كل عالم رياضيات جيد هو فيلسوف على الأقل نصفه، وكل فيلسوف جيد هو عالم رياضيات على الأقل نصفه.
Friedrich Ludwig Gottlob Frege كان فيلسوفاً وعالم منطق وعالم رياضيات ألمانياً. عمل أستاذاً للرياضيات في جامعة Jena، ويعتبره الكثيرون مؤسس الفلسفة التحليلية، حيث ركز على فلسفة اللغة والمنطق والرياضيات. على الرغم من أنه تم تجاهله إلى حد كبير خلال حياته، قام Giuseppe Peano 1858–1932، وBertrand Russell 1872–1970، وإلى حد ما Ludwig Wittgenstein 1889–1951 بتقديم أعماله للأجيال اللاحقة من الفلاسفة.
تشمل مساهماته تطوير المنطق الحديث في Begriffsschrift والعمل في أسس الرياضيات. كتابه أسس الحسابات هو النص الأساسي للمشروع المنطقي، ويشير إليه Michael Dummett كموضع البداية للمنعطف اللغوي. تستشهد أيضاً على نطاق واسع أوراقه الفلسفية "حول المعنى والإشارة" و"الفكرة". الأولى تدافع عن نوعين مختلفين من المعنى والوصفية. في أسس الحسابات و"الفكرة"، يدافع Frege عن الأفلاطونية ضد السيكولوجية أو الشكلية، فيما يتعلق بالأرقام والقضايا على التوالي. أضعفت مفارقة Russell المشروع المنطقي بإظهار أن القانون الأساسي الخامس لـ Frege في أسس الحسابات كاذب.
الحياة
الطفولة 1848–69
وُلد Frege في عام 1848 في Wismar، Mecklenburg-Schwerin وهي اليوم جزء من Mecklenburg-Vorpommern. كان والده Carl Karl Alexander Frege 1809–1866 مؤسساً مشاركاً وناظراً لمدرسة ثانوية للفتيات حتى وفاته. بعد وفاة Carl، تم قيادة المدرسة من قبل والدة Frege Auguste Wilhelmine Sophie Frege née Bialloblotzky، 12 يناير 1815 – 14 أكتوبر 1898؛ كانت والدتها Auguste Amalia Maria Ballhorn، وهي حفيدة Philipp Melanchthon وكان والدها Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky، حفيد عائلة نبيلة بولندية غادرت بولندا في القرن السابع عشر.
في الطفولة، التقى Frege بفلسفات ستوجه مسيرته العلمية المستقبلية. على سبيل المثال، كتب والده كتاباً مدرسياً عن اللغة الألمانية للأطفال في سن 9–13، بعنوان Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren الطبعة الثانية، Wismar 1850؛ الطبعة الثالثة، Wismar و Ludwigslust: Hinstorff, 1862 كتاب المساعدة لتدريس اللغة الألمانية للأطفال من 9 إلى 13 سنة، تناول القسم الأول منه بنية المنطق واللغة.
درس Frege في Große Stadtschule Wismar وتخرج في عام 1869. لعب معلمه Gustav Adolf Leo Sachse 5 نوفمبر 1843 – 1 سبتمبر 1909، الذي كان شاعراً، الدور الأهم في تحديد مسيرته العلمية المستقبلية، حيث شجعه على متابعة دراساته في جامعة Jena.
الدراسة في الجامعة 1869–74
التحق Frege بجامعة Jena في ربيع عام 1869 كمواطن من الاتحاد الألماني الشمالي. في الفصول الأربعة من دراسته، حضر حوالي عشرين محاضرة، معظمها عن الرياضيات والفيزياء. كان أهم معلم له Ernst Karl Abbe 1840–1905؛ فيزيائي وعالم رياضيات ومخترع. ألقى Abbe محاضرات عن نظرية الجاذبية والغلفانية والديناميكا الكهربائية وتحليل دالات متغير معقد وتطبيقات الفيزياء والأقسام المختارة من الميكانيكا وميكانيكا المواد الصلبة. كان Abbe أكثر من مجرد معلم لـ Frege: كان صديقاً موثوقاً، وكمدير الشركة المصنعة البصرية Carl Zeiss AG، كان في وضع يسمح بتقدم مسيرة Frege. بعد تخرج Frege، دخلا في مراسلة أوثق.
كان معلموه الجامعيون الآخرون ملحوظين Christian Philipp Karl Snell 1806–86؛ الموضوعات: استخدام التحليل اللامتناهي في الصغر في الهندسة والهندسة التحليلية للمستويات والميكانيكا التحليلية والبصريات والأسس الفيزيائية للميكانيكا؛ Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900؛ الهندسة التحليلية والفيزياء التطبيقية والتحليل الجبري والبرقيات والآلات الإلكترونية الأخرى؛ والفيلسوف Kuno Fischer 1824–1907؛ الفلسفة الكانتية والفلسفة النقدية.
بدءاً من عام 1871، تابع Frege دراسته في Göttingen، الجامعة الرائدة في الرياضيات في الأراضي الناطقة بالألمانية، حيث حضر محاضرات Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72؛ الهندسة التحليلية وErnst Christian Julius Schering 1824–97؛ نظرية الدوال وWilhelm Eduard Weber 1804–91؛ الدراسات الفيزيائية والفيزياء التطبيقية وEduard Riecke 1845–1915؛ نظرية الكهربية وHermann Lotze 1817–81؛ فلسفة الدين. العديد من المذاهب الفلسفية للـ Frege الناضج لها نظائر في Lotze؛ كان موضوع نقاش أكاديمي ما إذا كان هناك تأثير مباشر على آراء Frege ناشئ عن حضوره محاضرات Lotze.
في عام 1873، حصل Frege على درجة الدكتوراه تحت إشراف Ernst Christian Julius Schering، برسالة دكتوراه بعنوان "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" "حول التمثيل الهندسي للأشكال الخيالية في المستوى"، حيث هدف إلى حل مشاكل أساسية في الهندسة مثل التفسير الرياضي للنقاط الخيالية البعيدة بلا نهاية في الهندسة الإسقاطية.
تزوج Frege من Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 15 فبراير 1856 – 25 يونيو 1904 في 14 مارس 1887.
العمل كعالم منطق
على الرغم من أن تعليمه وعمله الرياضي المبكر ركز في المقام الأول على الهندسة، تحول عمل Frege قريباً نحو المنطق. كان Begriffsschrift، eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens، Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 نقطة تحول في تاريخ المنطق. كسرت Begriffsschrift أرضاً جديدة، بما في ذلك معالجة صارمة لأفكار الدوال والمتغيرات. كان هدف Frege إظهار أن الرياضيات تنبثق من المنطق، وفي القيام بذلك، ابتكر تقنيات أخذته بعيداً جداً عن المنطق القياسي الأرسطي والمنطق الإلزامي الرواقي اللذين نزلا إليه في التقليد المنطقي.
في الواقع، اخترع Frege منطق التسور المسند البديهي، وذلك بفضل اختراعه للمتغيرات المحددة الكمية، والتي أصبحت في النهاية منتشرة في الرياضيات والمنطق، والتي حلت مشكلة التعميم المتعدد. كان المنطق السابق يتعامل مع الثوابت المنطقية و، أو، إذا ... ثم ...، لا، والبعض والكل، لكن تكرارات هذه العمليات، خاصة "البعض" و"الكل"، كانت قليلة الفهم: حتى التمييز بين جملة مثل "كل ولد يحب بعض الفتيات" و"بعض الفتيات يحبها كل ولد" يمكن تمثيله فقط بشكل مصطنع جداً، بينما كان شكل Frege لا يواجه صعوبة في التعبير عن القراءات المختلفة لـ "كل ولد يحب بعض الفتيات التي تحب بعض الأولاد الذين يحبون بعض الفتيات" والجمل المشابهة، بالتوازي الكامل مع معالجته، على سبيل المثال، "كل ولد أحمق".
من الأمثلة التي يتم ملاحظتها بشكل متكرر أن منطق أرسطو غير قادر على تمثيل البيانات الرياضية مثل نظرية إقليدس، وهي بيان أساسي من نظرية الأعداد بأن هناك عدداً لانهائياً من الأعداد الأولية. يمكن لـ "الترميز المفاهيمي" لـ Frege، مع ذلك، تمثيل مثل هذه الاستدلالات. تحليل المفاهيم المنطقية وآلية الصياغة الضرورية لـ Principia Mathematica 3 مجلدات، 1910–13، بقلم Bertrand Russell، 1872–1970، وAlfred North Whitehead، 1861–1947، وحتى نظرية Russell للأوصاف ونظريات عدم اكتمال Kurt Gödel 1906–78، ونظرية الحقيقة لـ Alfred Tarski 1901–83، ترجع في النهاية إلى Frege.
كان أحد الأغراض المعلنة لـ Frege هو عزل مبادئ الاستدلال المنطقي الحقيقية، بحيث في التمثيل الصحيح للدليل الرياضي، لا يعتمد على "الحدس" في أي نقطة. إذا كان هناك عنصر بديهي، كان ينبغي عزله وتمثيله بشكل منفصل كبديهية: من هناك فصاعداً، كان الدليل ليكون منطقياً بحتاً وبدون فجوات. بعد إثبات هذا الاحتمال، كان الغرض الأكبر لـ Frege هو الدفاع عن وجهة النظر القائلة بأن الحسابات هي فرع من المنطق، وهي وجهة نظر معروفة باسم المنطقية: بخلاف الهندسة، كان يُظهر أن الحسابات ليس لها أساس في "الحدس"، وليس هناك حاجة لبديهيات غير منطقية. بالفعل في عام 1879 Begriffsschrift تم استخلاص نظريات أولية مهمة، على سبيل المثال، شكل معمم من قانون التثليث، ضمن ما فهمه Frege على أنه منطق نقي.
تمت صياغة هذه الفكرة بمصطلحات غير رمزية في كتابه أسس الحسابات Die Grundlagen der Arithmetik, 1884. في وقت لاحق، في القوانين الأساسية للحسابات Grundgesetze der Arithmetik، المجلد 1، 1893؛ المجلد 2، 1903؛ تم نشر المجلد 2 على نفقته الخاصة، حاول Frege استخلاص جميع قوانين الحسابات باستخدام رمزيته من البديهيات التي أكد عليها كمنطقية. تم نقل معظم هذه البديهيات من Begriffsschrift الخاص به، وإن لم يكن بدون بعض التغييرات المهمة. المبدأ الوحيد الجديد حقاً كان ما أطلق عليه القانون الأساسي الخامس: "نطاق القيمة" للدالة fx هو نفس "نطاق القيمة" للدالة gx إذا وفقط إذا ∀x.
يمكن صياغة الحالة الحاسمة للقانون في الترميز الحديث على النحو التالي. دع {x|Fx} يشير إلى امتداد المسند Fx، أي مجموعة جميع F، وبالمثل بالنسبة لـ Gx. ثم ينص القانون الأساسي الخامس على أن المسندات Fx و Gx لها نفس الامتداد إذا وفقط إذا ∀x. مجموعة Fs هي نفس مجموعة Gs فقط في حالة كون كل F هو G وكل G هو F. الحالة خاصة لأن ما يُطلق عليه هنا امتداد المسند، أو مجموعة، هو نوع واحد فقط من "نطاق القيمة" للدالة.
في حلقة مشهورة، كتب Bertrand Russell إلى Frege، بينما كان المجلد 2 من Grundgesetze على وشك الذهاب إلى الصحافة في عام 1903، يظهر أنه يمكن اشتقاق مفارقة Russell من القانون الأساسي الخامس لـ Frege. من السهل تعريف علاقة العضوية من مجموعة أو امتداد في نظام Frege؛ لفت Russell الانتباه إلى "مجموعة الأشياء x بحيث أن x ليست عضواً في x". ينطوي نظام Grundgesetze على أن المجموعة الموصوفة بهذه الطريقة هي وليست عضواً في نفسها، وبالتالي فهي غير متسقة. كتب Frege ملحقاً متسرعاً وفي اللحظة الأخيرة للمجلد 2، واشتقاق التناقض واقترح القضاء عليه من خلال تعديل القانون الأساسي الخامس. فتح Frege الملحق بتعليق صادق بشكل استثنائي: "بالكاد يمكن لأي شيء أسوأ أن يحدث لكاتب علمي أكثر من أن يتم هز أحد أسس مبنى عمله بعد انتهاء العمل. كان هذا هو الوضع الذي وضعني فيه رسالة السيد Bertrand Russell، في الوقت الذي كان فيه طبع هذا المجلد يقترب من اكتماله." يتم ترجمة هذه الرسالة ورد Frege في Jean van Heijenoort 1967.
أُظهر أن العلاج الذي اقترحه Frege لاحقاً يعني أنه يوجد جسم واحد فقط في الكون الخطاب، وبالتالي فهو عديم الفائدة بالفعل، وهذا سيؤدي إلى تناقض في نظام Frege إذا كان قد بدهّن الفكرة، الأساسية لمناقشته، أن الصحيح والخطأ هما كائنات متمايزة؛ انظر، على سبيل المثال، Dummett 1973، لكن الأعمال الحديثة أظهرت أنه يمكن إنقاذ الكثير من برنامج Grundgesetze بطرق أخرى:
- يمكن إضعاف القانون الأساسي الخامس بطرق أخرى. الطريقة الأفضل معروفة بسبب الفيلسوف وعالم المنطق الرياضي George Boolos 1940–1996، الذي كان خبيراً في عمل Frege. "المفهوم" F هو "صغير" إذا لم يتمكن الأشياء التي تقع تحت F من وضعها في مراسلات واحد لواحد مع كون الخطاب، أي ما لم: ∃R[R is 1-to-1 & ∀x∃yxRy & Fy]. الآن أضعف V إلى V*: "المفهوم" F و"المفهوم" G لهما نفس "الامتداد" إذا وفقط إذا لم يكن F أو G صغيراً أو ∀xFx ↔ Gx. V* متسق إذا كان الحسابات من الدرجة الثانية، ويكفي لإثبات بديهيات الحسابات من الدرجة الثانية.
- يمكن استبدال القانون الأساسي الخامس ببساطة بمبدأ Hume، الذي ينص على أن عدد Fs هو نفس عدد Gs إذا وفقط إذا كان يمكن وضع Fs في مراس
