Una pequeña reflexión nos mostrará que toda creencia, incluso la más simple y fundamental, va más allá de la experiencia cuando se considera como guía para nuestras acciones.
William Kingdon Clifford fue un matemático y filósofo inglés. Construyendo sobre el trabajo de Hermann Grassmann, introdujo lo que ahora se conoce como álgebra geométrica, un caso especial del álgebra de Clifford nombrada en su honor. Las operaciones del álgebra geométrica tienen el efecto de reflejar, rotar, trasladar y mapear los objetos geométricos que se están modelando a nuevas posiciones. Las álgebras de Clifford en general y el álgebra geométrica en particular han tenido una importancia cada vez mayor para la física matemática, la geometría y la computación. Clifford fue el primero en sugerir que la gravitación podría ser una manifestación de una geometría subyacente. En sus escritos filosóficos acuñó la expresión materia-mental.
Biografía
Nacido en Exeter, William Clifford mostró gran promesa en la escuela. Continuó en King's College London a los 15 años y en Trinity College, Cambridge, donde fue elegido fellow en 1868, después de ser segundo en 1867 y segundo premiado con el premio Smith. Ser segundo fue un destino que compartió con otros que se convirtieron en científicos famosos, incluyendo William Thomson Lord Kelvin y James Clerk Maxwell. En 1870, fue parte de una expedición a Italia para observar el eclipse solar del 22 de diciembre de 1870. Durante ese viaje sobrevivió a un naufragio en la costa de Sicilia.
En 1871, fue nombrado profesor de matemáticas y mecánica en University College London, y en 1874 se convirtió en fellow de la Royal Society. También fue miembro de la London Mathematical Society y de la Metaphysical Society.
El 7 de abril de 1875, Clifford se casó con Lucy Lane, con quien tuvo dos hijos. A Clifford le gustaba entretener a los niños y escribió una colección de cuentos de hadas, The Little People.
Muerte y legado
En 1876, Clifford sufrió un colapso, probablemente causado por el exceso de trabajo. Enseñaba y administraba durante el día, y escribía durante la noche. Un descanso de medio año en Argelia y España le permitió reanudar sus deberes durante 18 meses, después de lo cual colapsó nuevamente. Fue a la isla de Madeira para recuperarse, pero murió allí de tuberculosis después de algunos meses, dejando una viuda con dos hijos.
Clifford y su esposa están enterrados en el Highgate Cemetery de Londres, cerca de las tumbas de George Eliot y Herbert Spencer, justo al norte de la tumba de Karl Marx.
La revista académica Advances in Applied Clifford Algebras publica sobre el legado de Clifford en cinemática y álgebra abstracta.
Matemáticas
El descubrimiento de la geometría no euclidiana abrió nuevas posibilidades en la geometría en la era de Clifford. El campo de la geometría diferencial intrínseca nació, con el concepto de curvatura ampliamente aplicado al espacio mismo así como a líneas y superficies curvas. Clifford quedó muy impresionado por el ensayo de 1854 de Bernhard Riemann "On the hypotheses which lie at the bases of geometry". En 1870, informó a la Cambridge Philosophical Society sobre los conceptos de espacio curvo de Riemann, e incluyó especulación sobre la curvatura del espacio por la gravedad. La traducción de Clifford del artículo de Riemann fue publicada en Nature en 1873. Su informe en Cambridge, "On the Space-Theory of Matter", fue publicado en 1876, anticipando la relatividad general de Albert Einstein en 40 años. Clifford elaboró la geometría del espacio elíptico como un espacio métrico no euclidiano. Las curvas equidistantes en el espacio elíptico ahora se dice que son paralelas de Clifford.
Clifford era ante todo y antes que nada un geómetra.
Los contemporáneos de Clifford lo consideraban agudo y original, ingenioso y cálido. A menudo trabajaba hasta altas horas de la noche, lo que puede haber acelerado su muerte. Publicó artículos sobre una variedad de temas incluyendo formas algebraicas y geometría proyectiva y el libro de texto Elements of Dynamic. Su aplicación de la teoría de grafos a la teoría de invariantes fue continuada por William Spottiswoode y Alfred Kempe.
Álgebras
En 1878, Clifford publicó una obra seminal, construyendo sobre el extenso álgebra de Grassmann. Había logrado unificar los cuaterniones, desarrollados por William Rowan Hamilton, con el producto exterior de Grassmann, también conocido como el producto exterior. Entendía la naturaleza geométrica de la creación de Grassmann, y que los cuaterniones se ajustaban perfectamente en el álgebra que Grassmann había desarrollado. Los versores en los cuaterniones facilitan la representación de rotación. Clifford sentó las bases para un producto geométrico, compuesto por la suma del producto interno y el producto exterior de Grassmann. El producto geométrico fue eventualmente formalizado por el matemático húngaro Marcel Riesz. El producto interno equipa el álgebra geométrica con una métrica, incorporando completamente las relaciones de distancia y ángulo para líneas, planos y volúmenes, mientras que el producto exterior le da a esos planos y volúmenes propiedades similares a vectores, incluyendo un sesgo direccional.
Combinar los dos llevó la operación de división al juego. Esto expandió enormemente nuestra comprensión cualitativa de cómo los objetos interactúan en el espacio. Crucialmente, también proporcionó los medios para calcular cuantitativamente las consecuencias espaciales de esas interacciones. El álgebra geométrica resultante, como la llamó, finalmente realizó el objetivo buscado durante mucho tiempo de crear un álgebra que refleje los movimientos y proyecciones de objetos en el espacio tridimensional.
Además, el esquema algebraico de Clifford se extiende a dimensiones superiores. Las operaciones algebraicas tienen la misma forma simbólica que en 2 o 3 dimensiones. La importancia de las álgebras generales de Clifford ha crecido con el tiempo, mientras que sus clases de isomorfismo —como álgebras reales— han sido identificadas en otros sistemas matemáticos más allá de simplemente los cuaterniones.
Los ámbitos del análisis real y el análisis complejo han sido expandidos a través del álgebra H de los cuaterniones, gracias a su noción de una esfera tridimensional incrustada en un espacio tetradimensional. Los versores de cuaterniones, que habitan esta 3-esfera, proporcionan una representación del grupo de rotación SO3. Clifford observó que los bicuaterniones de Hamilton eran un producto tensorial H ⊗ C formas de cuaterniones duales. El álgebra de cuaterniones duales se utiliza para expresar desplazamiento de tornillo, un mapeo común en cinemática.
Filosofía
Como filósofo, el nombre de Clifford se asocia principalmente con dos frases de su acuñación, materia-mental y el yo tribal. La primera simboliza su concepción metafísica, sugerida por su lectura de Baruch Spinoza, que Clifford en 1878 definió de la siguiente manera:
Ese elemento del cual, como hemos visto, incluso el sentimiento más simple es un complejo, lo llamaré Materia-mental. Una molécula en movimiento de materia inorgánica no posee mente o conciencia; pero posee un pequeño pedazo de materia-mental. Cuando las moléculas se combinan de tal manera que forman la película en la parte inferior de una medusa, los elementos de materia-mental que van con ellas se combinan de tal manera que forman los débiles comienzos de la Sensibilidad. Cuando las moléculas se combinan de tal manera que forman el cerebro y el sistema nervioso de un vertebrado, los elementos correspondientes de materia-mental se combinan de tal manera que forman algún tipo de conciencia; es decir, los cambios en el complejo que ocurren al mismo tiempo se vinculan tanto que la repetición de uno implica la repetición del otro. Cuando la materia toma la forma compleja de un cerebro humano viviente, la materia-mental correspondiente toma la forma de una conciencia humana, teniendo inteligencia y volición.
Con respecto al concepto de Clifford, Sir Frederick Pollock escribió:
En breve, la concepción es que la mente es la única realidad última; no la mente como la conocemos en las formas complejas del sentimiento y el pensamiento conscientes, sino los elementos más simples a partir de los cuales se construyen el pensamiento y el sentimiento. El elemento último hipotético de la mente, o átomo de materia-mental, corresponde precisamente al átomo hipotético de materia, siendo el hecho último del cual el átomo material es el fenómeno. La materia y el universo sensible son las relaciones entre organismos particulares, es decir, la mente organizada en conciencia, y el resto del mundo. Esto conduce a resultados que en un sentido laxo y popular serían llamados materialistas. Pero la teoría, como una teoría metafísica, debe ser contada del lado idealista. Para hablar técnicamente, es un monismo idealista.
El yo tribal, por otro lado, da la clave a la visión ética de Clifford, que explica la conciencia y la ley moral por el desarrollo en cada individuo de un 'yo', que prescribe la conducta conducente al bienestar de la 'tribu'. Gran parte de la prominencia contemporánea de Clifford se debía a su actitud hacia la religión. Animado por un amor intenso por su concepción de la verdad y la dedicación al deber público, hizo guerra contra los sistemas eclesiásticos que le parecían favorecer el oscurantismo, y que ponían las reclamaciones de la secta por encima de las de la sociedad humana. La alarma fue mayor, ya que la teología aún no estaba reconciliada con el darwinismo; y Clifford era considerado un campeón peligroso de las tendencias anti-espirituales que entonces se imputaban a la ciencia moderna. También ha habido debate sobre el grado en que la doctrina de Clifford de 'concomitancia' o 'paralelismo psicofísico' influyó en el modelo del sistema nervioso de John Hughlings Jackson y, a través de él, en el trabajo de Janet, Freud, Ribot y Ey.
Ética
En su ensayo de 1877, "The Ethics of Belief", Clifford argumenta que es inmoral creer cosas para las que uno carece de evidencia. Describe un propietario de un barco que planeaba enviar al mar un barco viejo y no bien construido lleno de pasajeros. El propietario del barco tenía dudas que se le sugirieron de que el barco podría no ser navegable: "Estas dudas lo torturaban, y lo hacían infeliz." Consideró hacer reparar el barco aunque sería costoso. Al final, "logró superar estas reflexiones melancólicas." Vio partir al barco, "con el corazón ligero... y recibió su dinero de seguros cuando se hundió en alta mar y no dejó rastro."
Clifford argumenta que el propietario del barco era culpable de las muertes de los pasajeros aunque sinceramente creía que el barco era sólido: "no tenía derecho a creer basándose en la evidencia que tenía ante él." Además, sostiene que incluso en el caso en que el barco llega con éxito al destino, la decisión sigue siendo inmoral, porque la moralidad de la elección se define para siempre una vez que se toma la elección, y el resultado real, definido por el azar ciego, no importa. El propietario del barco no sería menos culpable: su delito nunca sería descubierto, pero aún así no tenía derecho a tomar esa decisión dada la información disponible para él en ese momento.
Clifford concluye famosamente: "es incorrecto siempre, en todas partes, y para cualquiera, creer cualquier cosa sobre evidencia insuficiente."
Como tal, está argumentando en dirección opuesta a los pensadores religiosos para quienes la 'fe ciega', es decir, la creencia en cosas a pesar de la falta de evidencia para ellas, era una virtud. Este artículo fue famosamente atacado por el filósofo pragmatista William James en su conferencia "Will to Believe". A menudo, estos dos trabajos se leen y publican juntos como piedras de toque para el debate sobre el evidentismo, la fe y la creencia excesiva.
Premonición de la relatividad
Aunque Clifford nunca construyó una teoría completa del espacio-tiempo y la relatividad, hizo algunas observaciones notables que imprimió que presagiaban estos conceptos modernos: En su libro Elements of Dynamic 1878, introdujo "movimiento cuasi-armónico en una hipérbola". Escribió una expresión para una hipérbola unitaria parametrizada, que otros autores más tarde usaron como modelo para la velocidad relativista. En otros lugares afirma:
Este pasaje hace referencia a bicuaterniones, aunque Clifford los convirtió en bicuaterniones divididos como su desarrollo independiente. El libro continúa con un capítulo "On the bending of space", la sustancia de la relatividad general. Clifford también discutió sus opiniones en On the Space-Theory of Matter en 1876.
En 1910, William Barrett Frankland citó la Space-Theory of Matter en su libro sobre paralelismo: "La audacia de esta especulación es seguramente sin igual en la historia del pensamiento. Hasta el presente, sin embargo, presenta la apariencia de un vuelo de Ícaro." Años más tarde, después de que la relatividad general había sido avanzada por Albert Einstein, varios autores señalaron que Clifford había anticipado a Einstein. Hermann Weyl en 1923, por ejemplo, mencionó a Clifford como uno de aquellos que, como Bernhard Riemann, anticipó las ideas geométricas de la relatividad.
En 1940, Eric Temple Bell publicó The Development of Mathematics, en el cual discute la previsión de Clifford sobre la relatividad:
Aún más audaz que Riemann, Clifford confesó su creencia (1870) de que la materia es solo una manifestación de curvatura en una variedad de espacio-tiempo. Esta adivinanza embrionaria ha sido aclamada como una anticipación de la teoría relativista del campo gravitacional de Einstein (1915-16). La teoría actual, sin embargo, tiene apenas ligero parecido con el credo bastante detallado de Clifford. Como regla, aquellos profetas matemáticos que nunca descienden a particulares obtienen las puntuaciones más altas. Casi cualquiera puede golpear el costado de un granero a treinta y cinco metros de distancia con una carga de perdigones.
John Archibald Wheeler, durante el Congreso Internacional para Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia CLMPS en Stanford en 1960, presentó su formulación de geometrodinámica de la relatividad general acreditando a Clifford como el iniciador.
En The Natural Philosophy of Time 1961, Gerald James Whitrow reca
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