Tout le monde sait ce qu'est une courbe, jusqu'à ce qu'il ait étudié suffisamment les mathématiques pour devenir confus par le nombre incalculable d'exceptions possibles.
Christian Felix Klein était un mathématicien allemand et un pédagogue en mathématiques, connu pour ses travaux sur la théorie des groupes, l'analyse complexe, la géométrie non euclidienne, et les associations entre la géométrie et la théorie des groupes. Son programme d'Erlangen de 1872, classant les géométries par leurs groupes de symétrie fondamentaux, a été une synthèse influente d'une grande partie des mathématiques de l'époque.
Vie
Felix Klein est né le 25 avril 1849 à Düsseldorf, de parents prussiens ; son père, Caspar Klein 1809–1889, était secrétaire d'un officiel du gouvernement prussien basé dans la province du Rhin. La mère de Klein était Sophie Elise Klein 1819–1890, née Kayser. Il a fréquenté le Gymnasium à Düsseldorf, puis a étudié les mathématiques et la physique à l'Université de Bonn, 1865–1866, ayant l'intention de devenir physicien. À cette époque, Julius Plücker occupait la chaire de mathématiques et de physique expérimentale à Bonn, mais au moment où Klein devint son assistant, en 1866, l'intérêt de Plücker se portait sur la géométrie. Klein a reçu son doctorat, sous la direction de Plücker, de l'Université de Bonn en 1868.
Plücker est mort en 1868, laissant son livre sur les fondements de la géométrie des lignes inachevé. Klein était la personne évidente pour compléter la deuxième partie de la Neue Geometrie des Raumes de Plücker, et ainsi devint acquainted avec Alfred Clebsch, qui s'était installé à Göttingen en 1868. Klein a visité Clebsch l'année suivante, ainsi que Berlin et Paris. En juillet 1870, au début de la Guerre franco-prussienne, il était à Paris et a dû quitter le pays. Pendant une brève période, il a servi comme infirmier militaire dans l'armée prussienne avant d'être nommé maître de conférences à Göttingen au début de 1871.
Erlangen nomma Klein professeur en 1872, alors qu'il n'avait que 23 ans. Pour cela, il a été soutenu par Clebsch, qui le regardait comme susceptible de devenir le meilleur mathématicien de son époque. Klein ne désirait pas une école à Erlangen où il y avait peu d'étudiants, et il a été heureux de se voir offrir une chaire de professeur à la Technische Hochschule de Munich en 1875. Là, lui et Alexander von Brill ont enseigné des cours avancés à de nombreux excellents étudiants, dont Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi, et Gregorio Ricci-Curbastro.
En 1875, Klein a épousé Anne Hegel, la petite-fille du philosophe Georg Wilhelm Friedrich Hegel.
Après cinq ans à la Technische Hochschule, Klein a été nommé à une chaire de géométrie à Leipzig. Ses collègues là-bas comprenaient Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study et Friedrich Engel. Les années de Klein à Leipzig, 1880 à 1886, ont fondamentalement changé sa vie. En 1882, sa santé s'est effondrée ; en 1883–1884, il a été tourmenté par la dépression. Néanmoins, sa recherche a continué ; son travail majeur sur les fonctions sigma hypereilliptiques date d'environ cette période, ayant été publié en 1886 et 1888.
Klein a accepté une chaire de professeur à l'Université de Göttingen en 1886. De là jusqu'à sa retraite en 1913, il a cherché à rétablir Göttingen comme le principal centre de recherche en mathématiques au monde. Pourtant, il n'a jamais réussi à transférer de Leipzig à Göttingen sa propre primauté en tant que développeur de la géométrie. À Göttingen, il a enseigné une variété de cours, principalement concernant l'interface entre les mathématiques et la physique, tels que la mécanique et la théorie du potentiel.
La installation de recherche que Klein a établie à Göttingen a servi de modèle pour les meilleures installations du monde. Il a introduit des réunions de discussion hebdomadaires, et a créé une salle de lecture mathématique et une bibliothèque. En 1895, Klein a engagé David Hilbert loin de l'Université de Königsberg ; cette nomination s'est avérée fatidique, car Hilbert a continué la bonne réputation de Göttingen jusqu'à sa propre retraite en 1932.
Sous la direction éditoriale de Klein, Mathematische Annalen est devenue l'une des meilleures revues mathématiques au monde. Fondée par Clebsch, c'est seulement avec la gestion de Klein qu'elle a d'abord égalé puis dépassé Crelle's Journal basée à l'Université de Berlin. Klein a établi une petite équipe d'éditeurs qui se réunissaient régulièrement, prenant des décisions démocratiques. La revue s'est spécialisée dans l'analyse complexe, la géométrie algébrique, et la théorie invariante au moins jusqu'à ce que Hilbert mette fin au sujet. Elle a également fourni une sortie importante pour l'analyse réelle et la nouvelle théorie des groupes.
En 1893 à Chicago, Klein a été un intervenant majeur au Congrès Mathématique International tenu dans le cadre de l'Exposition colombienne mondiale. Grâce en partie aux efforts de Klein, Göttingen a commencé à admettre les femmes en 1893. Il a supervisé la première thèse de doctorat en mathématiques rédigée à Göttingen par une femme ; elle était Grace Chisholm Young, une étudiante anglaise d'Arthur Cayley, que Klein admirait. En 1897, Klein devint membre étranger de l'Académie royale des arts et des sciences des Pays-Bas.
Vers 1900, Klein a commencé à s'intéresser à l'enseignement des mathématiques dans les écoles. En 1905, il a joué un rôle décisif dans la formulation d'un plan recommandant que la géométrie analytique, les rudiments du calcul différentiel et intégral, et le concept de fonction soient enseignés dans les écoles secondaires. Cette recommandation a été progressivement mise en œuvre dans de nombreux pays du monde. En 1908, Klein a été élu président de la Commission Internationale sur l'Enseignement Mathématique au Congrès International des Mathématiciens à Rome. Sous sa direction, la partie allemande de la Commission a publié de nombreux volumes sur l'enseignement des mathématiques à tous les niveaux en Allemagne.
La London Mathematical Society a décerné à Klein sa médaille De Morgan en 1893. Il a été élu membre de la Royal Society en 1885, et s'est vu décerner sa médaille Copley en 1912. Il a pris sa retraite l'année suivante en raison de problèmes de santé, mais a continué à enseigner les mathématiques à son domicile pendant quelques années encore.
Klein a été l'un des 93 signataires du Manifeste des Quatre-vingt-treize, un document rédigé en soutien de l'invasion allemande de la Belgique aux premiers stades de la Première Guerre mondiale.
Klein avait le titre de Geheimrat conseiller de confiance.
Il est mort à Göttingen en 1925.
Travaux
La dissertation de Klein, sur la géométrie des lignes et ses applications à la mécanique, classait les complexes de lignes du second degré en utilisant la théorie des diviseurs élémentaires de Weierstrass.
Les premières découvertes mathématiques importantes de Klein ont été faites en 1870. En collaboration avec Sophus Lie, il a découvert les propriétés fondamentales des lignes asymptotiques sur la surface de Kummer. Ils ont ensuite étudié les courbes W, courbes invariantes sous un groupe de transformations projectives. C'est Lie qui a présenté Klein au concept de groupe, qui devait avoir un rôle majeur dans ses travaux ultérieurs. Klein a également appris les groupes de Camille Jordan.
Klein a conçu la « bouteille de Klein » nommée d'après lui, une surface fermée unilatérale qui ne peut pas être intégrée dans l'espace euclidien tridimensionnel, mais elle peut être immergée en tant que cylindre se repliant sur lui-même pour se joindre à son autre extrémité de l'intérieur. Elle peut être intégrée dans l'espace euclidien de dimensions 4 et supérieures. Le concept de bouteille de Klein a été conçu comme une bande de Möbius tridimensionnelle, avec une méthode de construction étant l'attachement des bords de deux bandes de Möbius.
Au cours des années 1890, Klein a commencé à étudier plus intensément la physique mathématique, écrivant sur le gyroscope avec Arnold Sommerfeld. En 1894, il a initié l'idée d'une encyclopédie des mathématiques comprenant ses applications, qui est devenue l'Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Cette entreprise, qui a duré jusqu'en 1935, a fourni une norme de référence importante d'une valeur durable.
Programme d'Erlangen
En 1871, alors qu'il était à Göttingen, Klein a fait des découvertes majeures en géométrie. Il a publié deux articles intitulés Sur la géométrie non euclidienne soi-disant montrant que les géométries euclidienne et non euclidienne pouvaient être considérées comme des espaces métriques déterminés par une métrique de Cayley-Klein. Cette idée avait pour corollaire que la géométrie non euclidienne était cohérente si et seulement si la géométrie euclidienne l'était, donnant le même statut aux géométries euclidienne et non euclidienne, et mettant fin à toute controverse sur la géométrie non euclidienne. Arthur Cayley n'a jamais accepté l'argument de Klein, le croyant circulaire.
La synthèse de Klein de la géométrie comme l'étude des propriétés d'un espace invariant sous un groupe donné de transformations, connue sous le nom de programme d'Erlangen de 1872, a profondément influencé l'évolution des mathématiques. Ce programme a été initié par la leçon inaugurale de Klein en tant que professeur à Erlangen, bien que ce ne soit pas le discours réel qu'il a donné à l'occasion. Le programme proposait un système géométrique unifié qui est devenu la méthode moderne acceptée. Klein a montré comment les propriétés essentielles d'une géométrie donnée pouvaient être représentées par le groupe de transformations qui préservent ces propriétés. Ainsi, la définition du programme de la géométrie englobait à la fois la géométrie euclidienne et la géométrie non euclidienne.
Actuellement, l'importance des contributions de Klein à la géométrie est plus qu'évidente, mais pas parce que ces contributions sont maintenant considérées comme étranges ou incorrectes. Au contraire, ces contributions sont devenues tellement intégrées à notre façon de penser mathématique actuelle qu'il nous est difficile d'apprécier leur nouveauté, et la façon dont elles n'ont pas été immédiatement acceptées par tous ses contemporains.
Analyse complexe
Klein a considéré son travail en analyse complexe comme sa contribution majeure aux mathématiques, spécifiquement son travail sur :
- Le lien entre certaines idées de Riemann et la théorie invariante,
- La théorie des nombres et l'algèbre abstraite ;
- La théorie des groupes ;
- La géométrie avec plus de 3 dimensions et les équations différentielles, en particulier les équations qu'il a inventées, à savoir les fonctions modulaires elliptiques et les fonctions automorphes.
Klein a montré que le groupe modulaire déplace la région fondamentale du plan complexe de manière à tesseller ce plan. En 1879, il a examiné l'action de PSL2,7, considérée comme une image du groupe modulaire, et a obtenu une représentation explicite d'une surface de Riemann maintenant appelée la quartique de Klein. Il a montré que cette surface était une courbe dans l'espace projectif, que son équation était x3y + y3z + z3x = 0, et que son groupe de symétries était PSL2,7 d'ordre 168. Son Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale de 1882 traite l'analyse complexe d'une manière géométrique, en reliant la théorie du potentiel et les applications conformes. Ce travail s'appuyait sur des notions de la dynamique des fluides.
Klein a considéré les équations de degré > 4, et s'intéressait particulièrement à l'utilisation de méthodes transcendantales pour résoudre l'équation générale du cinquième degré. En s'appuyant sur les méthodes de Charles Hermite et Leopold Kronecker, il a produit des résultats similaires à ceux de Brioschi et a ensuite complètement résolu le problème au moyen du groupe icosaédral. Ce travail lui a permis d'écrire une série d'articles sur les fonctions modulaires elliptiques.
Dans son livre de 1884 sur l'icosaèdre, Klein a établi une théorie des fonctions automorphes, associant l'algèbre et la géométrie. Cependant, Poincaré a publié un aperçu de sa théorie des fonctions automorphes en 1881, ce qui a entraîné une rivalité amicale entre les deux hommes. Les deux ont cherché à énoncer et prouver un grand théorème d'uniformisation qui établirait la nouvelle théorie plus complètement. Klein a réussi à formuler un tel théorème et à décrire une stratégie pour le prouver. Mais en effectuant ce travail, sa santé a diminué, comme mentionné ci-dessus.
Klein a résumé son travail sur les fonctions modulaires automorphes et elliptiques dans un traité de quatre volumes, écrit avec Robert Fricke sur une période d'environ 20 ans.
Œuvres choisies
- 1882 : Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
- e-text à Project Gutenberg, également disponible à Cornell
- 1884 : Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade traduction anglaise par G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
- Traduction anglaise par G. G. Morrice 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
- 1886 : Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
- 1888 : Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
- 1894 : Über die hypergeometrische Funktion
- 1894 : Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
- 1897 : avec Arnold Sommerfeld Theorie des Kreisels volumes suivants : 1898, 1903, 1910
- 1890 : avec Robert Fricke Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2 volumes et 1892
- 1894 : Evanston Colloquium 1893 rapporté et publié par Ziwet New York, 1894
- Fricke, Robert; Klein, Felix 1897, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen en allemand, Leipzig : B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01 Zweiter Band. 1901.
- 1901 : Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein
- Fricke, Robert; Klein, Felix 1912, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere
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