الجميع يعرفون ما هي المنحنى، إلى أن يدرس ما يكفي من الرياضيات ليصبح مرتبكًا من خلال العدد اللا نهائي من الاستثناءات الممكنة.
كريستيان فيليكس كلاين كان عالم رياضيات ألمانيًا ومربيًا في الرياضيات، اشتهر بعمله مع نظرية المجموعات والتحليل المعقد والهندسة غير الإقليدية وعلى الارتباطات بين الهندسة ونظرية المجموعات. برنامجه في Erlangen لعام 1872، الذي يصنف الأشكال الهندسية حسب مجموعات التماثل الأساسية لها، كان تركيبًا مؤثرًا لكثير من الرياضيات في ذلك الوقت.
الحياة
وُلد فيليكس كلاين في 25 أبريل 1849 في Düsseldorf، لوالدين بروسيين؛ والده، Caspar Klein 1809–1889، كان سكرتيرًا لمسؤول حكومي بروسي محطته في Rhine Province. والدة كلاين كانت Sophie Elise Klein 1819–1890، من عائلة Kayser. التحق بالـ Gymnasium في Düsseldorf، ثم درس الرياضيات والفيزياء في جامعة Bonn، 1865–1866، بقصد أن يصبح فيزيائيًا. في ذلك الوقت، كان Julius Plücker يشغل منصب أستاذ الرياضيات والفيزياء التجريبية في Bonn، لكن عندما أصبح كلاين مساعده، خلال 1866، كان اهتمام Plücker هو الهندسة. حصل كلاين على درجة الدكتوراه، تحت إشراف Plücker، من جامعة Bonn خلال 1868.
توفي Plücker خلال 1868، تاركًا كتابه المتعلق بأساس الهندسة الخطية غير مكتمل. كان كلاين الشخص الواضح لإكمال الجزء الثاني من Neue Geometrie des Raumes لـ Plücker، وبالتالي أصبح على معرفة بـ Alfred Clebsch، الذي انتقل إلى Göttingen خلال 1868. زار كلاين Clebsch في السنة التالية، إلى جانب زيارات إلى Berlin و Paris. خلال يوليو 1870، في بداية الحرب الفرنسية البروسية، كان في Paris واضطر إلى مغادرة البلد. قدم خدماته لفترة وجيزة كمسعف طبي في الجيش البروسي قبل تعيينه محاضرًا في Göttingen خلال أوائل 1871.
عيّنت Erlangen كلاين أستاذًا خلال 1872، عندما كان عمره 23 سنة فقط. لهذا، تم تأييده من قبل Clebsch، الذي اعتبره محتملاً أن يصبح أفضل عالم رياضيات في عصره. لم يرغب كلاين في مدرسة في Erlangen حيث كان هناك عدد قليل من الطلاب، وبالتالي كان سعيدًا بأن يُعرض عليه منصب أستاذ في Technische Hochschule ببدء 1875. هناك قام هو و Alexander von Brill بتدريس دورات متقدمة لعدد كبير من الطلاب الممتازين، بما في ذلك Adolf Hurwitz و Walther von Dyck و Karl Rohn و Carl Runge و Max Planck و Luigi Bianchi و Gregorio Ricci-Curbastro.
خلال 1875 تزوج كلاين من Anne Hegel، حفيدة الفيلسوف Georg Wilhelm Friedrich Hegel.
بعد خمس سنوات في Technische Hochschule، تم تعيين كلاين في كرسي الهندسة في Leipzig. هناك كان زملاؤه يشملون Walther von Dyck و Rohn و Eduard Study و Friedrich Engel. غيّرت سنوات كلاين في Leipzig، من 1880 إلى 1886، حياته بشكل أساسي. خلال 1882، انهارت صحته؛ خلال 1883–1884، كان يعاني من الاكتئاب. ومع ذلك، استمر بحثه؛ عمله الهام حول دوال hyperelliptic sigma يعود إلى حوالي هذه الفترة، وتم نشره خلال 1886 و 1888.
قبل كلاين منصب أستاذ في جامعة Göttingen خلال 1886. من ذلك الحين وحتى تقاعده عام 1913، سعى لإعادة تأسيس Göttingen كمركز الأبحاث الرياضية الرئيسي في العالم. ومع ذلك، لم يتمكن أبدًا من نقل أولويته الخاصة كمطور للهندسة من Leipzig إلى Göttingen. في Göttingen، قام بتدريس مجموعة متنوعة من الدورات، تتعلق بشكل أساسي بالواجهة بين الرياضيات والفيزياء، مثل الميكانيكا ونظرية الجهد.
خدمت مرفق البحث الذي أنشأه كلاين في Göttingen كنموذج لأفضل هذه المرافق في جميع أنحاء العالم. قدم اجتماعات نقاش أسبوعية، وأنشأ قاعة قراءة رياضية ومكتبة. خلال 1895، استقطب كلاين David Hilbert من جامعة Königsberg؛ أثبت هذا التعيين أنه مصيري، لأن Hilbert استمر في الحفاظ على سمعة Göttingen الجيدة حتى تقاعده خلال 1932.
بتحرير كلاين، أصبحت Mathematische Annalen واحدة من أفضل مجلات الرياضيات في العالم. تأسست بواسطة Clebsch، فقط بإدارة كلاين تنافست وتجاوزت Crelle's Journal الموجودة في جامعة Berlin. أسس كلاين فريقًا صغيرًا من المحررين اجتمعوا بانتظام، واتخذوا قرارات ديمقراطية. تخصصت المجلة في التحليل المعقد والهندسة الجبرية ونظرية المتغيرات على الأقل حتى أنهاها Hilbert. كما وفرت منفذًا مهمًا للتحليل الحقيقي ونظرية المجموعات الجديدة.
خلال 1893 في Chicago، كان كلاين متحدثًا رئيسيًا في المؤتمر الرياضي الدولي الذي أقيم كجزء من World's Columbian Exposition. ويرجع ذلك جزئيًا إلى جهود كلاين، بدأت Göttingen بقبول النساء خلال 1893. أشرف على أول أطروحة دكتوراه في الرياضيات كتبت في Göttingen من قبل امرأة؛ كانت Grace Chisholm Young، طالبة إنجليزية لـ Arthur Cayley، الذي أعجب به كلاين. خلال 1897 أصبح كلاين عضوًا أجنبيًا في Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences.
حوالي عام 1900، بدأ كلاين يصبح مهتمًا بالتعليم الرياضي في المدارس. خلال 1905، كان حاسمًا في صياغة خطة توصي بتدريس الهندسة التحليلية وأساسيات حساب التفاضل والتكامل ومفهوم الدالة في المدارس الثانوية. تم تطبيق هذه التوصية تدريجيًا في العديد من البلدان حول العالم. خلال 1908، تم انتخاب كلاين رئيسًا للجنة الدولية لتعليم الرياضيات في Rome International Congress of Mathematicians. تحت إشرافه، نشرت الجزء الألماني من اللجنة عدة مجلدات عن تدريس الرياضيات على جميع المستويات في ألمانيا.
منحت London Mathematical Society كلاين ميدالية De Morgan خلال 1893. تم انتخابه عضوًا في Royal Society خلال 1885، وحصل على ميدالية Copley لها خلال 1912. تقاعد في السنة التالية بسبب سوء الصحة، لكنه استمر في تدريس الرياضيات في منزله لبعض السنوات الإضافية.
كان كلاين واحدًا من 93 موقعًا على Manifesto of the Ninety-Three، وثيقة كتبت في دعم الغزو الألماني لـ Belgium في المراحل الأولى من الحرب العالمية الأولى.
كان لكلاين لقب Geheimrat.
توفي في Göttingen خلال 1925.
العمل
أطروحة كلاين، المتعلقة بالهندسة الخطية وتطبيقاتها على الميكانيكا، صنفت المعقدات الخطية من الدرجة الثانية باستخدام نظرية Weierstrass للمقسومات الابتدائية.
كانت الاكتشافات الرياضية المهمة الأولى لكلاين خلال 1870. بالتعاون مع Sophus Lie، اكتشف الخصائص الأساسية للخطوط المقاربة على سطح Kummer. قاما لاحقًا بالتحقيق في W-curves، منحنيات ثابتة تحت مجموعة من التحولات الإسقاطية. كان Lie هو من قدم كلاين إلى مفهوم المجموعة، والذي كان له دور أساسي في عمله لاحقًا. تعلم كلاين أيضًا عن المجموعات من Camille Jordan.
ابتكر كلاين "زجاجة Klein" المسماة على اسمه، سطح مغلق أحادي الجانب لا يمكن تضمينه في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، لكن يمكن غمره كأسطوانة تعود على نفسها لتنضم إلى طرفها الآخر من "الداخل". قد يتم تضمينه في الفضاء الإقليدي للأبعاد 4 وأعلى. تم ابتكار مفهوم زجاجة Klein كشريط Möbius ثلاثي الأبعاد، حيث تكون إحدى طرق الإنشاء هي ربط حواف شريطين Möbius.
خلال الفترة من 1890 إلى 1899، بدأ كلاين بدراسة الفيزياء الرياضية بشكل أكثر كثافة، وكتب عن الجيروسكوب مع Arnold Sommerfeld. خلال 1894، بدأ فكرة موسوعة الرياضيات بما في ذلك تطبيقاتها، التي أصبحت Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. استمرت هذه المشروع حتى 1935، وقدمت مرجعًا قياسيًا مهمًا بقيمة دائمة.
برنامج Erlangen
خلال 1871، بينما كان في Göttingen، أحرز كلاين اكتشافات كبرى في الهندسة. نشر ورقتين On the So-called Non-Euclidean Geometry يوضح أن الأشكال الهندسية الإقليدية وغير الإقليدية يمكن اعتبارها فضاءات مترية تحددها مقياس Cayley-Klein. كان لهذه الرؤية النتيجة المنطقية أن الهندسة غير الإقليدية كانت متسقة إذا وفقط إذا كانت الهندسة الإقليدية كذلك، مما يعطي نفس الحالة للأشكال الهندسية الإقليدية وغير الإقليدية، وإنهاء كل الجدل حول الهندسة غير الإقليدية. لم يقبل Arthur Cayley حجة كلاين أبدًا، معتقدًا أنها دائرية.
تركيب كلاين للهندسة باعتبارها دراسة الخصائص الثابتة تحت مجموعة معينة من التحولات، المعروف باسم برنامج Erlangen 1872، أثّر بشكل عميق على تطور الرياضيات. تم بدء هذا البرنامج من قبل محاضرة كلاين الافتتاحية كأستاذ في Erlangen، على الرغم من أنها لم تكن الخطاب الفعلي الذي ألقاه في تلك المناسبة. اقترح البرنامج نظامًا موحدًا للهندسة أصبح الآن الطريقة الحديثة المقبولة. أظهر كلاين كيف يمكن تمثيل الخصائص الأساسية لهندسة معينة من خلال مجموعة التحولات التي تحافظ على تلك الخصائص. وبالتالي فإن تعريف البرنامج للهندسة شمل كلا من الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية.
حاليًا، دلالة مساهمات كلاين في الهندسة أكثر من واضحة، لكن ليس لأن تلك المساهمات تعتبر الآن غريبة أو خاطئة. على العكس من ذلك، أصبحت تلك المساهمات جزءًا كبيرًا من تفكيرنا الرياضي الحالي بحيث يصعب علينا تقدير جدتها، والطريقة التي لم تُقبل فيها على الفور من قبل جميع معاصريه.
التحليل المعقد
رأى كلاين عمله في التحليل المعقد كمساهمته الرئيسية في الرياضيات، خاصة عمله على:
- الارتباط بين أفكار معينة لـ Riemann ونظرية المتغيرات،
- نظرية الأعداد والجبر المجرد؛
- نظرية المجموعات؛
- الهندسة بأكثر من 3 أبعاد والمعادلات التفاضلية، خاصة المعادلات التي ابتكرها، وهي دوال النمط الإهليلجي والدوال المتشابهة.
أظهر كلاين أن المجموعة النمطية تحرك المنطقة الأساسية للمستوى المعقد لتقسيم الفسيفساء لهذا المستوى. خلال 1879، فحص عمل PSL2,7، يعتبر صورة للمجموعة النمطية، وحصل على تمثيل صريح لسطح Riemann يُطلق عليه الآن Klein quartic. أظهر أن ذلك السطح كان منحنى في الفضاء الإسقاطي، وأن معادلته كانت x3y + y3z + z3x = 0، وأن مجموعة تماثلاته كانت PSL2,7 من الترتيب 168. كتابه Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale 1882 يتناول التحليل المعقد بطريقة هندسية، مربطًا نظرية الجهد والخرائط المطابقة. اعتمد هذا العمل على مفاهيم من ديناميكا الموائع.
اعتبر كلاين معادلات من الدرجة > 4، وكان مهتمًا بشكل خاص باستخدام الطرق المتعالية لحل المعادلة العامة من الدرجة الخامسة. استنادًا إلى طرق Charles Hermite و Leopold Kronecker، أنتج نتائج مماثلة لتلك الموجودة في Brioschi وحل المشكلة لاحقًا بشكل كامل بواسطة المجموعة الإيكوساهيدرالية. مكّنه هذا العمل من كتابة سلسلة من الأوراق حول دوال النمط الإهليلجي.
في كتابه عام 1884 عن Icosahedron، أنشأ كلاين نظرية الدوال المتشابهة، رابطًا الجبر والهندسة. ومع ذلك، نشر Poincaré مخطوطًا لنظريته عن الدوال المتشابهة خلال 1881، مما أسفر عن تنافس ودي بين الرجلين. سعى كلاهما للإدلاء والإثبات بنظرية توحيد عظيمة كان من شأنها أن تؤسس النظرية الجديدة بشكل أكمل. نجح كلاين في صياغة مثل هذه النظرية وفي وصف استراتيجية لإثباتها. لكن أثناء هذا العمل انخفضت صحته، كما ذكر أعلاه.
لخص كلاين عمله على الدوال المتشابهة ودوال النمط الإهليلجي في رسالة من أربعة مجلدات، مكتوبة مع Robert Fricke على مدى حوالي 20 سنة.
الأعمال المختارة
- 1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
- e-text at Project Gutenberg, also available from Cornell
- 1884:Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflö
.jpg)
