Чувствовать ощущение как боль — это значит испытывать боль.
Саул Аарон Кripke — американский философ и логик аналитической традиции. Он является Distinguished Professor of Philosophy в Graduate Center of the City University of New York и почетный профессор Princeton University. Начиная с 1960-х годов, Кripke является центральной фигурой в ряде областей, связанных с математической логикой, модальной логикой, философией языка, философией математики, метафизикой, эпистемологией и теорией рекурсии. Большая часть его работ остается неопубликованной или существует только в виде магнитофонных записей и частных рукописей.
Кripke внес влиятельный и оригинальный вклад в логику, особенно в модальную логику. Его главный вклад — это семантика для модальной логики, включающая возможные миры, теперь называемая семантикой Кripke. Он получил Schock Prize in Logic and Philosophy в 2001 году.
Кripke также частично ответственен за возрождение метафизики после упадка логического позитивизма, утверждая, что необходимость — это метафизическое понятие, отличное от эпистемического понятия априорности, и что существуют необходимые истины, известные апостериори, такие как то, что вода — это H2O. Серия лекций в Princeton в 1970 году, опубликованная в виде книги в 1980 году под названием Naming and Necessity, считается одним из наиболее важных философских работ XX века. Она вводит концепцию имен как жестких обозначителей, истинных в каждом возможном мире, в отличие от описаний. Она также содержит причинную теорию референции Кripke, оспаривающую дескриптивистскую теорию, найденную в концепции смысла Gottlob Frege и теории описаний Bertrand Russell.
Кripke также дал оригинальное прочтение Ludwig Wittgenstein, известное как "Kripkenstein", в своей работе Wittgenstein on Rules and Private Language. Книга содержит его аргумент о следовании правилам, парадокс скептицизма о значении.
Жизнь и карьера
Саул Кripke — старший из трех детей, рожденных Dorothy K. Kripke и раввином Myer S. Kripke. Его отец был лидером Beth El Synagogue, единственной Conservative congregation в Omaha, Nebraska; его мать писала образовательные книги на иврите для детей. Саул и его две сестры, Madeline и Netta, учились в Dundee Grade School и Omaha Central High School. Кripke был назван вундеркиндом, научив себя Ancient Hebrew к шести годам, прочитав полное собрание сочинений Shakespeare к девяти годам и овладев работами Descartes и сложными математическими задачами еще до окончания начальной школы. Он написал свою первую теорему полноты в модальной логике в 17 лет, и она была опубликована годом позже. После окончания средней школы в 1958 году Кripke поступил в Harvard University и окончил его с отличием в 1962 году со степенью бакалавра по математике. На втором курсе в Harvard он преподавал курс логики уровня аспирантуры в близлежащем MIT. После окончания он получил Fulbright Fellowship, а в 1963 году был назначен в Society of Fellows. Позже Кripke сказал: «Я бы хотел пропустить колледж. Я познакомился с интересными людьми, но не могу сказать, что я чему-то научился. Я, вероятно, все равно научился бы всему этому, просто читая самостоятельно».
После непродолжительного преподавания в Harvard, в 1968 году Кripke переехал в Rockefeller University в New York City, где преподавал до 1976 года. В 1978 году он занял профессорскую кафедру в Princeton University. В 1988 году он получил Behrman Award университета за выдающиеся достижения в области гуманитарных наук. В 2002 году Кripke начал преподавать в CUNY Graduate Center, а в 2003 году был назначен Distinguished Professor of Philosophy там.
Кripke получил почетные степени от University of Nebraska, Omaha в 1977, Johns Hopkins University в 1997, University of Haifa, Israel в 1998 и University of Pennsylvania в 2005. Он является членом American Philosophical Society и избранным Fellow of the American Academy of Arts and Sciences, а в 1985 году был Corresponding Fellow of the British Academy. Он выиграл Schock Prize in Logic and Philosophy в 2001 году.
Кripke был женат на философе Margaret Gilbert. Он — второй кузен один раз удален телевизионного писателя, режиссера и продюсера Eric Kripke.
Работа
Вклады Кripke в философию включают:
- Семантика Кripke для модальных и связанных логик, опубликованная в нескольких эссе, начиная с его подростковых лет.
- Его лекции в Princeton в 1970 году Naming and Necessity, опубликованные в 1972 и 1980 годах, которые значительно перестроили философию языка.
- Его интерпретация Wittgenstein.
- Его теория истины.
Он также внес вклад в теорию рекурсии, см. admissible ordinal и Kripke–Platek set theory.
Модальная логика
Две из более ранних работ Кripke, "A Completeness Theorem in Modal Logic" 1959 и "Semantical Considerations on Modal Logic" 1963, первая написанная, когда он был подростком, были о модальной логике. Наиболее знакомые логики в модальном семействе построены из слабой логики, называемой K, названной в честь Кripke. Кripke ввел теперь стандартную семантику Кripke, также известную как relational semantics или frame semantics для модальных логик. Семантика Кripke — это формальная семантика для неклассических систем логики. Она была впервые сделана для модальных логик, а затем адаптирована к интуиционистской логике и другим неклассическим системам. Открытие семантики Кripke было прорывом в создании неклассических логик, потому что теория моделей таких логик отсутствовала до Кripke.
Фрейм Кripke или модальный фрейм — это пара ⟨ W , R ⟩ , где W — непустое множество, а R — бинарное отношение на W. Элементы W называются узлами или мирами, а R известна как отношение доступности. В зависимости от свойств отношения доступности транзитивность, рефлексивность и т. д., соответствующий фрейм описывается, по расширению, как транзитивный, рефлексивный и т. д.
Модель Кripke — это тройка ⟨ W , R , ⊩ ⟩ — это отношение между узлами W и модальными формулами, такое что:
- w ⊩ ¬ A ,
- w ⊩ A → B ,
- w ⊩ ◻ A .
Мы читаем w ⊩ A как отношение удовлетворения, оценки или принуждения. Отношение удовлетворения однозначно определяется его значением на пропозициональных переменных.
Формула A считается действительной в:
- модели ⟨ W , R , ⊩ ⟩ для всех w ∈ W,
- фрейме ⟨ W , R ⟩ ,
- классе C фреймов или моделей, если она действительна в каждом члене C.
Мы определяем ThmC как множество всех формул, которые действительны в C. Обратно, если X — множество формул, пусть ModX — класс всех фреймов, которые валидируют каждую формулу из X.
Модальная логика, т. е. множество формул L, является звуковой по отношению к классу фреймов C, если L ⊆ ThmC. L полна по отношению к C, если L ⊇ ThmC.
Семантика полезна для исследования логики, т. е. системы вывода, только если отношение семантического следствия отражает его синтаксический аналог, отношение следствия выводимости. Важно знать, какие модальные логики являются звуковыми и полными по отношению к классу фреймов Кripke, и для них определить, какой класс это.
Для любого класса C фреймов Кripke, ThmC — это нормальная модальная логика, в частности, теоремы минимальной нормальной модальной логики K действительны в каждой модели Кripke. Однако обратное, как правило, не имеет места. Существуют неполные по Кripke нормальные модальные логики, что не проблематично, потому что большинство изучаемых модальных систем полны по классам фреймов, описанных простыми условиями.
Нормальная модальная логика L соответствует классу фреймов C, если C = ModL. Другими словами, C — это наибольший класс фреймов, такой что L звукова отн. C. Следует, что L полна по Кripke тогда и только тогда, когда она полна по отношению к своему соответствующему классу.
Рассмотрим схему T : ◻ A → A . T соответствует классу рефлексивных фреймов Кripke.
Часто гораздо легче охарактеризовать соответствующий класс L, чем доказать его полноту, таким образом соответствие служит руководством для доказательств полноты. Соответствие также используется для демонстрации неполноты модальных логик: предположим L1 ⊆ L2 — нормальные модальные логики, которые соответствуют одному и тому же классу фреймов, но L1 не доказывает все теоремы L2. Тогда L1 неполна по Кripke. Например, схема ◻ A ≡ ◻ A → ◻ A .
Канонические модели
Для любой нормальной модальной логики L может быть построена модель Кripke, называемая канонической моделью, которая валидирует точно теоремы L, путем адаптации стандартной техники использования максимально непротиворечивых множеств в качестве моделей. Канонические модели Кripke играют роль, аналогичную конструкции алгебры Lindenbaum–Tarski в алгебраической семантике.
Множество формул является L-непротиворечивым, если из них не может быть выведено никакое противоречие, используя аксиомы L и modus ponens. Максимальное L-непротиворечивое множество, сокращенно L-MCS, — это L-непротиворечивое множество, которое не имеет надлежащего L-непротиворечивого надмножества.
Каноническая модель L — это модель Кripke ⟨ W , R , ⊩ ⟩ :.
Каноническая модель — это модель L, так как каждое L-MCS содержит все теоремы L. По лемме Zorn, каждое L-непротиворечивое множество содержится в L-MCS, в частности, каждая формула, недоказуемая в L, имеет контрпример в канонической модели.
Главное применение канонических моделей — доказательства полноты. Свойства канонической модели K немедленно подразумевают полноту K по отношению к классу всех фреймов Кripke. Этот аргумент не работает для произвольного L, потому что нет гарантии, что базовый фрейм канонической модели удовлетворяет условиям фрейма L.
Мы говорим, что формула или множество X формул является каноническим по отношению к свойству P фреймов Кripke, если
- X действительна в каждом фрейме, который удовлетворяет P,
- для любой нормальной модальной логики L, которая содержит X, базовый фрейм канонической модели L удовлетворяет P.
Объединение канонических множеств формул само по себе является каноническим. Из предыдущего обсуждения следует, что любая логика, аксиоматизированная каноническим множеством формул, полна по Кripke и компактна.
Аксиомы T, 4, D, B, 5, H, G и, таким образом, любая их комбинация являются каноническими. GL и Grz не являются каноническими, потому что они не компактны. Аксиома M сама по себе не является канонической (Goldblatt, 1991), но объединенная логика S4.1 в действительности даже K4.1 является канонической.
В целом, неразрешимо, является ли данная аксиома канонической. Мы знаем хорошее достаточное условие: H. Sahlqvist идентифицировал широкий класс формул, теперь называемых формулами Sahlqvist, такими что:
- формула Sahlqvist является канонической,
- класс фреймов, соответствующий формуле Sahlqvist, является первопорядково определимым,
- существует алгоритм, который вычисляет соответствующее условие фрейма данной формуле Sahlqvist.
Это мощный критерий: например, все перечисленные выше аксиомы, которые являются каноническими, эквивалентны формулам Sahlqvist. Логика имеет свойство конечной модели (FMP), если она полна по отношению к классу конечных фреймов. Применение этого понятия — вопрос разрешимости: из теоремы Post следует, что рекурсивно аксиоматизированная модальная логика L, которая имеет FMP, разрешима, при условии, что разрешимо, является ли данный конечный фрейм моделью L. В частности, каждая финитно аксиоматизируемая логика с FMP разрешима.
Существуют различные методы установления FMP для данной логики. Уточнения и расширения конструкции канонической модели часто работают, используя инструменты, такие как фильтрация или развертывание. В качестве другой возможности, доказательства полноты на основе бесcекущихся секвентных исчислений обычно непосредственно производят конечные модели.
Большинство модальных систем, используемых на практике, включая все перечисленные выше, имеют FMP.
В некоторых случаях мы можем использовать FMP для доказания полноты по Кripke логики: каждая нормальная модальная логика полна по отношению к классу модальных алгебр, и конечная модальная алгебра может быть преобразована в фрейм Кripke. Например, Robert Bull доказал, используя этот метод, что каждое нормальное расширение S4.3 имеет FMP и полно по Кripke.
Семантика Кripke имеет прямое обобщение на логики с более чем одной модальностью. Фрейм Кripke для языка с { ◻ i ∣ i ∈ I } как множеством его операторов необходимости состоит из непустого множества W, оснащенного бинарными отношениями Ri для каждого i ∈ I. Определение отношения удовлетворения изменяется следующим образом:
Модели Carlson
Упрощенная семантика, открытая Tim Carlson, часто используется для полимодальных логик доказуемости. Модель Carlson — это структура ⟨ W , R , { D i } i ∈ I , ⊩ ⟩ с единственным отношением доступности R и подмножествами Di ⊆ W для каждой модальности. Удовлетворение определяется как:
Модели Carlson проще визуализировать и работать с ними, чем с обычными полимодальными моделями Кripke; однако существуют полные по Кripke полимодальные логики, которые неполны по Carlson.
В Semantical Considerations on Modal Logic, опубликованной в 1963 году, Кripke ответил на сложность с классической теорией квантификации. Мотивацией для мир-относительного подхода было представление возможности того, что объекты в одном мире могут не существовать в другом. Однако если используются стандартные правила квантификатора, каждый терм должен ссылаться на нечто, что существует во всех возможных мирах. Это кажется несовместимым с нашей обычной практикой использования терминов для обозначения вещей, которые существуют контингентно.
Ответ Кripke на эту сложность состоял в устранении терминов. Он привел пример системы, которая использует мир-относительную интерпретацию и
