Jacob Bernoulli aussi connu sous les noms de James ou Jacques; 6 janvier 1655 [S.J. 27 décembre 1654] – 16 août 1705 était l'un des nombreux mathématiciens éminents de la famille Bernoulli. Il a été un partisan précoce du calcul leibnizien et a pris le parti de Gottfried Wilhelm Leibniz lors de la controverse Leibniz-Newton sur le calcul. Il est connu pour ses nombreuses contributions au calcul, et avec son frère Johann, était l'un des fondateurs du calcul des variations. Il a également découvert la constante mathématique fondamentale e. Cependant, sa contribution la plus importante a été dans le domaine des probabilités, où il a dérivé la première version de la loi des grands nombres dans son œuvre Ars Conjectandi.
Biographie
Jacob Bernoulli est né à Bâle, en Suisse. Suivant le souhait de son père, il a étudié la théologie et est entré dans le ministère. Mais contrairement aux désirs de ses parents, il a également étudié les mathématiques et l'astronomie. Il a voyagé à travers l'Europe de 1676 à 1682, apprenant les dernières découvertes en mathématiques et en sciences auprès des figures de proue de l'époque. Cela comprenait les travaux de Johannes Hudde, Robert Boyle et Robert Hooke. Pendant cette période, il a également développé une théorie incorrecte des comètes.
Bernoulli est revenu en Suisse et a commencé à enseigner la mécanique à l'Université de Bâle à partir de 1683. Sa dissertation de doctorat Solutionem tergemini problematis a été soumise en 1684. Elle a été publiée en 1687.
En 1684, Bernoulli a épousé Judith Stupanus; ils avaient deux enfants. Au cours de cette décennie, il a également commencé une carrière de recherche fructueuse. Ses voyages lui ont permis d'établir une correspondance avec de nombreux mathématiciens et scientifiques de premier plan de son époque, qu'il a maintenue tout au long de sa vie. Pendant cette période, il a étudié les nouvelles découvertes en mathématiques, y compris De ratiociniis in aleae ludo de Christiaan Huygens, La Géométrie de Descartes et les suppléments de Frans van Schooten. Il a également étudié Isaac Barrow et John Wallis, ce qui a conduit à son intérêt pour la géométrie infinitésimale. Outre cela, c'est entre 1684 et 1689 que bon nombre des résultats qui allaient composer l'Ars Conjectandi ont été découverts.
Il a été nommé professeur de mathématiques à l'Université de Bâle en 1687, restant à ce poste pour le reste de sa vie. À cette époque, il avait commencé à tutoyer son frère Johann Bernoulli sur des sujets mathématiques. Les deux frères ont commencé à étudier le calcul tel que présenté par Leibniz dans son article de 1684 sur le calcul différentiel dans « Nova Methodus pro Maximis et Minimis » publié dans Acta Eruditorum. Ils ont également étudié les publications de von Tschirnhaus. Il faut comprendre que les publications de Leibniz sur le calcul étaient très obscures pour les mathématiciens de cette époque et les Bernoulli ont été parmi les premiers à essayer de comprendre et d'appliquer les théories de Leibniz.
Jacob a collaboré avec son frère sur diverses applications du calcul. Cependant, l'atmosphère de collaboration entre les deux frères s'est transformée en rivalité alors que le génie mathématique propre de Johann commençait à se manifester, les deux s'attaquant l'un l'autre par écrit et se posant des défis mathématiques difficiles pour tester les aptitudes de chacun. En 1697, la relation s'était complètement rompue.
Le cratère lunaire Bernoulli porte également le nom conjoint de lui et de son frère Johann.
Œuvres importantes
Les premières contributions importantes de Jacob Bernoulli ont été un pamphlet sur les parallèles entre la logique et l'algèbre publié en 1685, un travail sur les probabilités en 1685 et la géométrie en 1687. Son résultat en géométrie a donné une construction pour diviser n'importe quel triangle en quatre parties égales avec deux lignes perpendiculaires.
En 1689, il avait publié un travail important sur les séries infinies et publié sa loi des grands nombres en théorie des probabilités. Jacob Bernoulli a publié cinq traités sur les séries infinies entre 1682 et 1704. Les deux premiers contienaient de nombreux résultats, comme le résultat fondamental que ∑ 1 n, mais il a montré qu'il convergeait vers une limite finie inférieure à 2. Euler a été le premier à trouver la limite de cette série en 1737. Bernoulli a également étudié la série exponentielle qui a résulté de l'examen des intérêts composés.
En mai 1690 dans un article publié dans Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli a montré que le problème de la détermination de l'isochrone est équivalent à la résolution d'une équation différentielle non linéaire du premier ordre. L'isochrone, ou courbe de descente constante, est la courbe le long de laquelle une particule descendra sous la gravité de n'importe quel point jusqu'en bas exactement dans le même temps, peu importe le point de départ. Elle avait été étudiée par Huygens en 1687 et Leibniz en 1689. Après avoir trouvé l'équation différentielle, Bernoulli l'a ensuite résolue par ce que nous appelons maintenant la séparation des variables. L'article de Jacob Bernoulli de 1690 est important pour l'histoire du calcul, puisque le terme intégrale y apparaît pour la première fois avec son sens d'intégration. En 1696, Bernoulli a résolu l'équation, maintenant appelée équation différentielle de Bernoulli,
Jacob Bernoulli a également découvert une méthode générale pour déterminer les développées d'une courbe comme l'enveloppe de ses cercles de courbure. Il a également enquêté sur les courbes caustiques et en particulier il a étudié ces courbes associées de la parabole, la spirale logarithmique et les épicycloïdes autour de 1692. La lemniscate de Bernoulli a été conçue pour la première fois par Jacob Bernoulli en 1694. En 1695, il a enquêté sur le problème du pont-levis qui demande la courbe requise pour qu'un poids glissant le long du câble garde toujours le pont-levis équilibré.
L'œuvre la plus originale de Jacob Bernoulli était Ars Conjectandi publiée à Bâle en 1713, huit ans après sa mort. L'œuvre était incomplète au moment de sa mort mais c'est toujours une œuvre de la plus grande importance dans la théorie des probabilités. Dans le livre, Bernoulli a examiné les travaux d'autres auteurs sur les probabilités, en particulier les travaux de van Schooten, Leibniz et Prestet. Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le livre dans une discussion de la série exponentielle. De nombreux exemples sont donnés sur le montant qu'on s'attendrait à gagner en jouant à divers jeux de hasard. Le terme essai de Bernoulli a résulté de ce travail. Il y a des pensées intéressantes sur ce que la probabilité est réellement:
... la probabilité comme un degré mesurable de certitude; la nécessité et le hasard; l'espérance morale par rapport à l'espérance mathématique; la probabilité a priori et a posteriori; l'espérance de gains lorsque les joueurs sont divisés selon l'adresse; la prise en compte de tous les arguments disponibles, leur évaluation et leur évaluation calculable; la loi des grands nombres ...
Bernoulli a été l'un des promoteurs les plus importants des méthodes formelles de l'analyse supérieure. L'astuce et l'élégance se trouvent rarement dans sa méthode de présentation et d'expression, mais il y a un maximum d'intégrité.
Découverte de la constante mathématique e
En 1683, Bernoulli a découvert la constante e en étudiant une question sur les intérêts composés qui l'obligeait à trouver la valeur de l'expression suivante qui est en fait e:
Un exemple est un compte qui commence avec 1,00 $ et paie 100% d'intérêt par an. Si les intérêts sont crédités une fois, à la fin de l'année, la valeur est 2,00 $; mais si les intérêts sont calculés et ajoutés deux fois par an, les 1 $ sont multipliés par 1,5 deux fois, ce qui donne 1,00 $ × 1,5² = 2,25 $. La composition trimestrielle donne 1,00 $ × 1,25⁴ = 2,4414...$, et la composition mensuelle donne 1,00 $ × 1,0833...¹² = 2,613035....
Bernoulli a remarqué que cette séquence se rapproche d'une limite avec la force des intérêts pour des intervalles de composition plus petits et plus nombreux. La composition hebdomadaire donne 2,692597...$, tandis que la composition quotidienne donne 2,714567...$, soit à peine deux cents de plus. En utilisant n comme le nombre d'intervalles de composition, avec des intérêts de 100% / n à chaque intervalle, la limite pour n grand est le nombre qu'Euler a ensuite nommé e; avec la composition continue, la valeur du compte atteindra 2,7182818.... Plus généralement, un compte qui commence à 1 $ et rapporte 1 + R dollars avec intérêts composés, rapportera eR dollars avec composition continue.
Tombeau
Bernoulli voulait une spirale logarithmique et la devise Eadem mutata resurgo « Bien que changé, je m'élève identique » gravées sur sa pierre tombale. Il a écrit que la spirale auto-similaire « peut être utilisée comme symbole, soit de la force et de la constance dans l'adversité, soit du corps humain, qui après tous ses changements, même après la mort, sera restauré à son moi exact et parfait ». Bernoulli est mort en 1705, mais une spirale d'Archimède a été gravée plutôt qu'une spirale logarithmique.
Traduction de l'inscription latine:
Jacob Bernoulli, le mathématicien incomparable.
Professeur à l'Université de Bâle Pendant plus de 18 ans;
membre des Académies royales de Paris et de Berlin; célèbre pour ses écrits.
D'une maladie chronique, l'esprit sain jusqu'à la fin;
succombé en l'an de grâce 1705, le 16 août, à l'âge de 50 ans et 7 mois, en attente de la résurrection.
Judith Stupanus,
son épouse pendant 20 ans,
et ses deux enfants ont érigé un monument au mari et au père qu'ils regrettent tant.
