يجب أن نعرف. سوف نعرف.
David Hilbert كان عالم رياضيات ألماني وأحد أكثر العلماء تأثيراً وشمولاً في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين. اكتشف Hilbert وطور مجموعة واسعة من الأفكار الأساسية في العديد من المجالات، بما في ذلك نظرية الثوابت، حساب التباينات، الجبر التبديلي، نظرية الأعداد الجبرية، أسس الهندسة، نظرية الطيف للمؤثرات وتطبيقاتها على المعادلات التكاملية، الفيزياء الرياضية، وأسس الرياضيات خاصة نظرية الإثبات.
تبنى Hilbert نظرية المجموعات لـ Georg Cantor والأعداد المتعالية بحماس كبير ودافع عنها. من الأمثلة الشهيرة على قيادته في الرياضيات عرضه في عام 1900 لمجموعة من المسائل التي رسمت مسار الكثير من البحث الرياضي في القرن العشرين.
ساهم Hilbert وطلابه بشكل كبير في إرساء الدقة وطوروا أدوات مهمة تُستخدم في الفيزياء الرياضية الحديثة. يُعرف Hilbert بأنه أحد مؤسسي نظرية الإثبات والمنطق الرياضي.
الحياة
الحياة المبكرة والتعليم
Hilbert، الابن الأول والوحيد لـ Otto و Maria Therese Erdtmann Hilbert من بين طفلين، وُلد في مقاطعة بروسيا، مملكة بروسيا، إما في Königsberg بناءً على تصريح Hilbert نفسه أو في Wehlau المعروفة منذ 1946 باسم Znamensk بالقرب من Königsberg حيث كان والده يعمل في وقت ولادته.
في أواخر عام 1872، التحق Hilbert بـ Friedrichskolleg Gymnasium Collegium fridericianum، نفس المدرسة التي التحق بها Immanuel Kant قبل 140 سنة؛ لكن، بعد فترة غير سعيدة، انتقل في أواخر 1879 وتخرج في أوائل 1880 من مدرسة Wilhelm Gymnasium الموجهة بشكل أكبر نحو العلوم. عند التخرج، في خريف 1880، التحق Hilbert بجامعة Königsberg، "Albertina". في أوائل عام 1882، عاد Hermann Minkowski الأصغر سناً من Hilbert بسنتين والذي كان أيضاً من أصليي Königsberg لكنه ذهب إلى برلين لمدة ثلاثة فصول دراسية، إلى Königsberg والتحق بالجامعة. طور Hilbert صداقة مدى الحياة مع Minkowski الخجول والموهوب.
المسيرة المهنية
في عام 1884، وصل Adolf Hurwitz من Göttingen كأستاذ مساعد. بدأت عملية تبادل علمي مكثيف ومثمر بين الثلاثة، وكان Minkowski و Hilbert على وجه الخصوص يمارسان تأثيراً متبادلاً على بعضهما البعض في أوقات مختلفة من حياتهما العلمية. حصل Hilbert على الدكتوراه في عام 1885، برسالة كتبها تحت إشراف Ferdinand von Lindemann، بعنوان Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen "حول الخصائص الثابتة للأشكال الثنائية الخاصة، وبشكل خاص الدوال التوافقية الكروية".
بقي Hilbert في جامعة Königsberg محاضراً أول من 1886 إلى 1895. في عام 1895، نتيجة لتدخل Felix Klein لصالحه، حصل على منصب أستاذ الرياضيات في جامعة Göttingen. خلال سنوات Klein و Hilbert، أصبحت Göttingen المؤسسة الرائدة في العالم الرياضي. بقي هناك لبقية حياته.
مدرسة Göttingen
من بين طلاب Hilbert كانوا Hermann Weyl وبطل الشطرنج Emanuel Lasker و Ernst Zermelo و Carl Gustav Hempel. كان John von Neumann مساعده. في جامعة Göttingen، كان Hilbert محاطاً بدائرة اجتماعية من بعض أهم علماء الرياضيات في القرن العشرين، مثل Emmy Noether و Alonzo Church.
من بين 69 طالب دكتوراه له في Göttingen كان هناك الكثيرون الذين أصبحوا لاحقاً علماء رياضيات مشهورين، بما في ذلك تاريخ الرسالة: Otto Blumenthal 1898، Felix Bernstein 1901، Hermann Weyl 1908، Richard Courant 1910، Erich Hecke 1910، Hugo Steinhaus 1911، و Wilhelm Ackermann 1925. بين عامي 1902 و 1939 كان Hilbert محرر مجلة Mathematische Annalen، المجلة الرياضية الرائدة في ذلك الوقت.
"حسناً، لم يكن لديه خيال كافٍ ليصبح عالم رياضيات". — رد Hilbert عندما سمع أن أحد طلابه ترك الدراسة ليتابع دراسة الشعر.
السنوات الأخيرة
حول عام 1925، طور Hilbert فقر الدم الخبيث، نقص فيتامينات لم يكن قابلاً للعلاج في ذلك الوقت وأعراضه الأساسية هي الإرهاق؛ وصفه مساعده Eugene Wigner بأنه يعاني من "إرهاق هائل" وكيف "بدا قديماً جداً"، وأنه حتى بعد التشخيص والعلاج في النهاية، كان "بالكاد عالماً بعد عام 1925، وبالتأكيد ليس Hilbert".
عاش Hilbert ليرى النازيين يطردون العديد من أعضاء هيئة التدريس البارزين في جامعة Göttingen في عام 1933. كان من بين المطردين Hermann Weyl الذي تولى كرسي Hilbert عندما تقاعد في عام 1930، و Emmy Noether و Edmund Landau. واحد ممن اضطروا لمغادرة ألمانيا، Paul Bernays، تعاون مع Hilbert في المنطق الرياضي، وشارك معه في تأليف الكتاب المهم Grundlagen der Mathematik الذي ظهر في نهاية الأمر في مجلدين، في عامي 1934 و 1939. كان هذا استمراراً لكتاب Hilbert–Ackermann "مبادئ المنطق الرياضي" من عام 1928. كان خليفة Hermann Weyl هو Helmut Hasse.
بعد حوالي سنة، حضر Hilbert حفل عشاء وجلس بجانب وزير التعليم الجديد، Bernhard Rust. سأل Rust عما إذا كانت "المعهد الرياضي قد عاني كثيراً من رحيل اليهود". رد Hilbert، "عاني؟ إنه لا يوجد بعد الآن، أليس كذلك!"
الوفاة
بحلول الوقت الذي توفي فيه Hilbert في عام 1943، كان النازيون قد أعادوا تشكيل الجامعة بالكامل تقريباً، حيث كان عدد من أعضاء هيئة التدريس السابقين إما يهوداً أو متزوجين من يهود. حضر جنازة Hilbert أقل من عشرة أشخاص، كان اثنان منهم فقط من الأكاديميين الآخرين، من بينهم Arnold Sommerfeld، الفيزيائي النظري وأيضاً من أصليي Königsberg. لم يعرف العالم الأوسع بنبأ وفاته إلا بعد ستة أشهر من وفاته.
تتكون النقوش على شاهد قبره في Göttingen من الأسطر الشهيرة التي تفوه بها في ختام خطاب إحالته للتقاعد أمام جمعية العلماء والأطباء الألمان في 8 سبتمبر 1930. تم إعطاء الكلمات ردولاً على الحكمة اللاتينية: "Ignoramus et ignorabimus" أو "نحن لا نعرف، لن نعرف":
بالإنجليزية:
يجب أن نعرف.
سوف نعرف.
في اليوم السابق لـ Hilbert نطق بهذه العبارات في اجتماع عام 1930 لجمعية العلماء والأطباء الألمان، أعلن Kurt Gödel بشكل تجريبي في نقاش حول طاولة مستديرة خلال مؤتمر الإبستيمولوجيا الذي عُقد بالاشتراك مع اجتماعات الجمعية، التعبير الأول عن نظريته عن عدم الاكتمال. تُظهر نظريات عدم الاكتمال لـ Gödel أن حتى الأنظمة البديهية الأساسية مثل حسابيات Peano إما أن تكون متناقضة ذاتياً أو تحتوي على قضايا منطقية من المستحيل إثباتها أو دحضها.
الحياة الشخصية
في عام 1892، تزوج Hilbert من Käthe Jerosch 1864–1945 من عائلة يهودية ألمانية، "ابنة تاجر Königsberg، امرأة شابة صريحة بآرائها تتمتع باستقلالية ذهن تطابق استقلاليته". بينما كانوا في Königsberg أنجبا طفلهما الوحيد، Franz Hilbert 1893–1969.
عاني ابن Hilbert Franz طوال حياته من مرض عقلي لم يتم تشخيصه. كان عقله الضعيف خيبة أمل فظيعة لوالده وكان هذا الحظ العاثر مصدر قلق لعلماء الرياضيات والطلاب في Göttingen.
اعتبر Hilbert عالم الرياضيات Hermann Minkowski "أفضل وأصدق صديق" له.
تم تعميد Hilbert وتربيته على الكالفينية في الكنيسة الإنجيلية البروسية. تركها لاحقاً وأصبح ملحداً. كما جادل بأن الحقيقة الرياضية كانت مستقلة عن وجود الله أو الافتراضات الأخرى الأولية. عندما انتقد Galileo Galilei لعدم الدفاع عن معتقداته بشأن نظرية مركزية الشمس، اعترض Hilbert: "لكنه لم يكن أحمق. فقط أحمق يمكن أن يعتقد أن الحقيقة العلمية تحتاج إلى شهادة؛ قد يكون ذلك ضرورياً في الدين، لكن النتائج العلمية تثبت نفسها بنفسها في الوقت المناسب."
Hilbert يحل مشكلة Gordan
أدى عمل Hilbert الأول حول الدوال الثابتة إلى إثباته في عام 1888 نظريته الشهيرة عن النهائية. قبل عشرين سنة، كان Paul Gordan قد أثبت نظرية نهائية المولدات للأشكال الثنائية باستخدام نهج حسابي معقد. فشلت محاولات تعميم طريقته على الدوال ذات أكثر من متغيرين لأن الصعوبة الهائلة للحسابات المتضمنة. لحل ما أصبح معروفاً في بعض الأوساط باسم مشكلة Gordan، أدرك Hilbert أنه كان من الضروري اتخاذ مسار مختلف تماماً. نتيجة لذلك، أثبت نظرية Hilbert الأساسية، موضحاً وجود مجموعة محدودة من المولدات، لثوابت الكميات في أي عدد من المتغيرات، لكن في شكل مجرد. أي أنه بينما أثبت وجود مثل هذه المجموعة، لم تكن دليلاً بنائياً — لم تعرض "كائناً" — بل كانت دليل الوجود واعتمدت على استخدام قانون المنتصف المستبعد في تمديد لا نهائي.
أرسل Hilbert نتائجه إلى Mathematische Annalen. لم يتمكن Gordan، خبير المجلة في نظرية الثوابت في Mathematische Annalen، من تقدير الطبيعة الثورية لنظرية Hilbert ورفض المقالة، منتقداً العرض لأنه كان غير شامل بشكل كافٍ. كان تعليقه:
هذا ليس رياضيات. هذا لاهوت
من ناحية أخرى، اعترف Klein بأهمية العمل، وضمن أنه سيتم نشره بدون أي تعديلات. شجعه Klein، وسع Hilbert طريقته في مقالة ثانية، مع تقديم تقديرات حول الحد الأقصى لدرجة المجموعة الحد الأدنى من المولدات، وأرسلها مرة أخرى إلى Annalen. بعد قراءة المخطوطة، كتب Klein إليه قائلاً:
بلا شك هذا هو أهم عمل عن الجبر العام نشرته Annalen على الإطلاق.
لاحقاً، بعد أن تم الاعتراف عالمياً بفائدة طريقة Hilbert، كان Gordan نفسه سيقول:
لقد أقنعت نفسي بأن حتى اللاهوت له فضائله.
على الرغم من كل نجاحاته، أحدثت طبيعة إثباته متاعب أكثر مما يمكن أن يتخيله Hilbert. على الرغم من أن Kronecker قد تنازل، سيرد Hilbert لاحقاً على انتقادات مماثلة من آخرين بأن "العديد من الإنشاءات المختلفة يتم تضمينها تحت فكرة أساسية واحدة" — بعبارة أخرى كما تقول Reid: "من خلال إثبات الوجود، تمكن Hilbert من الحصول على إنشاء"؛ "الإثبات" أي الرموز على الصفحة كانت "الكائن". لم يكن الجميع مقتنعاً. بينما كان Kronecker سيموت قريباً جداً بعد ذلك، ستستمر فلسفته البنائية مع Brouwer الشاب ومدرسته "الحدسية" النامية، مما سبب معاناة كبيرة لـ Hilbert في سنواته الأخيرة. في الواقع، خسر Hilbert "طالبه الموهوب" Weyl للحدسية — "كان Hilbert منزعجاً من افتتان طالبه السابق بأفكار Brouwer، مما أثار في Hilbert ذكرى Kronecker". عارض Brouwer الحدسي بشكل خاص استخدام قانون المنتصف المستبعد على المجموعات اللانهائية كما استخدمه Hilbert. رد Hilbert:
إضفاء البديهية على الهندسة
يقترح النص Grundlagen der Geometrie tr.: Foundations of Geometry الذي نشره Hilbert في عام 1899 مجموعة رسمية، تسمى بديهيات Hilbert، تحل محل البديهيات التقليدية لـ Euclid. إنها تتجنب الضعف المحدد في تلك الخاصة بـ Euclid، التي كانت أعماله في ذلك الوقت لا تزال تُستخدم بطريقة الكتب المدرسية. من الصعب تحديد البديهيات التي استخدمها Hilbert دون الإشارة إلى تاريخ النشر لـ Grundlagen لأن Hilbert غيرها وعدلها عدة مرات. تبعت المونوجرافية الأصلية بسرعة ترجمة فرنسية، أضاف فيها Hilbert V.2، البديهية الكاملة. تمت ترجمة إنجليزية، من قبل Hilbert، بواسطة E.J. Townsend وتم نشرها برسم الملكية في عام 1902. دمجت هذه الترجمة التغييرات التي تمت في الترجمة الفرنسية وبالتالي تُعتبر ترجمة للطبع
