Si la prueba es correcta, entonces no se necesita ningún otro reconocimiento
Grigori Yakovlevich Perelman es un matemático ruso conocido por sus contribuciones en los campos del análisis geométrico, la geometría de Riemann y la topología geométrica.
En la década de 1990, en parte en colaboración con Yuri Burago, Mikhael Gromov y Anton Petrunin, realizó contribuciones influyentes al estudio de los espacios de Alexandrov. En 1994, probó la conjetura del alma en geometría de Riemann, que había sido un problema abierto durante los 20 años anteriores. En 2002 y 2003, desarrolló nuevas técnicas en el análisis del flujo de Ricci, proporcionando así un esquema detallado de una prueba de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización de Thurston, siendo la primera un famoso problema abierto en matemáticas durante el siglo anterior. Los detalles completos del trabajo de Perelman fueron completados y explicados por varios autores en los años siguientes.
En agosto de 2006, se le ofreció a Perelman la Medalla Fields por "sus contribuciones a la geometría y sus perspectivas revolucionarias sobre la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci", pero rechazó el premio, afirmando: "No me interesa el dinero ni la fama; no quiero estar en exhibición como un animal en un zoológico". El 22 de diciembre de 2006, la revista científica Science reconoció la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré como el "Avance del Año" científico, el primer reconocimiento de este tipo en el área de las matemáticas.
El 18 de marzo de 2010, se anunció que había cumplido los criterios para recibir el primer Premio del Milenio de Clay por la resolución de la conjetura de Poincaré. El 1 de julio de 2010, rechazó el premio de un millón de dólares, afirmando que consideraba injusta la decisión de la junta del Instituto Clay, en el sentido de que su contribución a la resolución de la conjetura de Poincaré no fue mayor que la de Richard S. Hamilton, el matemático que pionero el flujo de Ricci en parte con el objetivo de atacar la conjetura. Previamente había rechazado el prestigioso premio de la Sociedad Matemática Europea en 1996.
Primeros años y educación
Grigori Yakovlevich Perelman nació en Leningrado, Unión Soviética, ahora Saint Petersburg, Rusia, el 13 de junio de 1966, de padres ruso-judíos Yakov, que ahora vive en Israel, y Lyubov, que aún vive en Saint Petersburg con Grigori. La madre de Grigori, Lyubov, abandonó su trabajo de posgrado en matemáticas para criarlo. El talento matemático de Grigori se hizo evidente a los diez años, y su madre lo inscribió en el programa de entrenamiento matemático extraescolar de Sergei Rukshin.
Su educación matemática continuó en la Escuela Secundaria de Leningrado #239, una escuela especializada con programas avanzados de matemáticas y física. Grigori se destacó en todas las materias excepto en educación física. En 1982, como miembro del equipo de la Unión Soviética que compitió en la Olimpiada Internacional de Matemáticas, una competencia internacional para estudiantes de secundaria, ganó una medalla de oro, logrando una puntuación perfecta. Continuó como estudiante de la Escuela de Matemáticas y Mecánica de la Universidad Estatal de Leningrado, sin exámenes de admisión e inscrito en la universidad.
Después de completar su doctorado en 1990, Perelman comenzó a trabajar en el Departamento de Leningrado del Instituto Steklov de Matemáticas de la Academia de Ciencias de la URSS, donde sus asesores fueron Aleksandr Aleksandrov y Yuri Burago. A finales de los años 80 y principios de los 90, con una fuerte recomendación del geómetra Mikhail Gromov, Perelman obtuvo puestos de investigación en varias universidades en los Estados Unidos. En 1991, Perelman ganó el Premio del Joven Matemático de la Sociedad Matemática de Saint Petersburg por su trabajo en espacios de Aleksandrov de curvatura acotada por debajo. En 1992, fue invitado a pasar un semestre cada uno en el Instituto Courant de la Universidad de Nueva York y la Universidad de Stony Brook, donde comenzó a trabajar en variedades con límites inferiores en la curvatura de Ricci. A partir de ahí, aceptó una beca de investigación de dos años de Miller en la Universidad de California, Berkeley en 1993. Después de probar la conjetura del alma en 1994, se le ofrecieron trabajos en varias universidades principales en los EE.UU., incluyendo Princeton y Stanford, pero rechazó todos ellos y regresó al Instituto Steklov en Saint Petersburg en el verano de 1995 para una posición de solo investigación.
Investigación en los años 90
El trabajo más notable de Perelman en este período fue en el campo de los espacios de Alexandrov, concepto que se remonta a los años 50. En un artículo bien conocido de 1992 coautor de Yuri Burago y Mikhail Gromov, Perelman estableció los fundamentos modernos de este campo, con la noción de convergencia de Gromov-Hausdorff como principio organizador. En 1993, Perelman desarrolló una noción de teoría de Morse en estos espacios no suaves. Por su trabajo en espacios de Alexandrov, Perelman fue invitado a disertar en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1994.
La conjetura del alma de Cheeger y Gromoll, formulada en 1972, dice:
Supongamos que (M, g) es una variedad de Riemann completa, conexa y no compacta con curvatura seccional K ≥ 0, y existe un punto en M donde la curvatura seccional (en todas las direcciones seccionales) es estrictamente positiva. Entonces el alma de M es un punto; equivalentemente M es difeomorfo a Rn.
Esto fue de interés ya que Cheeger y Gromoll habían establecido el resultado bajo la suposición más fuerte de que todas las curvaturas seccionales son positivas. Como la deformación de curvatura no negativa a positiva no se entiende bien, se propuso la conjetura del alma. En 1994, Perelman dio una prueba breve y elegante de la conjetura estableciendo que en el caso general K ≥ 0, la retracción de Sharafutdinov P : M → S es una sumersión.
Tres artículos notables de Perelman de 1994 a 1997 tratan sobre la construcción de varias variedades de Riemann interesantes con curvatura de Ricci positiva.
Conjeturas de geometrización y Poincaré
El problema
La conjetura de Poincaré, propuesta por el matemático francés Henri Poincaré en 1904, fue uno de los problemas clave en topología. Cualquier bucle en una 3-esfera —como se ejemplifica por el conjunto de puntos a una distancia de 1 del origen en el espacio euclidiano cuadridimensional— puede contraerse hasta un punto. La conjetura de Poincaré afirma que cualquier variedad tridimensional cerrada, tal que cualquier bucle pueda contraerse a un punto, es topológicamente una 3-esfera. El resultado análogo se sabe que es verdadero en dimensiones mayores o iguales a cinco desde 1960 como en el trabajo de Stephen Smale. El caso cuadridimensional resistió más tiempo, siendo finalmente resuelto en 1982 por Michael Freedman. Pero el caso de las tres variedades resultó ser el más difícil de todos. Hablando en términos generales, esto se debe a que al manipular topológicamente una tres variedad hay muy pocas dimensiones para mover "regiones problemáticas" fuera del camino sin interferir con algo más. La contribución más fundamental al caso tridimensional fue producida por Richard S. Hamilton. El papel de Perelman fue completar el programa de Hamilton.
La prueba de Perelman
En noviembre de 2002, Perelman publicó el primero de tres preprints en arXiv, en el que afirmaba haber esbozado una prueba de la conjetura de geometrización, de la cual la conjetura de Poincaré es un caso particular. Esto fue seguido por los otros dos preprints en 2003.
Perelman modificó el programa de Richard S. Hamilton para una prueba de la conjetura. La idea central es la noción del flujo de Ricci. La idea fundamental de Hamilton es formular un "proceso dinámico" en el cual una tres variedad dada se distorsiona geométricamente, siendo el proceso de distorsión gobernado por una ecuación diferencial análoga a la ecuación del calor. La ecuación del calor que mucho antes motivó a Riemann a enunciar su hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta describe el comportamiento de cantidades escalares como la temperatura. Asegura que las concentraciones de temperatura elevada se dispersarán hasta lograr una temperatura uniforme en todo un objeto. De manera similar, el flujo de Ricci describe el comportamiento de una cantidad tensorial, el tensor de curvatura de Ricci. La esperanza de Hamilton era que bajo el flujo de Ricci las concentraciones de gran curvatura se dispersaran hasta lograr una curvatura uniforme sobre toda la tres variedad. Si así fuera, si uno comienza con cualquier tres variedad y deja que ocurra el flujo de Ricci, entonces uno debería, en principio, eventualmente obtener una especie de "forma normal". Según William Thurston esta forma normal debe tomar una de un pequeño número de posibilidades, cada una teniendo un tipo diferente de geometría, llamadas geometrías de modelo de Thurston.
Sin embargo, era ampliamente esperado que el proceso sería impedido por el desarrollo de "singularidades". En los años 90, Hamilton hizo progreso en la comprensión de los posibles tipos de singularidades que podrían ocurrir, pero no pudo proporcionar una descripción completa. Los artículos de Perelman esbozaron una solución. Según Perelman, cada singularidad se parece o a un cilindro colapsando a su eje, o a una esfera colapsando a su centro. Con esta comprensión, fue capaz de construir una modificación del flujo de Ricci estándar, llamada flujo de Ricci con cirugía, que puede excisionar sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de manera controlada. La idea del flujo de Ricci con cirugía había estado presente desde un artículo de 1993 de Hamilton, quien la había llevado a cabo exitosamente en 1997 en el contexto de espacios de dimensiones superiores sujetos a ciertas condiciones geométricas restringidas. El procedimiento de cirugía de Perelman fue ampliamente similar al de Hamilton pero fue notablemente diferente en sus aspectos técnicos.
Perelman mostró que cualquier singularidad que se desarrolla en un tiempo finito es esencialmente un "pinzamiento" a lo largo de ciertas esferas correspondientes a la descomposición prima de la 3-variedad. Además, cualquier singularidad de "tiempo infinito" resulta de ciertos colapsos de piezas de la descomposición de JSJ. El trabajo de Perelman prueba esta afirmación y por lo tanto prueba la conjetura de geometrización.
El contenido de los tres artículos se resume a continuación:
- El primer preprint, La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas, proporciona muchas técnicas novedosas en el estudio del flujo de Ricci, siendo el resultado principal un teorema que da una caracterización cuantitativa de regiones de alta curvatura del flujo.
- El segundo preprint, Flujo de Ricci con cirugía en tres variedades, corrigió algunas afirmaciones incorrectas del primer artículo y completa algunos detalles, y utiliza el resultado principal del primer artículo para prescribir el procedimiento de cirugía. La segunda mitad del artículo se dedica a un análisis de flujos de Ricci que existen para tiempo infinito.
- El tercer preprint, Tiempo de extinción finito para las soluciones del flujo de Ricci en ciertas tres variedades, proporciona un atajo a la prueba de la conjetura de Poincaré que evita los argumentos en la segunda mitad del segundo preprint. Muestra que en cualquier espacio que satisfaga los supuestos de la conjetura de Poincaré, el flujo de Ricci con cirugía existe solo por tiempo finito, de modo que el análisis de tiempo infinito del flujo de Ricci es irrelevante.
Tobias Colding y William Minicozzi II han proporcionado un argumento completamente alternativo al tercer preprint de Perelman. Su argumento, dado el requisito previo de algunos argumentos sofisticados de teoría de medida geométrica tal como se desarrollaron en los años 80, es particularmente simple.
Verificación
Los preprints de Perelman rápidamente ganaron la atención de la comunidad matemática, aunque fueron ampliamente vistos como difíciles de entender ya que habían sido escritos de manera bastante concisa. Contra el estilo usual en publicaciones académicas matemáticas, muchos detalles técnicos habían sido omitidos. Pronto fue aparente que Perelman había hecho contribuciones mayores a los fundamentos del flujo de Ricci, aunque no fue inmediatamente claro para la comunidad matemática que estas contribuciones fueran suficientes para probar la conjetura de geometrización o la conjetura de Poincaré.
En abril de 2003, Perelman visitó el Instituto Tecnológico de Massachusetts, la Universidad de Princeton, la Universidad de Stony Brook, la Universidad de Columbia y la Universidad de Nueva York para dar series cortas de conferencias sobre su trabajo, y para aclarar algunos detalles para expertos en los campos relevantes.
En junio de 2003, Bruce Kleiner y John Lott, ambos entonces de la Universidad de Michigan, publicaron notas en el sitio web de Lott que, sección por sección, rellenaron muchos de los detalles en el primer preprint de Perelman. En septiembre de 2004, sus notas se actualizaron para incluir el segundo preprint de Perelman. Tras varias revisiones y correcciones adicionales, publicaron una versión en arXiv el 25 de mayo de 2006, una versión modificada de la cual fue publicada en la revista académica Geometry & Topology en 2008. En el Congreso Internacional de Matemáticos de 2006, Lott dijo "Nos ha tomado algún tiempo examinar el trabajo de Perelman. Esto se debe en parte a la originalidad del trabajo de Perelman y en parte a la sofisticación técnica de sus argumentos. Todas las indicaciones son que sus argumentos son correctos". En la introducción a su artículo, Kleiner y Lott explicaron
Las pruebas de Perelman son concisas y, a veces, esquemáticas. El propósito de estas notas es proporcionar los detalles que faltan en [los dos primeros preprints de Perelman]... Respecto a las pruebas, [los artículos de Perelman] contienen algunas afirmaciones incorrectas y argumentos incompletos, que hemos intentado señalar al lector. (Algunos de los errores en [el primer artículo de Perelman] fueron corregidos en [el segundo artículo de Perelman]). No encontramos ningún problema serio, es decir, problemas que no puedan ser corregidos utilizando los métodos introducidos por Perelman.
En junio de 2006, la Revista Matemática Asiática publicó
