لو كان لدي فقط النظريات! إذاً سأجد البراهين بسهولة كافية.
جورج فريدريش برنهارد Riemann كان عالم رياضيات ألمانياً قدم مساهمات في التحليل ونظرية الأعداد والهندسة التفاضلية. في مجال التحليل الحقيقي، اشتهر بصيغته الأولى الصارمة للتكامل، تكامل Riemann، وعمله على متسلسلات فورييه. تشمل مساهماته في التحليل المعقد بشكل ملحوظ إدخال سطوح Riemann، محققاً تقدماً جديداً في المعالجة الطبيعية والهندسية للتحليل المعقد. تُعتبر ورقته الشهيرة عام 1859 حول دالة العد الأولي، التي تتضمن البيان الأصلي لفرضية Riemann، واحدة من أكثر الأوراق تأثيراً في نظرية الأعداد التحليلية. من خلال مساهماته الرائدة في الهندسة التفاضلية، وضع Riemann أسس رياضيات النسبية العامة. يعتبره الكثيرون واحداً من أعظم علماء الرياضيات في جميع العصور.
السيرة الذاتية
السنوات الأولى
وُلد Riemann في 17 سبتمبر 1826 في Breselenz، وهي قرية بالقرب من Dannenberg في مملكة هانوفر. كان والده، Friedrich Bernhard Riemann، راعياً لوثرياً فقيراً في Breselenz شارك في الحروب النابليونية. توفيت والدته، Charlotte Ebell، قبل أن يصل أطفالها إلى سن الرشد. كان Riemann الثاني من بين ستة أطفال، خجولاً ويعاني من انهيارات عصبية متعددة. أظهر Riemann مهارات رياضية استثنائية، مثل القدرات الحسابية، منذ سن مبكرة لكنه عانى من الخجل والخوف من التحدث أمام الجمهور.
التعليم
في عام 1840، ذهب Riemann إلى هانوفر للعيش مع جدته وحضور سنوات المدرسة الوسطى بدرجة البكالوريوس. بعد وفاة جدته في عام 1842، التحق بالمدرسة الثانوية في Johanneum Lüneburg. في المدرسة الثانوية، درس Riemann الكتاب المقدس بكثافة، لكنه كان غالباً ما يتشتت انتباهه الرياضيات. كان معلموه مندهشين من قدرته الماهرة على إجراء عمليات رياضية معقدة، حيث كان غالباً ما يفوق معرفة مدرسيه. في عام 1846، في سن التاسعة عشرة، بدأ دراسة الفيلولوجيا واللاهوت المسيحي ليصبح راعياً ويساعد على تحسين أحوال عائلته المالية.
في ربيع عام 1846، أرسل والده، بعد جمع أموال كافية، Riemann إلى جامعة Göttingen، حيث خطط للدراسة بهدف الحصول على درجة في اللاهوت. ومع ذلك، بمجرد وصوله هناك، بدأ دراسة الرياضيات تحت إشراف Carl Friedrich Gauss وخاصة محاضراته حول طريقة المربعات الصغرى. أوصى Gauss بأن يتخلى Riemann عن عمله اللاهوتي ويدخل مجال الرياضيات؛ بعد الحصول على موافقة والده، انتقل Riemann إلى جامعة برلين في عام 1847. خلال فترة دراسته، كان Carl Gustav Jacob Jacobi و Peter Gustav Lejeune Dirichlet و Jakob Steiner و Gotthold Eisenstein يدرسون. بقي في برلين لمدة سنتين وعاد إلى Göttingen في عام 1849.
الأوساط الأكاديمية
ألقى Riemann محاضراته الأولى في عام 1854، التي أسست مجال هندسة Riemannian وبالتالي مهدت الطريق لنظرية Albert Einstein في النسبية العامة. في عام 1857، كان هناك محاولة لترقية Riemann إلى مرتبة أستاذ استثنائي في جامعة Göttingen. على الرغم من فشل هذه المحاولة، فقد أسفرت عن منح Riemann أخيراً راتباً منتظماً. في عام 1859، وبعد وفاة Dirichlet الذي شغل كرسي Gauss في جامعة Göttingen، تمت ترقيته ليرأس قسم الرياضيات في جامعة Göttingen. كان أيضاً الأول الذي اقترح استخدام أبعاد أعلى من مجرد ثلاثة أو أربعة أبعاد من أجل وصف الواقع المادي.
في عام 1862 تزوج Elise Koch وأنجبا ابنة تدعى Ida Schilling وُلدت في 22 ديسمبر 1862.
العائلة البروتستانتية والوفاة في إيطاليا
فر Riemann من Göttingen عندما اصطدمت جيوش هانوفر وبروسيا هناك في عام 1866. توفي بالسل خلال رحلته الثالثة إلى إيطاليا في Selasca الآن قرية صغيرة من Verbania على بحيرة Maggiore حيث دُفن في المقبرة في Biganzolo Verbania.
كان Riemann مسيحياً مخلصاً، ابن وزير بروتستانتي، ورأى حياته كعالم رياضيات كطريقة أخرى لخدمة الله. طوال حياته، تمسك بإيمانه المسيحي بقوة واعتبره الجانب الأكثر أهمية في حياته. في وقت وفاته، كان يردد الصلاة الربانية مع زوجته وتوفي قبل أن ينهيا الصلاة. وفي الوقت نفسه، في Göttingen، رمت خادمة منزله بعض الأوراق من مكتبه، بما في ذلك الكثير من الأعمال غير المنشورة. رفض Riemann نشر عمل غير مكتمل، وقد تكون بعض الرؤى العميقة قد فُقدت للأبد.
تشير شاهدة قبر Riemann في Biganzolo إيطاليا إلى رومية 8:28:
يستريح هنا في الله
جورج فريدريش برنهارد Riemann
أستاذ في Göttingen
وُلد في Breselenz، 17 سبتمبر 1826
توفي في Selasca، 20 يوليو 1866
لأن الذين يحبون الله، يجب أن تعمل جميع الأشياء معاً من أجل الأفضل
يستريح هنا في الله جورج فريدريش برنهارد Riemann أستاذ في Göttingen وُلد في Breselenz، 17 سبتمبر 1826 توفي في Selasca، 20 يوليو 1866 لأن الذين يحبون الله، يجب أن تعمل جميع الأشياء معاً من أجل الأفضل
هندسة Riemannian
فتحت أعمال Riemann المنشورة مجالات بحثية تجمع بين التحليل والهندسة. أصبحت هذه لاحقاً أجزاء رئيسية من نظريات هندسة Riemannian والهندسة الجبرية ونظرية المتعددات المعقدة. تم تطوير نظرية سطوح Riemann من قبل Felix Klein وخاصة Adolf Hurwitz. هذا المجال من الرياضيات هو جزء من أساس الطوبولوجيا ولا يزال يتم تطبيقه بطرق جديدة على الفيزياء الرياضية.
في عام 1853، طلب Gauss من Riemann، طالبه، أن يعد Habilitationsschrift حول أسس الهندسة. على مدى عدة أشهر، طور Riemann نظريته عن الأبعاد العليا وألقى محاضرته في Göttingen في عام 1854 بعنوان "Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" "حول الفرضيات التي تشكل أساس الهندسة". تم نشره فقط بعد اثني عشر سنة في عام 1868 من قبل Dedekind، سنتين بعد وفاته. يبدو أن استقباله المبكر كان بطيئاً لكنه يُعترف به الآن باعتباره أحد أهم الأعمال في الهندسة.
الموضوع الذي أسسه هذا العمل هو هندسة Riemannian. وجد Riemann الطريقة الصحيحة للتوسع في أبعاد n الهندسة التفاضلية للأسطح، والتي أثبتها Gauss نفسه في theorema egregium له. الكائن الأساسي يسمى موتر انحناء Riemann. في حالة السطح، يمكن تقليل هذا إلى عدد عددي، موجب أو سالب أو صفر؛ الحالات غير الصفرية والثابتة تكون نماذج من الهندسات غير الإقليدية المعروفة.
كانت فكرة Riemann هي إدخال مجموعة من الأرقام في كل نقطة في الفضاء، أي موتر يصف مدى انحنائه أو تشوهه. وجد Riemann أنه في أربعة أبعاد مكانية، يحتاج المرء إلى مجموعة من عشرة أرقام في كل نقطة لوصف خصائص المتعددة، بغض النظر عن مدى تشويهها. هذا هو البناء الشهير المركزي لهندسته، والمعروف الآن باسم متري Riemannian.
التحليل المعقد
في أطروحته، أسس أساساً هندسياً للتحليل المعقد من خلال سطوح Riemann، التي من خلالها يمكن أن تصبح الدوال متعددة القيم مثل اللوغاريتم مع عدد لا نهائي من الأوراق أو الجذر التربيعي مع ورقتين دوال أحادية القيمة. الدوال المعقدة هي دوال توافقية، أي أنها تحقق معادلة لابلاس وبالتالي معادلات Cauchy-Riemann على هذه الأسطح ويتم وصفها بموقع تفردها وطوبولوجيا الأسطح. يُعطى "جنس" الطوبولوجي لسطوح Riemann بـ g = w / 2 − n + 1 معاملات "moduli".
مساهماته في هذا المجال عديدة. تقول نظرية Riemann المشهورة للخرائط أن مجال متصل بسيط في المستوى المعقد هو "معادل biholomorphically"، أي أن هناك انحيازاً بينهما يكون holomorphic مع معكوس holomorphic لإما C أو لداخل دائرة الوحدة. تعميم النظرية على سطوح Riemann هو نظرية التوحيد الشهيرة، التي ثبتت في القرن التاسع عشر من قبل Henri Poincaré و Felix Klein. هنا أيضاً، تم إعطاء براهين صارمة لأول مرة بعد تطوير أدوات رياضية أغنى في هذه الحالة، الطوبولوجيا. لإثبات وجود الدوال على سطوح Riemann، استخدم شرط الحد الأدنى، الذي أطلق عليه مبدأ Dirichlet. وجد Karl Weierstrass ثغرة في الإثبات: لم يلاحظ Riemann أن افتراضه الذي يعمل به بأن الحد الأدنى موجود قد لا ينجح؛ قد لا يكون فضاء الدالة كاملاً، وبالتالي لم يتم ضمان وجود الحد الأدنى. من خلال عمل David Hilbert في حساب التغييرات، تم أخيراً إثبات مبدأ Dirichlet. وفي حالة أخرى، كان Weierstrass معجباً جداً بـ Riemann، خاصة بنظريته عن الدوال الأبيلية. عندما ظهر عمل Riemann، سحب Weierstrass ورقته من مجلة Crelle ولم ينشرها. كان لديهما تفاهم جيد عندما زار Riemann في برلين في عام 1859. شجع Weierstrass طالبه Hermann Amandus Schwarz على إيجاد بدائل لمبدأ Dirichlet في التحليل المعقد، وكان له نجاح فيها. تكشف حكاية من Arnold Sommerfeld عن الصعوبات التي واجهها علماء الرياضيات المعاصرون مع الأفكار الجديدة لـ Riemann. في عام 1870، اصطحب Weierstrass أطروحة Riemann معه في عطلة إلى Rigi واشتكى من أنه يصعب فهمه. ساعده الفيزيائي Hermann von Helmholtz في العمل طوال الليل وعاد بالتعليق بأنها كانت "طبيعية" و "قابلة للفهم جداً".
تشمل النقاط البارزة الأخرى عمله على الدوال الأبيلية ودوال ثيتا على سطوح Riemann. كان Riemann في منافسة مع Weierstrass منذ عام 1857 لحل مشاكل Jacobian العكسية للتكاملات الأبيلية، وهي تعميم للتكاملات الإهليلجية. استخدم Riemann دوال ثيتا في عدة متغيرات واختزل المشكلة إلى تحديد أصفار هذه دوال ثيتا. بحث Riemann أيضاً في مصفوفات الدوري وميزها من خلال "علاقات دورة Riemannian" متماثلة، جزء حقيقي سالب. بواسطة Ferdinand Georg Frobenius و Solomon Lefschetz، فإن صحة هذه العلاقة تعادل تضمين C n / Ω، وهذا هو متنوع Jacobian لسطح Riemann، مثال على متنوع أبيليان.
طور العديد من علماء الرياضيات مثل Alfred Clebsch عمل Riemann على المنحنيات الجبرية. اعتمدت هذه النظريات على خصائص دالة محددة على سطوح Riemann. على سبيل المثال، نظرية Riemann-Roch، كان Roch طالباً لـ Riemann، تقول شيئاً عن عدد التفاضلات المستقلة خطياً مع شروط معروفة على الأصفار والأقطاب لسطح Riemann.
وفقاً لـ Detlef Laugwitz، ظهرت الدوال automorphic لأول مرة في مقال حول معادلة Laplace على الأسطوانات المشحونة كهربائياً. استخدم Riemann مثل هذه الدوال للخرائط المطابقة مثل تعيين المثلثات الطوبولوجية للدائرة في محاضرته عام 1859 حول الدوال فوق الهندسية أو في أطروحته حول الأسطح الدنيا.
التحليل الحقيقي
في مجال التحليل الحقيقي، اكتشف تكامل Riemann في أطروحته. من بين أمور أخرى، أظهر أن كل دالة متصلة بشكل جزئي قابلة للتكامل. وبالمثل، يعود تكامل Stieltjes إلى عالم الرياضيات في Göttingen، وبالتالي يتم تسميتهما معاً تكامل Riemann-Stieltjes.
في عمله على متسلسلات فورييه، حيث اتبع عمل معلمه Dirichlet، أظهر أن الدوال القابلة للتكامل وفقاً لـ Riemann "قابلة للتمثيل" بواسطة متسلسلات فورييه. أظهر Dirichlet هذا للدوال المستمرة، القابلة للاختلاف بشكل جزئي، وبالتالي مع عدد قابل للحساب من النقاط غير القابلة للاختلاف. أعطى Riemann مثالاً على متسلسلة فورييه تمثل دالة مستمرة، تقريباً غير قابلة للاختلاف في أي مكان، وهي حالة لا يغطيها Dirichlet. كما أثبت دعابة Riemann-Lebesgue: إذا كانت الدالة قابلة للتمثيل بواسطة متسلسلة فورييه، فإن معاملات فورييه تميل إلى الصفر للـ n الكبير.
كانت مقالة Riemann أيضاً نقطة انطلاق لعمل Georg Cantor مع متسلسلات فورييه، الذي ك
