Gottlob Frege

Todo buen matemático es al menos medio filósofo, y todo buen filósofo es al menos medio matemático.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege fue un filósofo, lógico y matemático alemán. Trabajó como profesor de matemáticas en la Universidad de Jena, y es entendido por muchos como el padre de la filosofía analítica, concentrándose en la filosofía del lenguaje, la lógica y las matemáticas. Aunque fue en gran medida ignorado durante su vida, Giuseppe Peano 1858–1932, Bertrand Russell 1872–1970, y, en cierta medida, Ludwig Wittgenstein 1889–1951 presentaron su obra a generaciones posteriores de filósofos.

Sus contribuciones incluyen el desarrollo de la lógica moderna en la Begriffsschrift y trabajo en los fundamentos de las matemáticas. Su libro Los fundamentos de la aritmética es el texto fundamental del proyecto logicista, y es citado por Michael Dummett como el lugar donde se debe ubicar el giro lingüístico. Sus trabajos filosóficos "Sobre el sentido y la referencia" y "El pensamiento" también son ampliamente citados. El primero argumenta a favor de dos tipos diferentes de significado y descriptivismo. En Fundamentos y "El pensamiento", Frege argumenta a favor del platonismo contra el psicologismo o el formalismo, respecto a los números y las proposiciones respectivamente. La paradoja de Russell socavó el proyecto logicista al demostrar que la Ley Básica V de Frege en los Fundamentos era falsa.

Vida

Infancia 1848–69

Frege nació en 1848 en Wismar, Mecklenburg-Schwerin, hoy parte de Mecklenburg-Vorpommern. Su padre Carl Karl Alexander Frege 1809–1866 fue cofundador y director de una escuela secundaria para niñas hasta su muerte. Después de la muerte de Carl, la escuela fue dirigida por la madre de Frege Auguste Wilhelmine Sophie Frege de soltera Bialloblotzky, 12 de enero de 1815 – 14 de octubre de 1898; su madre fue Auguste Amalia Maria Ballhorn, descendiente de Philipp Melanchthon y su padre fue Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, descendiente de una familia noble polaca que dejó Polonia en el siglo XVII.

En la infancia, Frege se encontró con filosofías que guiarían su futura carrera científica. Por ejemplo, su padre escribió un libro de texto sobre el idioma alemán para niños de 9 a 13 años, titulado Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren 2ª ed., Wismar 1850; 3ª ed., Wismar y Ludwigslust: Hinstorff, 1862 Libro de ayuda para enseñar alemán a niños de 9 a 13 años, cuya primera sección trataba sobre la estructura y la lógica del lenguaje.

Frege estudió en Große Stadtschule Wismar y se graduó en 1869. Su profesor Gustav Adolf Leo Sachse 5 de noviembre de 1843 – 1 de septiembre de 1909, quien fue poeta, jugó el papel más importante en la determinación de la futura carrera científica de Frege, alentándolo a continuar sus estudios en la Universidad de Jena.

Estudios en la Universidad 1869–74

Frege se matriculó en la Universidad de Jena en la primavera de 1869 como ciudadano de la Confederación Alemana del Norte. En los cuatro semestres de sus estudios asistió a aproximadamente veinte cursos de conferencias, la mayoría de ellos sobre matemáticas y física. Su profesor más importante fue Ernst Karl Abbe 1840–1905; físico, matemático e inventor. Abbe impartió conferencias sobre teoría de la gravedad, galvanismo y electrodinámica, análisis complejo teoría de funciones de una variable compleja, aplicaciones de la física, divisiones seleccionadas de la mecánica y mecánica de sólidos. Abbe fue más que un profesor para Frege: fue un amigo de confianza y, como director del fabricante óptico Carl Zeiss AG, estaba en posición de avanzar en la carrera de Frege. Después de la graduación de Frege, entraron en una correspondencia más cercana.

Sus otros profesores universitarios notables fueron Christian Philipp Karl Snell 1806–86; asignaturas: uso del análisis infinitesimal en geometría, geometría analítica de planos, mecánica analítica, óptica, fundamentos físicos de la mecánica; Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900; geometría analítica, física aplicada, análisis algebraico, sobre el telégrafo y otras máquinas electrónicas; y el filósofo Kuno Fischer 1824–1907; filosofía kantiana y crítica.

A partir de 1871, Frege continuó sus estudios en Göttingen, la universidad líder en matemáticas en territorios de habla alemana, donde asistió a las conferencias de Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72; geometría analítica, Ernst Christian Julius Schering 1824–97; teoría de funciones, Wilhelm Eduard Weber 1804–91; estudios físicos, física aplicada, Eduard Riecke 1845–1915; teoría de la electricidad, y Hermann Lotze 1817–81; filosofía de la religión. Muchas de las doctrinas filosóficas del Frege maduro tienen paralelismos en Lotze; ha sido objeto de debate académico si hubo o no una influencia directa en las opiniones de Frege derivada de su asistencia a las conferencias de Lotze.

En 1873, Frege obtuvo su doctorado bajo Ernst Christian Julius Schering, con una disertación titulada "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" "Sobre una representación geométrica de formas imaginarias en un plano", en la cual pretendía resolver problemas fundamentales en geometría como la interpretación matemática de los puntos imaginarios infinitamente distantes de la geometría proyectiva.

Frege se casó con Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 15 de febrero de 1856 – 25 de junio de 1904 el 14 de marzo de 1887.

Trabajo como lógico

Aunque su educación y trabajo matemático temprano se centró principalmente en la geometría, el trabajo de Frege pronto se giró hacia la lógica. Su Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens , Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 marcó un punto de inflexión en la historia de la lógica. La Begriffsschrift rompió terreno nuevo, incluyendo un tratamiento riguroso de las ideas de funciones y variables. El objetivo de Frege era mostrar que las matemáticas surgen de la lógica, y al hacerlo, ideó técnicas que lo llevaron mucho más allá del silogismo aristotélico y la lógica proposicional estoica que le habían llegado en la tradición lógica.

En efecto, Frege inventó la lógica de predicados axiomática, en gran medida gracias a su invención de variables cuantificadas, que eventualmente se volvieron ubicuas en matemáticas y lógica, y que resolvieron el problema de la generalidad múltiple. La lógica anterior había tratado con las constantes lógicas y, o, si... entonces..., no, y algunos y todos, pero las iteraciones de estas operaciones, especialmente "algunos" y "todos", eran poco comprendidas: incluso la distinción entre una oración como "cada niño ama a alguna niña" y "alguna niña es amada por cada niño" podría representarse solo de manera muy artificial, mientras que el formalismo de Frege no tuvo dificultad en expresar las diferentes lecturas de "cada niño ama a alguna niña que ama a algún niño que ama a alguna niña" y oraciones similares, en completo paralelismo con su tratamiento de, digamos, "cada niño es tonto".

Un ejemplo frecuentemente citado es que la lógica de Aristóteles no puede representar afirmaciones matemáticas como el teorema de Euclides, una afirmación fundamental de la teoría de números de que hay un número infinito de números primos. La "notación conceptual" de Frege, sin embargo, puede representar tales inferencias. El análisis de conceptos lógicos y la maquinaria de formalización que es esencial para Principia Mathematica 3 vols., 1910–13, de Bertrand Russell, 1872–1970, y Alfred North Whitehead, 1861–1947, para la teoría de las descripciones de Russell, para los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel 1906–78, y para la teoría de la verdad de Alfred Tarski 1901–83, es en última instancia debido a Frege.

Uno de los propósitos declarados de Frege era aislar los principios genuinamente lógicos de la inferencia, de modo que en la representación adecuada de una prueba matemática, nunca apelaría a la "intuición". Si había un elemento intuitivo, debía aislarse y representarse por separado como un axioma: a partir de entonces, la prueba debía ser puramente lógica y sin lagunas. Habiendo exhibido esta posibilidad, el propósito más amplio de Frege era defender la opinión de que la aritmética es una rama de la lógica, una opinión conocida como logicismo: a diferencia de la geometría, la aritmética debía demostrarse que no tenía base en la "intuición", y ninguna necesidad de axiomas no lógicos. Ya en la Begriffsschrift de 1879 se derivaron teoremas preliminares importantes, por ejemplo, una forma generalizada de la ley de tricotomía, dentro de lo que Frege entendía como lógica pura.

Esta idea fue formulada en términos no simbólicos en su Los fundamentos de la aritmética Die Grundlagen der Arithmetik, 1884. Más tarde, en sus Leyes básicas de la aritmética Grundgesetze der Arithmetik, vol. 1, 1893; vol. 2, 1903; vol. 2 fue publicado a sus propias expensas, Frege intentó derivar, mediante el uso de su simbolismo, todas las leyes de la aritmética a partir de axiomas que afirmaba como lógicos. La mayoría de estos axiomas fueron trasladados de su Begriffsschrift, aunque no sin algunos cambios significativos. El único principio verdaderamente nuevo fue el que llamó Ley Básica V: el "rango de valores" de la función fx es el mismo que el "rango de valores" de la función gx si y solo si ∀x.

El caso crucial de la ley puede formularse en notación moderna de la siguiente manera. Sea {x|Fx} denote la extensión del predicado Fx, es decir, el conjunto de todas las Fs, y de manera similar para Gx. Entonces la Ley Básica V dice que los predicados Fx y Gx tienen la misma extensión si y solo si ∀x. El conjunto de Fs es el mismo que el conjunto de Gs solo en caso de que cada F sea una G y cada G sea una F. El caso es especial porque lo que aquí se llama la extensión de un predicado, o un conjunto, es solo un tipo de "rango de valores" de una función.

En un episodio famoso, Bertrand Russell escribió a Frege, justo cuando el Vol. 2 de las Grundgesetze estaba a punto de ir a la imprenta en 1903, mostrando que la paradoja de Russell podría derivarse de la Ley Básica V de Frege. Es fácil definir la relación de pertenencia de un conjunto o extensión en el sistema de Frege; Russell luego llamó la atención sobre "el conjunto de cosas x tales que x no es miembro de x". El sistema de las Grundgesetze implica que el conjunto así caracterizado tanto es como no es miembro de sí mismo, y por lo tanto es inconsistente. Frege escribió un Apéndice apresurado de último momento al Vol. 2, derivando la contradicción y proponiendo eliminarlo modificando la Ley Básica V. Frege abrió el Apéndice con el comentario excepcionalmente honesto: "Apenas algo más desafortunado puede sucederle a un escritor científico que tener uno de los fundamentos de su edificio sacudido después de que el trabajo está terminado. Esta fue la posición en la que fui colocado por una carta del Sr. Bertrand Russell, justo cuando la impresión de este volumen se acercaba a su conclusión." Esta carta y la respuesta de Frege se traducen en Jean van Heijenoort 1967.

El remedio propuesto por Frege fue posteriormente demostrado que implica que hay solo un objeto en el universo del discurso, y por lo tanto no vale nada, de hecho, esto crearía una contradicción en el sistema de Frege si hubiera axiomatizado la idea, fundamental para su discusión, de que Lo verdadero y lo falso son objetos distintos; véase, por ejemplo, Dummett 1973, pero trabajos recientes han mostrado que gran parte del programa de las Grundgesetze podría ser salvado de otras formas:

• La Ley Básica V puede debilitarse de otras formas. La forma más conocida se debe al filósofo y lógico matemático George Boolos 1940–1996, quien fue experto en la obra de Frege. Un "concepto" F es "pequeño" si los objetos que caen bajo F no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el universo del discurso, es decir, a menos que: ∃R[R es 1-a-1 & ∀x∃yxRy & Fy]. Ahora debilita V a V*: un "concepto" F y un "concepto" G tienen la misma "extensión" si y solo si ni F ni G es pequeño o ∀xFx ↔ Gx. V* es consistente si la aritmética de segundo orden es, y es suficiente para probar los axiomas de la aritmética de segundo orden.
• La Ley Básica V puede simplemente ser reemplazada por el principio de Hume, que dice que el número de Fs es el mismo que el número de Gs si y solo si las Fs pueden ponerse en correspondencia uno a uno con las Gs. Este principio también es consistente si la aritmética de segundo orden es, y es suficiente para probar los axiomas de la aritmética de segundo orden. Este resultado se denomina teorema de Frege porque se notó que al desarrollar la aritmética, el uso de la Ley Básica V de Frege se limita a una prueba del principio de Hume; es a partir de esto, a su vez, que se derivan los principios aritméticos. Sobre el principio de Hume y el teorema de Frege, véase "Lógica de Frege, Teorema y Fundamentos para la Aritmética".
• La lógica de Frege, ahora conocida como lógica de segundo orden, puede debilitarse a la llamada lógica de segundo orden predicativa. La lógica de segundo orden predicativa más la Ley Básica V es demostrablemente consistente por métodos finitistas o constructivos, pero solo puede interpretar fragmentos muy débiles de la aritmética.

El trabajo de Frege en lógica tuvo poca atención internacional hasta 1903 cuando Russell escribió un apéndice a Los principios de las matemáticas indicando sus diferencias con Frege. La notación diagramática que usaba Frege no tenía antecedentes y no ha tenido imitadores desde entonces. Además, hasta que Principia Mathematica de Russell y Whitehead 3 vols. apareció en 1910–13, el enfoque dominante de la lógica matemática seguía siendo el de George Boole 1815–64 y sus descendientes intelectuales, especialmente Ernst Schröder 1841–1902. Las ideas lógicas de Frege, sin embargo, se difundieron a través de los escritos de su estudiante Rudolf Carnap 1891–1970 y otros admiradores, particularmente Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein 1889–1951.

Filósofo

Frege es uno de los fundadores de la filosofía analítica, cuyo trabajo sobre lógica y lenguaje dio origen al giro lingüístico en la filosofía. Sus contribuciones a la filosofía del lenguaje incluyen:

• Análisis de función y argumento de la proposición;
• Distinción entre concepto y objeto Begriff und Gegensta