Debemos saber. Sabremos.
David Hilbert fue un matemático alemán y uno de los matemáticos más influyentes y universales de los siglos XIX e inicios del XX. Hilbert descubrió y desarrolló un amplio rango de ideas fundamentales en muchas áreas, incluyendo teoría de invariantes, el cálculo de variaciones, álgebra conmutativa, teoría algebraica de números, los fundamentos de la geometría, teoría espectral de operadores y su aplicación a ecuaciones integrales, física matemática, y fundamentos de las matemáticas particularmente teoría de la prueba.
Hilbert adoptó y defendió calurosamente la teoría de conjuntos de Georg Cantor y los números transfinitos. Un ejemplo famoso de su liderazgo en matemáticas es su presentación en 1900 de una colección de problemas que estableció el curso para gran parte de la investigación matemática del siglo XX.
Hilbert y sus estudiantes contribuyeron significativamente a establecer el rigor y desarrollaron herramientas importantes utilizadas en la física matemática moderna. Hilbert es conocido como uno de los fundadores de la teoría de la prueba y la lógica matemática.
Vida
Primeros años y educación
Hilbert, el primero de dos hijos e hijo único de Otto y Maria Therese Erdtmann Hilbert, nació en la Provincia de Prusia, Reino de Prusia, ya sea en Königsberg según la declaración del propio Hilbert o en Wehlau conocida desde 1946 como Znamensk cerca de Königsberg donde su padre trabajaba en el momento de su nacimiento.
A finales de 1872, Hilbert ingresó al Friedrichskolleg Gymnasium Collegium fridericianum, la misma escuela que Immanuel Kant había asistido 140 años antes; pero, después de un período desafortunado, se trasladó a finales de 1879 y se graduó a inicios de 1880 del Wilhelm Gymnasium más orientado a las ciencias. Al graduarse, en otoño de 1880, Hilbert se inscribió en la Universidad de Königsberg, la "Albertina". A inicios de 1882, Hermann Minkowski dos años menor que Hilbert y también nativo de Königsberg pero que había ido a Berlín durante tres semestres, regresó a Königsberg e ingresó a la universidad. Hilbert desarrolló una amistad de por vida con el tímido y talentoso Minkowski.
Carrera
En 1884, Adolf Hurwitz llegó de Göttingen como Extraordinarius es decir, profesor asociado. Un intenso e fructífero intercambio científico entre los tres comenzó, y Minkowski e Hilbert especialmente ejercerían una influencia recíproca el uno sobre el otro en varios momentos de sus carreras científicas. Hilbert obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita bajo Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen "Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones armónicas esféricas".
Hilbert se mantuvo en la Universidad de Königsberg como Privatdozent profesor superior de 1886 a 1895. En 1895, como resultado de la intervención en su favor por Felix Klein, obtuvo la posición de Profesor de Matemáticas en la Universidad de Göttingen. Durante los años de Klein e Hilbert, Göttingen se convirtió en la institución preeminente en el mundo matemático. Se mantuvo allí por el resto de su vida.
Escuela de Göttingen
Entre los estudiantes de Hilbert estaban Hermann Weyl, el campeón de ajedrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel. John von Neumann fue su asistente. En la Universidad de Göttingen, Hilbert estuvo rodeado por un círculo social de algunos de los matemáticos más importantes del siglo XX, como Emmy Noether y Alonzo Church.
Entre sus 69 estudiantes de doctorado en Göttingen había muchos que después se convirtieron en matemáticos famosos, incluyendo con fecha de tesis: Otto Blumenthal 1898, Felix Bernstein 1901, Hermann Weyl 1908, Richard Courant 1910, Erich Hecke 1910, Hugo Steinhaus 1911 y Wilhelm Ackermann 1925. Entre 1902 y 1939 Hilbert fue editor de la Mathematische Annalen, la revista matemática más importante de la época.
"Bien, él no tenía suficiente imaginación para convertirse en matemático". — Respuesta de Hilbert al enterarse de que uno de sus estudiantes había abandonado los estudios para dedicarse a la poesía.
Últimos años
Alrededor de 1925, Hilbert desarrolló anemia perniciosa, una deficiencia de vitaminas entonces incurable cuyo síntoma principal es el agotamiento; su asistente Eugene Wigner lo describió como sujeto a "fatiga enorme" y cómo "parecía bastante viejo", y que incluso después de ser eventualmente diagnosticado y tratado, "apenas fue un científico después de 1925, y ciertamente no un Hilbert".
Hilbert vivió para ver a los nazis purgar muchos de los destacados miembros de la facultad en la Universidad de Göttingen en 1933. Los expulsados incluyeron a Hermann Weyl quien había asumido la cátedra de Hilbert cuando se retiró en 1930, Emmy Noether y Edmund Landau. Uno que tuvo que abandonar Alemania, Paul Bernays, había colaborado con Hilbert en lógica matemática, y coautorizó con él el importante libro Grundlagen der Mathematik que eventualmente apareció en dos volúmenes, en 1934 y 1939. Este fue una secuela del libro Hilbert–Ackermann Principles of Mathematical Logic de 1928. El sucesor de Hermann Weyl fue Helmut Hasse.
Aproximadamente un año después, Hilbert asistió a un banquete y fue sentado al lado del nuevo Ministro de Educación, Bernhard Rust. Rust preguntó si "el Instituto Matemático realmente sufrió tanto por la partida de los judíos". Hilbert respondió, "¿Sufrió? ¡Ni siquiera existe ya, verdad!"
Muerte
Para cuando Hilbert murió en 1943, los nazis habían restituido casi completamente la universidad, ya que muchos de los antiguos profesores habían sido judíos o estaban casados con judíos. El funeral de Hilbert fue asistido por menos de una docena de personas, solo dos de las cuales eran académicos colegas, entre ellos Arnold Sommerfeld, un físico teórico y también nativo de Königsberg. La noticia de su muerte solo se conoció en el mundo más amplio seis meses después de que murió.
La inscripción en su lápida en Göttingen consiste en las famosas líneas que pronunció al final de su discurso de retiro a la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes el 8 de septiembre de 1930. Las palabras fueron dadas en respuesta a la máxima latina: "Ignoramus et ignorabimus" o "No sabemos, no sabremos":
En inglés:
Debemos saber.
Sabremos.
El día anterior a que Hilbert pronunciara estas frases en la reunión anual de 1930 de la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes, Kurt Gödel—en una discusión de mesa redonda durante la Conferencia sobre Epistemología celebrada conjuntamente con las reuniones de la Sociedad—tentativa anunció la primera expresión de su teorema de incompletitud. Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que incluso sistemas axiomáticos elementales como la aritmética de Peano son autocontradictorios o contienen proposiciones lógicas que son imposibles de probar o refutar.
Vida personal
En 1892, Hilbert se casó con Käthe Jerosch 1864–1945 de familia judía alemana, "la hija de un comerciante de Königsberg, una joven con opiniones propias e independencia de espíritu que igualaba la suya propia". Mientras estaban en Königsberg tuvieron su único hijo, Franz Hilbert 1893–1969.
El hijo Franz de Hilbert sufrió durante toda su vida de una enfermedad mental no diagnosticada. Su intelecto inferior fue una terrible decepción para su padre y esta desgracia fue un asunto de angustia para los matemáticos y estudiantes en Göttingen.
Hilbert consideraba al matemático Hermann Minkowski como su "mejor y más verdadero amigo".
Hilbert fue bautizado y criado como calvinista en la Iglesia Evangélica Prusiana. Posteriormente dejó la Iglesia y se convirtió en agnóstico. También argumentó que la verdad matemática era independiente de la existencia de Dios u otras suposiciones a priori. Cuando Galileo Galilei fue criticado por no defender sus convicciones sobre la teoría heliocéntrica, Hilbert objetó: "Pero no era un idiota. Solo un idiota podría creer que la verdad científica necesita martirio; eso puede ser necesario en la religión, pero los resultados científicos se prueban a sí mismos con el tiempo".
Hilbert resuelve el Problema de Gordan
El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes lo llevó a la demostración en 1888 de su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de generadores para formas binarias usando un enfoque computacional complejo. Los intentos de generalizar su método a funciones con más de dos variables fallaron debido a la enorme dificultad de los cálculos involucrados. Para resolver lo que se había conocido en algunos círculos como el Problema de Gordan, Hilbert se dio cuenta de que era necesario tomar un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el teorema de base de Hilbert, mostrando la existencia de un conjunto finito de generadores, para los invariantes de cuánticos en cualquier número de variables, pero en forma abstracta. Es decir, mientras demostraba la existencia de tal conjunto, no era una prueba constructiva — no mostraba "un objeto" — sino que era una prueba de existencia y se basaba en el uso de la ley del tercio excluido en una extensión infinita.
Hilbert envió sus resultados a la Mathematische Annalen. Gordan, el experto de la casa en la teoría de invariantes para la Mathematische Annalen, no podía apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque era insuficientemente exhaustiva. Su comentario fue:
Esto no es Matemáticas. Esto es Teología
Klein, por el contrario, reconoció la importancia del trabajo, y garantizó que se publicaría sin alteraciones. Alentado por Klein, Hilbert extendió su método en un segundo artículo, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen. Después de haber leído el manuscrito, Klein le escribió, diciendo:
Sin duda este es el trabajo más importante sobre álgebra general que los Annalen ha publicado jamás.
Posteriormente, después de que la utilidad del método de Hilbert fue universalmente reconocida, el propio Gordan diría:
Me he convencido de que incluso la teología tiene sus méritos.
A pesar de todos sus éxitos, la naturaleza de su prueba creó más problemas de lo que Hilbert podría haber imaginado. Aunque Kronecker había cedido, Hilbert respondería más tarde a críticas similares de otros que "muchas construcciones diferentes se subsumen bajo una idea fundamental" — en otras palabras, para citar a Reid: "A través de una prueba de existencia, Hilbert había podido obtener una construcción"; "la prueba" es decir los símbolos en la página era "el objeto". No todos fueron convencidos. Mientras Kronecker moriría poco después, su filosofía constructivista continuaría con el joven Brouwer y su desarrollada "escuela" intuicionista, muy para tormento de Hilbert en sus años posteriores. De hecho, Hilbert perdería su "estudiante dotado" Weyl al intuicionismo — "Hilbert fue perturbado por la fascinación de su antiguo estudiante con las ideas de Brouwer, que despertó en Hilbert el recuerdo de Kronecker". Brouwer el intuicionista en particular se opuso al uso de la Ley del Tercio Excluido sobre conjuntos infinitos como Hilbert la había usado. Hilbert respondió:
Axiomatización de la geometría
El texto Grundlagen der Geometrie tr.: Fundamentos de la Geometría publicado por Hilbert en 1899 propone un conjunto formal, llamado axiomas de Hilbert, sustituyendo los axiomas tradicionales de Euclides. Evitan debilidades identificadas en los de Euclides, cuyas obras en esa época todavía se usaban de manera de libro de texto. Es difícil especificar los axiomas utilizados por Hilbert sin hacer referencia al historial de publicación de los Grundlagen ya que Hilbert los cambió y modificó varias veces. La monografía original fue rápidamente seguida por una traducción al francés, en la cual Hilbert añadió V.2, el Axioma de Completitud. Una traducción al inglés, autorizada por Hilbert, fue hecha por E.J. Townsend y protegida con derechos de autor en 1902. Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción francesa y por lo tanto se considera una traducción de la 2ª edición. Hilbert continuó haciendo cambios en el texto y varias ediciones aparecieron en alemán. La 7ª edición fue la última en aparecer durante la vida de Hilbert. Nuevas ediciones siguieron la 7ª, pero el texto principal esencialmente no fue revisado.
El enfoque de Hilbert señaló el cambio hacia el método axiomático moderno. En esto, Hilbert fue anticipado por el trabajo de Moritz Pasch de 1882. Los axiomas no se toman como verdades evidentes por sí mismas. La geometría puede tratar cosas, sobre las cuales tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar ningún significado explícito a los conceptos indefinidos. Los elementos, tales como punto, línea, plano y otros, podrían ser sustituidos, como se dice que Hilbert dijo a Schoenflies y Kötter, por mesas, sillas, vasos de cerveza y otros objetos similares. Son sus relaciones definidas las que se discuten.
Hilbert primero enumera los conceptos indefinidos: punto, línea, plano, estar sobre una relación entre puntos y líneas, puntos y planos, y líneas y planos, interposición, congruencia de pares de puntos segmentos de línea y congruencia de ángulos. Los axiomas unifican tanto la geometría plana como la geometría sólida de Euclides
