Si la preuve est correcte, aucune autre reconnaissance n'est nécessaire
Grigori Yakovlevich Perelman est un mathématicien russe connu pour ses contributions dans les domaines de l'analyse géométrique, de la géométrie riemannienne et de la topologie géométrique.
Dans les années 1990, en partie en collaboration avec Yuri Burago, Mikhael Gromov et Anton Petrunin, il a apporté des contributions influentes à l'étude des espaces d'Alexandrov. En 1994, il a prouvé la conjecture de l'âme en géométrie riemannienne, qui avait été un problème ouvert pendant les 20 années précédentes. En 2002 et 2003, il a développé de nouvelles techniques dans l'analyse du flot de Ricci, fournissant ainsi un esquisse détaillée d'une preuve de la conjecture de Poincaré et de la conjecture de géométrisation de Thurston, dont la première avait été un problème ouvert célèbre en mathématiques pendant le siècle précédent. Les détails complets des travaux de Perelman ont été complétés et expliqués par divers auteurs au cours des années suivantes.
En août 2006, Perelman s'est vu offrir la médaille Fields pour « ses contributions à la géométrie et ses intuitions révolutionnaires sur la structure analytique et géométrique du flot de Ricci », mais il a décliné le prix, déclarant : « Je ne suis pas intéressé par l'argent ou la célébrité ; je ne veux pas être exposé comme un animal dans un zoo. » Le 22 décembre 2006, la revue scientifique Science a reconnu la preuve de Perelman de la conjecture de Poincaré comme la « Percée de l'année » scientifique, la première telle reconnaissance dans le domaine des mathématiques.
Le 18 mars 2010, il a été annoncé qu'il avait satisfait aux critères pour recevoir le premier Clay Millennium Prize pour la résolution de la conjecture de Poincaré. Le 1er juillet 2010, il a rejeté le prix d'un million de dollars, déclarant qu'il considérait la décision du conseil de l'Institut Clay comme injuste, dans la mesure où sa contribution à la résolution de la conjecture de Poincaré n'était pas plus grande que celle de Richard S. Hamilton, le mathématicien qui a lancé le flot de Ricci en partie dans le but d'attaquer la conjecture. Il avait précédemment rejeté le prestigieux prix de la Société mathématique européenne, en 1996.
Enfance et éducation
Grigori Yakovlevich Perelman est né à Leningrad, Union soviétique maintenant Saint-Pétersbourg, Russie le 13 juin 1966, de parents russo-juifs Yakov qui vit maintenant en Israël et Lyubov qui vit toujours à Saint-Pétersbourg avec Grigori. La mère de Grigori, Lyubov, a abandonné ses études supérieures en mathématiques pour l'élever. Le talent mathématique de Grigori est devenu apparent à l'âge de dix ans, et sa mère l'a inscrit au programme de formation en mathématiques parascolaire de Sergei Rukshin.
Son éducation mathématique a continué à la Leningrad Secondary School #239, une école spécialisée avec des programmes avancés en mathématiques et en physique. Grigori excellait dans tous les sujets sauf l'éducation physique. En 1982, en tant que membre de l'équipe de l'Union soviétique participant à l'Olympiade internationale de mathématiques, une compétition internationale pour les lycéens, il a remporté une médaille d'or, obtenant un score parfait. Il a poursuivi ses études à l'École de mathématiques et de mécanique de l'Université d'État de Leningrad, sans examen d'admission et inscrit à l'université.
Après avoir complété son doctorat en 1990, Perelman a commencé à travailler au Département de Leningrad de l'Institut de mathématiques Steklov de l'Académie des sciences de l'URSS, où ses conseillers étaient Aleksandr Aleksandrov et Yuri Burago. À la fin des années 1980 et au début des années 1990, avec une forte recommandation du géomètre Mikhail Gromov, Perelman a obtenu des postes de recherche dans plusieurs universités aux États-Unis. En 1991, Perelman a remporté le Young Mathematician Prize de la Société mathématique de Saint-Pétersbourg pour ses travaux sur les espaces d'Aleksandrov de courbure bornée par le bas. En 1992, il a été invité à passer un semestre chacun à l'Institut Courant de la New York University et à la Stony Brook University où il a commencé à travailler sur les variétés avec des bornes inférieures sur la courbure de Ricci. De là, il a accepté une bourse Miller Research Fellowship de deux ans à l'Université de Californie, Berkeley en 1993. Après avoir prouvé la conjecture de l'âme en 1994, il s'est vu offrir des postes dans plusieurs universités de premier plan aux États-Unis, y compris Princeton et Stanford, mais il les a tous rejetés et est retourné à l'Institut Steklov à Saint-Pétersbourg à l'été 1995 pour un poste de recherche uniquement.
Recherche dans les années 1990
Le travail le plus notable de Perelman au cours de cette période concernait le domaine des espaces d'Alexandrov, concept qui remonte aux années 1950. Dans un article bien connu de 1992 coécrit avec Yuri Burago et Mikhail Gromov, Perelman a établi les fondements modernes de ce domaine, avec la notion de convergence de Gromov-Hausdorff comme principe organisateur. En 1993, Perelman a développé une notion de théorie de Morse sur ces espaces non lisses. Pour son travail sur les espaces d'Alexandrov, Perelman a été invité à faire une conférence au Congrès international des mathématiciens de 1994.
La conjecture de l'âme de Cheeger et Gromoll, formulée en 1972, dit :
Supposons que (M, g) soit une variété riemannienne complète, connectée et non compacte avec courbure sectionnelle K ≥ 0, et qu'il existe un point dans M où la courbure sectionnelle (dans toutes les directions sectionnelles) est strictement positive. Alors l'âme de M est un point ; de manière équivalente M est difféomorphe à Rn.
Ceci était d'intérêt puisque Cheeger et Gromoll avaient établi le résultat sous l'hypothèse plus forte que toutes les courbures sectionnelles sont positives. Comme la déformation de la courbure non-négative à positive n'est pas bien comprise, la conjecture de l'âme a été proposée. En 1994, Perelman a donné une preuve courte et élégante de la conjecture en établissant que dans le cas général K ≥ 0, la rétraction de Sharafutdinov P : M → S est une submersion.
Trois articles notables de Perelman de 1994 à 1997 traitent de la construction de diverses variétés riemanniennes intéressantes avec courbure de Ricci positive.
Conjectures de géométrisation et de Poincaré
Le problème
La conjecture de Poincaré, proposée par le mathématicien français Henri Poincaré en 1904, était l'un des problèmes clés de la topologie. Toute boucle sur une 3-sphère - comme l'exemplifie l'ensemble des points à une distance de 1 de l'origine dans l'espace euclidien à quatre dimensions - peut être contractée en un point. La conjecture de Poincaré affirme que toute variété tridimensionnelle fermée, telle que toute boucle peut être contractée en un point, est topologiquement une 3-sphère. Le résultat analogue est connu pour être vrai en dimensions supérieures ou égales à cinq depuis 1960 comme dans les travaux de Stephen Smale. Le cas à quatre dimensions a résisté plus longtemps, finalement résolu en 1982 par Michael Freedman. Mais le cas des trois-variétés s'est avéré être le plus difficile de tous. Grosso modo, c'est parce que dans la manipulation topologique d'une trois-variété, il y a trop peu de dimensions pour déplacer les « régions problématiques » sans interférer avec autre chose. La contribution la plus fondamentale au cas tridimensionnel avait été produite par Richard S. Hamilton. Le rôle de Perelman était de compléter le programme de Hamilton.
Preuve de Perelman
En novembre 2002, Perelman a posté le premier de trois préimpressions sur arXiv, dans lequel il prétendait avoir esquissé une preuve de la conjecture de géométrisation, dont la conjecture de Poincaré est un cas particulier. Ceci a été suivi par les deux autres préimpressions en 2003.
Perelman a modifié le programme de Richard S. Hamilton pour une preuve de la conjecture. L'idée centrale est la notion du flot de Ricci. L'idée fondamentale de Hamilton est de formuler un « processus dynamique » dans lequel une trois-variété donnée est déformée géométriquement, le processus de déformation étant régi par une équation différentielle analogue à l'équation de la chaleur. L'équation de la chaleur, qui avait bien plus tôt motivé Riemann à énoncer son hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction zêta, décrit le comportement de grandeurs scalaires telles que la température. Elle garantit que les concentrations de température élevée se propagent jusqu'à ce qu'une température uniforme soit réalisée dans un objet. De manière similaire, le flot de Ricci décrit le comportement d'une grandeur tensoriellement, le tenseur de courbure de Ricci. L'espoir de Hamilton était qu'en vertu du flot de Ricci, les concentrations de grande courbure se propagent jusqu'à ce qu'une courbure uniforme soit réalisée sur l'ensemble de la trois-variété. Si c'était le cas, si l'on commençait avec n'importe quelle trois-variété et si l'on laissait le flot de Ricci se produire, alors on devrait, en principe, finalement obtenir une sorte de « forme normale ». Selon William Thurston, cette forme normale doit prendre l'une des quelques possibilités, chacune ayant un type de géométrie différent, appelée géométries modèles de Thurston.
Cependant, il était largement prévu que le processus serait entravé par le développement de « singularités ». Dans les années 1990, Hamilton a fait des progrès dans la compréhension des types possibles de singularités qui peuvent survenir, mais n'a pas pu fournir une description exhaustive. Les articles de Perelman esquissaient une solution. Selon Perelman, chaque singularité ressemble soit à un cylindre s'effondrant sur son axe, soit à une sphère s'effondrant vers son centre. Avec cette compréhension, il a pu construire une modification du flot de Ricci standard, appelée flot de Ricci avec chirurgie, qui peut systématiquement exciser les régions singulières au fur et à mesure qu'elles se développent, de manière contrôlée. L'idée du flot de Ricci avec chirurgie avait été présente depuis un article de 1993 de Hamilton, qui l'avait exécuté avec succès en 1997 dans le contexte d'espaces de dimension supérieure soumis à certaines conditions géométriques restreintes. La procédure de chirurgie de Perelman était largement similaire à celle de Hamilton mais était frappamment différente dans ses aspects techniques.
Perelman a montré que toute singularité qui se développe en un temps fini est essentiellement un « pincement » le long de certaines sphères correspondant à la décomposition première de la 3-variété. De plus, toute singularité « du temps infini » résulte de certains effondrements de la décomposition JSJ. Le travail de Perelman prouve cette affirmation et prouve donc la conjecture de géométrisation.
Le contenu des trois articles est résumé ci-dessous :
- La première préimpression, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, fournit de nombreuses techniques novatrices dans l'étude du flot de Ricci, dont le résultat principal est un théorème donnant une caractérisation quantitative des régions de haute courbure du flot.
- La deuxième préimpression, Ricci flow with surgery on three-manifolds, a corrigé quelques déclarations incorrectes du premier article et remplit certains détails, et utilise le résultat principal du premier article pour prescrire la procédure de chirurgie. La deuxième moitié de l'article est consacrée à une analyse des flots de Ricci qui existent pour le temps infini.
- La troisième préimpression, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, fournit un raccourci à la preuve de la conjecture de Poincaré qui évite les arguments de la deuxième moitié de la deuxième préimpression. Elle montre que sur tout espace satisfaisant les hypothèses de la conjecture de Poincaré, le flot de Ricci avec chirurgie existe seulement pour un temps fini, de sorte que l'analyse du temps infini du flot de Ricci est sans pertinence.
Tobias Colding et William Minicozzi II ont fourni un argument complètement alternatif à la troisième préimpression de Perelman. Leur argument, étant donné le préalable de certains arguments sophistiqués de la théorie de la mesure géométrique développés dans les années 1980, est particulièrement simple.
Vérification
Les préimpressions de Perelman ont rapidement attiré l'attention de la communauté mathématique, bien qu'elles aient été largement considérées comme difficiles à comprendre car elles avaient été écrites quelque peu succinctement. Contrairement au style habituel des publications mathématiques académiques, de nombreux détails techniques avaient été omis. Il est rapidement devenu apparent que Perelman avait apporté des contributions majeures aux fondements du flot de Ricci, bien qu'il ne soit pas immédiatement apparu clairement à la communauté mathématique que ces contributions suffisaient à prouver la conjecture de géométrisation ou la conjecture de Poincaré.
En avril 2003, Perelman a visité le Massachusetts Institute of Technology, l'Université de Princeton, la Stony Brook University, l'Université de Columbia et la New York University pour donner une courte série de conférences sur ses travaux et clarifier certains détails pour les experts dans les domaines pertinents.
En juin 2003, Bruce Kleiner et John Lott, tous deux alors de l'Université du Michigan, ont posté des notes sur le site Web de Lott qui, section par section, remplissaient de nombreux détails de la première préimpression de Perelman. En septembre 2004, leurs notes ont été mises à jour pour inclure la deuxième préimpression de Perelman. Suite à d'autres révisions et corrections, ils ont publié une version sur arXiv le 25 mai 2006, une version modifiée de laquelle a été publiée dans la revue académique Geometry & Topology en 2008. Au Congrès international des mathématiciens de 2006, Lott a déclaré « Il nous a fallu du temps pour examiner le travail de Perelman. Ceci est en partie dû à l'originalité du travail de Perelman et en partie à la sophistication technique de ses arguments. Toutes les indications sont que ses arguments sont corrects. » Dans l'introduction de leur article, Kleiner et Lott ont expliqué
Les preuves de Perelman sont concises et, parfois, esquissées. Le but de ces notes est de fournir les détails qui manquent dans [les deux premières préimpressions de Perelman]... Concernant les preuves, [les articles de Perelman] contiennent certaines déclarations incorrectes et des arguments incomplets, que nous avons tenté de signaler au lecteur. (Certaines des erreurs dans [le premier article de Perelman] ont été corrigées dans [le deuxième article de Perelman].) Nous n'avons trouvé aucun problème sérieux, c'est-à-dire des problèmes qui ne peuvent pas être corrigés en utilisant les méthodes introduites par Perelman.
En juin 2006, l'Asian Journal of Mathematics a publié
