chebyshev sur le théorème des nombres premiers. Il a
