Sophie Germain

Importa pouco quem chega primeiro a uma ideia, o que é significativo é até onde essa ideia pode chegar

Marie-Sophie Germain foi uma matemática, física e filósofa francesa. Apesar da oposição inicial de seus pais e das dificuldades apresentadas pela sociedade, ela obteve educação através de livros na biblioteca de seu pai, incluindo os de Leonhard Euler, e através de correspondência com matemáticos famosos como Lagrange, Legendre e Gauss sob o pseudônimo de «Monsieur LeBlanc». Uma das pioneiras da teoria da elasticidade, ela ganhou o grande prêmio da Academia de Ciências de Paris por seu ensaio sobre o assunto. Seu trabalho sobre o Último Teorema de Fermat forneceu uma base para matemáticos que exploraram o assunto por centenas de anos depois. Por causa do preconceito contra seu sexo, ela foi incapaz de fazer uma carreira em matemática, mas trabalhou independentemente ao longo de sua vida. Antes de sua morte, Gauss havia recomendado que lhe fosse concedido um diploma honorário, mas isso nunca aconteceu. Em 27 de junho de 1831, ela morreu de câncer de mama. No centenário de sua vida, uma rua e uma escola para meninas foram nomeadas em sua homenagem. A Academia de Ciências estabeleceu o Prêmio Sophie Germain em sua honra.

Primeiros anos

Família

Marie-Sophie Germain nasceu em 1º de abril de 1776, em Paris, França, em uma casa na Rue Saint-Denis. De acordo com a maioria das fontes, seu pai, Ambroise-François, era um rico comerciante de seda, embora alguns acreditem que era um ourives. Em 1789, ele foi eleito como representante da burguesia aos Estados-Gerais, que viu se transformar na Assembleia Constituinte. Portanto, assume-se que Sophie testemunhou muitas discussões entre seu pai e seus amigos sobre política e filosofia. Gray propõe que após sua carreira política, Ambroise-François se tornou diretor de um banco; em qualquer caso, a família permaneceu suficientemente abastada para apoiar Germain ao longo de sua vida adulta.

Marie-Sophie tinha uma irmã mais jovem, chamada Angélique-Ambroise, e uma irmã mais velha, chamada Marie-Madeline. Sua mãe também se chamava Marie-Madeline, e essa profusão de "Maries" pode ter sido o motivo de ela ser conhecida como Sophie. O sobrinho de Germain Armand-Jacques Lherbette, filho de Marie-Madeline, publicou alguns dos trabalhos de Germain após sua morte veja Trabalho em Filosofia.

Introdução à matemática

Quando Germain tinha 13 anos, a Bastilha caiu, e a atmosfera revolucionária da cidade a forçou a ficar dentro de casa. Para se entreter, ela se voltou para a biblioteca de seu pai. Aqui encontrou L'Histoire des Mathématiques de J. E. Montucla, e sua história sobre a morte de Arquimedes a intrigou.

Sophie Germain pensou que se o método da geometria, que naquela época se referia a toda a matemática pura, pudesse ter tal fascinação para Arquimedes, era um assunto digno de estudo. Então ela estudou cada livro de matemática na biblioteca de seu pai, até mesmo ensinando a si mesma latim e grego, para que pudesse ler obras como as de Sir Isaac Newton e Leonhard Euler. Ela também gostava de Traité d'Arithmétique de Étienne Bézout e Le Calcul Différentiel de Jacques Antoine-Joseph Cousin. Mais tarde, Cousin visitou Germain em casa, encorajando-a em seus estudos.

Os pais de Germain não aprovaram nada sua súbita fascinação pela matemática, que era então considerada inadequada para uma mulher. Quando a noite chegava, eles lhe negavam roupas quentes e fogo para seu quarto para tentar impedi-la de estudar, mas depois que saíam, ela tirava velas, se envolvia em colchas e fazia matemática. Depois de algum tempo, sua mãe até secretamente a apoiou.

École Polytechnique

Em 1794, quando Germain tinha 18 anos, a École Polytechnique abriu. Como mulher, Germain foi impedida de frequentar, mas o novo sistema de educação tornava as "notas de aula disponíveis para todos que as solicitassem". O novo método também exigia que os alunos "submetessem observações escritas". Germain obteve as notas de aula e começou a enviar seu trabalho para Joseph Louis Lagrange, um membro da faculdade. Ela usou o nome de um ex-aluno Monsieur Antoine-Auguste Le Blanc, "temendo", como ela mais tarde explicou a Gauss, "o ridículo anexado a um cientista do sexo feminino". Quando Lagrange viu a inteligência de M. Le Blanc, ele solicitou um encontro, e assim Sophie foi forçada a revelar sua verdadeira identidade. Felizmente, Lagrange não se importou que Germain fosse mulher, e ele se tornou seu mentor.

Trabalho inicial em teoria dos números

Correspondência com Legendre

Germain ficou interessada em teoria dos números em 1798 quando Adrien-Marie Legendre publicou Essai sur la théorie des nombres. Depois de estudar o trabalho, ela abriu correspondência com ele sobre teoria dos números e, posteriormente, elasticidade. Legendre mostrou alguns dos trabalhos de Germain no Supplément à segunda edição de Théorie des Nombres, onde a chama très ingénieuse "muito engenhosa". Veja também Seu trabalho sobre o Último Teorema de Fermat abaixo.

Correspondência com Gauss

O interesse de Germain em teoria dos números foi renovado quando ela leu a obra monumental de Carl Friedrich Gauss Disquisitiones Arithmeticae. Depois de três anos trabalhando nos exercícios e tentando suas próprias provas para alguns dos teoremas, ela escreveu, novamente sob o pseudônimo de M. Le Blanc, para o próprio autor, que era um ano mais jovem que ela. A primeira carta, datada de 21 de novembro de 1804, discutiu Disquisitiones de Gauss e apresentou alguns dos trabalhos de Germain sobre o Último Teorema de Fermat. Na carta, Germain alegou ter provado o teorema para n = p − 1, onde p é um número primo da forma p = 8k + 7. Porém, sua prova continha uma suposição fraca, e a resposta de Gauss não comentou sobre a prova de Germain.

Por volta de 1807 as fontes variam, durante as guerras napoleônicas, os franceses estavam ocupando a cidade alemã de Braunschweig, onde Gauss vivia. Germain, preocupada que ele pudesse sofrer o destino de Arquimedes, escreveu ao General Pernety, um amigo da família, pedindo que ele garantisse a segurança de Gauss. O General Pernety enviou um chefe de um batalhão para se encontrar pessoalmente com Gauss para garantir que ele estivesse seguro. Como se viu, Gauss estava bem, mas ficou confuso com a menção do nome de Sophie.

Três meses após o incidente, Germain revelou sua verdadeira identidade a Gauss. Ele respondeu:

Como posso descrever meu espanto e admiração ao ver meu estimado correspondente M. Le Blanc transformado nesta pessoa célebre ... quando uma mulher, por causa de seu sexo, nossos costumes e preconceitos, encontra infinitamente mais obstáculos que os homens em se familiarizar com [os problemas complexos da] teoria dos números, e ainda assim supera essas correntes e penetra naquilo que é mais oculto, ela indiscutivelmente possui a coragem mais nobre, talento extraordinário e gênio superior.

As cartas de Gauss a Olbers mostram que seu elogio a Germain era sincero. Na mesma carta de 1807, Germain alegou que se x n + y n não pode.

Embora Gauss tivesse boa opinião de Germain, suas respostas às suas cartas eram frequentemente atrasadas, e ele geralmente não revisava seu trabalho. Eventualmente seus interesses se afastaram da teoria dos números, e em 1809 as cartas cessaram. Apesar da amizade entre Germain e Gauss, eles nunca se encontraram.

Trabalho em elasticidade

Primeira tentativa de Germain para o Prêmio da Academia

Quando a correspondência de Germain com Gauss cessou, ela se interessou por um concurso patrocinado pela Academia de Ciências de Paris sobre os experimentos de Ernst Chladni com placas metálicas vibratórias. O objetivo do concurso, conforme declarado pela Academia, era "fornecer a teoria matemática da vibração de uma superfície elástica e comparar a teoria com evidência experimental". O comentário de Lagrange de que uma solução para o problema exigiria a invenção de um novo ramo da análise desencorajou todos, exceto dois concorrentes, Denis Poisson e Germain. Então Poisson foi eleito para a Academia, tornando-se assim um juiz em vez de um concorrente, deixando Germain como o único participante do concurso.

Em 1809 Germain começou o trabalho. Legendre ajudou fornecendo-lhe equações, referências e pesquisas atuais. Ela submeteu seu artigo no início do outono de 1811 e não ganhou o prêmio. A comissão julgadora sentiu que "as equações verdadeiras do movimento não foram estabelecidas", embora "os experimentos apresentassem resultados engenhosos". Lagrange conseguiu usar o trabalho de Germain para derivar uma equação que era "correta sob suposições especiais".

Tentativas subsequentes para o Prêmio

O concurso foi prorrogado por dois anos, e Germain decidiu tentar novamente o prêmio. A princípio Legendre continuou a oferecer apoio, mas então se recusou a ajudar. A submissão anônima de Germain de 1813 ainda estava repleta de erros matemáticos, especialmente envolvendo integrais duplas, e recebeu apenas uma menção honrosa porque "a base fundamental da teoria não foi estabelecida". O concurso foi prorrogado mais uma vez, e Germain começou o trabalho em sua terceira tentativa. Desta vez ela consultou Poisson. Em 1814 ele publicou seu próprio trabalho sobre elasticidade e não reconheceu a ajuda de Germain, embora tivesse trabalhado com ela no assunto e, como juiz na comissão da Academia, tivesse acesso ao seu trabalho.

Germain submeteu seu terceiro artigo, "Recherches sur la théorie des surfaces élastiques", sob seu próprio nome, e em 8 de janeiro de 1816 se tornou a primeira mulher a ganhar um prêmio da Academia de Ciências de Paris. Ela não compareceu à cerimônia para receber seu prêmio. Embora Germain finalmente tivesse sido premiada com o prix extraordinaire, a Academia ainda não estava completamente satisfeita. Germain havia derivado a equação diferencial correta, um caso especial da equação de Kirchhoff–Love, mas seu método não previa resultados experimentais com grande precisão, pois havia se baseado em uma equação incorreta de Euler, o que levou a condições de contorno incorretas. Aqui está a equação final de Germain para a vibração de uma lâmina plana:

onde N2 é uma constante.

Após ganhar o concurso da Academia, ela ainda não conseguia participar de suas sessões por causa da tradição da Academia de excluir mulheres que não fossem esposas de membros. Sete anos depois essa situação foi transformada, quando ela fez amizade com Joseph Fourier, secretário da Academia, que obteve ingressos para as sessões para ela.

Trabalho posterior em elasticidade

Germain publicou seu ensaio premiado por sua própria conta em 1821, principalmente porque queria apresentar seu trabalho em oposição ao de Poisson. No ensaio ela apontou alguns dos erros em seu método.

Em 1826 ela submeteu uma versão revisada de seu ensaio de 1821 à Academia. De acordo com Andrea Del Centina, a revisão incluía tentativas de esclarecer seu trabalho ao "introduzir certas hipóteses simplificadoras". Isso colocou a Academia em uma posição difícil, pois sentiram que o artigo era "inadequado e trivial", mas não queriam "tratá-la como uma colega profissional, como fariam com qualquer homem, simplesmente rejeitando o trabalho". Então Augustin-Louis Cauchy, que havia sido designado para revisar seu trabalho, recomendou-a a publicá-lo, e ela seguiu seu conselho.

Um outro trabalho de Germain sobre elasticidade foi publicado postumamente em 1831, seu "Mémoire sur la courbure des surfaces". Ela usou a curvatura média em sua pesquisa veja Honras em teoria dos números.

Trabalho posterior em teoria dos números

Interesse renovado

O melhor trabalho de Germain foi em teoria dos números, e sua contribuição mais significativa para a teoria dos números tratou do Último Teorema de Fermat. Em 1815, após o concurso de elasticidade, a Academia ofereceu um prêmio por uma prova do Último Teorema de Fermat. Isso reacendeu o interesse de Germain em teoria dos números, e ela escreveu para Gauss novamente após dez anos sem correspondência.

Na carta, Germain disse que teoria dos números era seu campo preferido e que estava em sua mente o tempo todo que estava estudando elasticidade. Ela esboçou uma estratégia para uma prova geral do Último Teorema de Fermat, incluindo uma prova para um caso especial. A carta de Germain a Gauss continha seu progresso substancial em direção a uma prova. Ela pediu a Gauss se sua abordagem do teorema valia a pena perseguir. Gauss nunca respondeu.

Seu trabalho sobre o Último Teorema de Fermat

O Último Teorema de Fermat pode ser dividido em dois casos. O Caso 1 envolve todas as potências p que não dividem nenhum de x, y ou z. O Caso 2 inclui todos os p que dividem pelo menos um de x, y ou z. Germain propôs o seguinte, comumente chamado de "Teorema de Sophie Germain":

1. se xp + yp + zp ≡ 0 (mod P), então P divide xyz, e
2. p não é um resíduo p-ésimo de potência (mod P).

Então o primeiro caso do Último Teorema de Fermat é válido para p.

Germain usou esse resultado para provar o primeiro caso do Último Teorema de Fermat para todos os primos ímpares p < 100, mas de acordo com Andrea Del Centina, "ela havia realmente mostrado que vale para cada expoente p < 197". L. E. Dickson mais tarde usou o teorema de Germain