Nous devons savoir. Nous saurons.
David Hilbert était un mathématicien allemand et l'un des mathématiciens les plus influents et universels des 19e et début 20e siècles. Hilbert a découvert et développé un large éventail d'idées fondamentales dans de nombreux domaines, notamment la théorie des invariants, le calcul des variations, l'algèbre commutative, la théorie algébrique des nombres, les fondements de la géométrie, la théorie spectrale des opérateurs et son application aux équations intégrales, la physique mathématique et les fondements des mathématiques, en particulier la théorie de la preuve.
Hilbert a adopté et défendu chaleureusement la théorie des ensembles de Georg Cantor et les nombres transfinis. Un exemple célèbre de son leadership en mathématiques est sa présentation en 1900 d'une collection de problèmes qui ont défini le cours d'une grande partie de la recherche mathématique du 20e siècle.
Hilbert et ses étudiants ont contribué de manière significative à l'établissement de la rigueur et ont développé des outils importants utilisés dans la physique mathématique moderne. Hilbert est connu comme l'un des fondateurs de la théorie de la preuve et de la logique mathématique.
Vie
Enfance et éducation
Hilbert, le premier de deux enfants et seul fils d'Otto et Maria Therese Erdtmann Hilbert, est né dans la Province de Prusse, Royaume de Prusse, soit à Königsberg selon sa propre déclaration, soit à Wehlau, connue depuis 1946 sous le nom de Znamensk près de Königsberg, où son père travaillait au moment de sa naissance.
Fin 1872, Hilbert entra au Friedrichskolleg Gymnasium Collegium fridericianum, la même école qu'Immanuel Kant avait fréquentée 140 ans auparavant ; mais, après une période malheureuse, il s'est transféré en fin 1879 et a obtenu son diplôme en début 1880 du Wilhelm Gymnasium, plus orienté vers les sciences. À la fin de ses études, en automne 1880, Hilbert s'inscrivit à l'Université de Königsberg, l'« Albertina ». En début 1882, Hermann Minkowski, deux ans plus jeune que Hilbert et également natif de Königsberg mais qui était allé à Berlin pendant trois semestres, revint à Königsberg et entra à l'université. Hilbert développa une amitié qui dura toute sa vie avec le timide et talentueux Minkowski.
Carrière
En 1884, Adolf Hurwitz arriva de Göttingen en tant qu'Extraordinarius, c'est-à-dire professeur associé. Un intense et fructueux échange scientifique entre les trois débuta, et Minkowski et Hilbert en particulier exerceraient une influence réciproque l'un sur l'autre à différents moments de leurs carrières scientifiques. Hilbert obtint son doctorat en 1885, avec une dissertation écrite sous la direction de Ferdinand von Lindemann, intitulée Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen « Sur les propriétés invariantes des formes binaires spéciales, en particulier les fonctions harmoniques sphériques ».
Hilbert resta à l'Université de Königsberg en tant que Privatdozent, chargé de cours principal de 1886 à 1895. En 1895, à la suite d'une intervention en sa faveur par Felix Klein, il obtint le poste de Professeur de Mathématiques à l'Université de Göttingen. Pendant les années Klein et Hilbert, Göttingen devint l'institution prédominante dans le monde mathématique. Il y resta pour le reste de sa vie.
École de Göttingen
Parmi les étudiants d'Hilbert se trouvaient Hermann Weyl, le champion d'échecs Emanuel Lasker, Ernst Zermelo et Carl Gustav Hempel. John von Neumann était son assistant. À l'Université de Göttingen, Hilbert était entouré d'un cercle social de certains des mathématiciens les plus importants du 20e siècle, tels qu'Emmy Noether et Alonzo Church.
Parmi ses 69 étudiants en doctorat à Göttingen, nombreux sont devenus des mathématiciens célèbres, notamment avec la date de la thèse : Otto Blumenthal 1898, Felix Bernstein 1901, Hermann Weyl 1908, Richard Courant 1910, Erich Hecke 1910, Hugo Steinhaus 1911 et Wilhelm Ackermann 1925. Entre 1902 et 1939, Hilbert a été rédacteur en chef du Mathematische Annalen, la principale revue mathématique de l'époque.
« Bien, il n'avait pas assez d'imagination pour devenir mathématicien ». — La réponse d'Hilbert en apprenant que l'un de ses étudiants avait abandonné les études pour se consacrer à la poésie.
Dernières années
Vers 1925, Hilbert développa une anémie pernicieuse, une carence en vitamines alors incurable dont le symptôme principal est l'épuisement ; son assistant Eugene Wigner le décrivit comme sujet à une « fatigue énorme » et comment il « semblait assez vieux », et que même après avoir été finalement diagnostiqué et traité, il « n'était guère un scientifique après 1925, et certainement pas un Hilbert ».
Hilbert a vécu assez longtemps pour voir les nazis purger de nombreux éminents membres du corps professoral de l'Université de Göttingen en 1933. Parmi ceux expulsés se trouvaient Hermann Weyl, qui avait pris la chaire d'Hilbert quand il prit sa retraite en 1930, Emmy Noether et Edmund Landau. L'un de ceux qui dut quitter l'Allemagne, Paul Bernays, avait collaboré avec Hilbert en logique mathématique et co-auteur avec lui de l'important livre Grundlagen der Mathematik qui est finalement apparu en deux volumes, en 1934 et 1939. C'était une suite au livre Hilbert-Ackermann Principles of Mathematical Logic de 1928. Le successeur d'Hermann Weyl a été Helmut Hasse.
Environ un an plus tard, Hilbert assista à un banquet et fut assis à côté du nouveau Ministre de l'Éducation, Bernhard Rust. Rust lui demanda si « l'Institut Mathématique avait vraiment tellement souffert du départ des Juifs ». Hilbert répondit : « Souffert ? Il n'existe plus, n'est-ce pas ! »
Mort
Au moment de la mort d'Hilbert en 1943, les nazis avaient presque complètement remplacé le personnel de l'université, car nombre d'anciens membres du corps professoral étaient soit juifs, soit mariés à des juifs. Les funérailles d'Hilbert ont été assistées par moins d'une douzaine de personnes, dont seulement deux étaient des collègues universitaires, parmi lesquelles Arnold Sommerfeld, un physicien théoricien et également un natif de Königsberg. L'annonce de sa mort ne fut connue du monde plus large que six mois après son décès.
L'épitaphe sur sa pierre tombale à Göttingen se compose des célèbres lignes qu'il prononça à la conclusion de son discours de retraite à la Société des savants et physiciens allemands le 8 septembre 1930. Les paroles ont été données en réponse à la maxime latine : « Ignoramus et ignorabimus » ou « Nous ne savons pas, nous ne saurons pas »:
En anglais :
Nous devons savoir.
Nous saurons.
La veille du jour où Hilbert prononça ces phrases à la réunion annuelle de 1930 de la Société des savants et physiciens allemands, Kurt Gödel — lors d'une discussion à table ronde pendant la Conférence sur l'Épistémologie tenue conjointement avec les réunions de la Société — annonça de façon préliminaire la première expression de son théorème d'incomplétude. Les théorèmes d'incomplétude de Gödel montrent que même des systèmes axiomatiques élémentaires comme l'arithmétique de Peano sont soit auto-contradictoires, soit contiennent des propositions logiques qu'il est impossible de prouver ou de réfuter.
Vie personnelle
En 1892, Hilbert épouse Käthe Jerosch 1864–1945 d'une famille juive allemande, « la fille d'un marchand de Königsberg, une jeune femme au caractère affirmé ayant une indépendance d'esprit qui correspondait à la sienne ». Pendant leur séjour à Königsberg, ils eurent un enfant, Franz Hilbert 1893–1969.
Le fils d'Hilbert, Franz, a souffert toute sa vie d'une maladie mentale non diagnostiquée. Son infériorité intellectuelle fut une terrible déception pour son père et ce malheur fut une source de détresse pour les mathématiciens et les étudiants à Göttingen.
Hilbert considérait le mathématicien Hermann Minkowski comme son « meilleur et plus vrai ami ».
Hilbert a été baptisé et élevé dans le calvinisme dans l'Église Protestante Prussienne. Il quitta plus tard l'Église et devint agnostique. Il a également soutenu que la vérité mathématique était indépendante de l'existence de Dieu ou d'autres hypothèses a priori. Quand Galileo Galilei a été critiqué pour n'avoir pas défendu ses convictions sur la théorie héliocentrique, Hilbert a objecté : « Mais ce n'était pas un idiot. Seul un idiot pourrait croire que la vérité scientifique nécessite le martyre ; cela peut être nécessaire en religion, mais les résultats scientifiques se prouvent d'eux-mêmes avec le temps. »
Hilbert résout le problème de Gordan
Le premier travail d'Hilbert sur les fonctions invariantes l'a conduit à la démonstration en 1888 de son célèbre théorème de finitude. Vingt ans auparavant, Paul Gordan avait démontré le théorème de finitude des générateurs pour les formes binaires en utilisant une approche computationnelle complexe. Les tentatives de généraliser sa méthode à des fonctions avec plus de deux variables ont échoué en raison de l'énorme difficulté des calculs impliqués. Pour résoudre ce qui était devenu connu dans certains cercles comme le Problème de Gordan, Hilbert réalisa qu'il était nécessaire de prendre un chemin complètement différent. En conséquence, il a démontré le théorème de la base d'Hilbert, montrant l'existence d'un ensemble fini de générateurs, pour les invariants des quantiques dans un nombre quelconque de variables, mais sous une forme abstraite. C'est-à-dire que bien qu'il ait démontré l'existence d'un tel ensemble, ce n'était pas une preuve constructive — elle n'affichait pas « un objet » — mais plutôt, c'était une preuve d'existence et reposait sur l'utilisation de la loi du tiers exclu dans une extension infinie.
Hilbert envoya ses résultats au Mathematische Annalen. Gordan, l'expert maison de la théorie des invariants pour le Mathematische Annalen, ne pouvait pas apprécier la nature révolutionnaire du théorème d'Hilbert et rejeta l'article, critiquant l'exposition parce qu'elle était insuffisamment complète. Son commentaire était :
Ce n'est pas des Mathématiques. C'est de la Théologie
Klein, en revanche, reconnut l'importance du travail et garantit qu'il serait publié sans aucune modification. Encouragé par Klein, Hilbert étendit sa méthode dans un deuxième article, fournissant des estimations sur le degré maximal de l'ensemble minimal de générateurs, et l'envoya une fois de plus aux Annalen. Après avoir lu le manuscrit, Klein lui écrivit, disant :
Sans aucun doute, ceci est le travail le plus important sur l'algèbre générale que les Annalen ait jamais publié.
Plus tard, après que l'utilité de la méthode d'Hilbert fut universellement reconnue, Gordan lui-même dirait :
Je me suis convaincu que la théologie aussi a ses mérites.
Malgré tous ses succès, la nature de sa preuve créa plus de problèmes qu'Hilbert n'aurait pu l'imaginer. Bien que Kronecker se fût concédé, Hilbert répondrait plus tard aux critiques similaires d'autres que « de nombreuses constructions différentes sont subsumées sous une idée fondamentale » — en d'autres termes, pour citer Reid : « Par une preuve d'existence, Hilbert avait été capable d'obtenir une construction » ; « la preuve » c'est-à-dire les symboles sur la page était « l'objet ». Tous n'étaient pas convaincus. Alors que Kronecker mourrait peu de temps après, sa philosophie constructiviste continuerait avec le jeune Brouwer et son développement « école » intuitionniste, ce qui causerait beaucoup de torment à Hilbert dans ses dernières années. En effet, Hilbert perdrait son « élève talentueux » Weyl à l'intuitionnisme — « Hilbert était troublé par la fascination de son ancien étudiant pour les idées de Brouwer, qui suscita en Hilbert le souvenir de Kronecker ». Brouwer l'intuitionniste en particulier s'opposait à l'utilisation de la Loi du Tiers Exclu sur des ensembles infinis comme Hilbert l'avait utilisée. Hilbert a répondu :
Axiomatisation de la géométrie
Le texte Grundlagen der Geometrie tr. : Fondements de la Géométrie publié par Hilbert en 1899 propose un ensemble formel, appelé axiomes d'Hilbert, remplaçant les axiomes traditionnels d'Euclide. Ils évitent les faiblesses identifiées dans ceux d'Euclide, dont les œuvres étaient à l'époque encore utilisées de manière manuel scolaire. Il est difficile de spécifier les axiomes utilisés par Hilbert sans se référer à l'histoire de la publication du Grundlagen puisqu'Hilbert les a changés et modifiés plusieurs fois. La monographie originale a été rapidement suivie par une traduction française, dans laquelle Hilbert a ajouté V.2, l'Axiome de Complétude. Une traduction anglaise, autorisée par Hilbert, a été faite par E.J. Townsend et protégée par le droit d'auteur en 1902. Cette traduction incorporait les changements apportés dans la traduction française et est donc considérée comme une traduction de la 2e édition. Hilbert a continué à apporter des modifications au texte et plusieurs éditions sont apparues en allemand. La 7e édition a été la dernière à apparaître du vivant d'Hilbert. De nouvelles éditions ont suivi la 7e, mais le texte principal n'a essentiellement pas été révisé.
L'approche d'Hilbert a signalé le passage à la méthode axiomatique moderne. En cela, Hilbert a été anticipé par le travail de Moritz Pasch de 1882. Les axiomes ne sont pas considérés comme des vérités évidentes. La géométrie peut traiter de choses, sur lesquelles nous avons des intuitions puissantes, mais il n'est pas nécessaire d'assigner une signification explicite aux concepts indéfinis. Les éléments, tels que point, ligne, plan et autres, pourraient être substitués, comme Hilbert aurait dit à Schoenflies et Kötter, par des tables, des chaises, des verres de bière et d'autres tels objets. Ce sont leurs relations définies qui sont discutées.
Hilbert énumère d'abord les concepts indéfinis : point, ligne, plan, relation d'appartenance entre points et lignes, points et plans, et lignes et plans, l'ordre, la congruence des paires de points segments de ligne, et la congruence des angles. Les axiomes unifient à la fois la géométrie plane et la géométrie solide d'Euclide
