Gottlob Frege

Todo bom matemático é pelo menos meio filósofo, e todo bom filósofo é pelo menos meio matemático.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege foi um filósofo, lógico e matemático alemão. Trabalhou como professor de matemática na Universidade de Jena e é compreendido por muitos como o pai da filosofia analítica, concentrando-se na filosofia da linguagem, lógica e matemática. Embora tenha sido amplamente ignorado durante sua vida, Giuseppe Peano 1858–1932, Bertrand Russell 1872–1970 e, em certa medida, Ludwig Wittgenstein 1889–1951 introduziram seu trabalho às gerações posteriores de filósofos.

Suas contribuições incluem o desenvolvimento da lógica moderna na Begriffsschrift e trabalhos nos fundamentos da matemática. Seu livro Foundations of Arithmetic é o texto seminal do projeto logicista e é citado por Michael Dummett como o ponto onde se deve identificar a virada linguística. Seus artigos filosóficos "On Sense and Reference" e "The Thought" também são amplamente citados. O primeiro defende dois tipos diferentes de significado e descritismo. Em Foundations e "The Thought", Frege argumenta pelo platonismo contra o psicologismo ou formalismo, concernente aos números e proposições respectivamente. O paradoxo de Russell minava o projeto logicista ao mostrar que a Lei Básica V de Frege em Foundations era falsa.

Vida

Infância 1848–69

Frege nasceu em 1848 em Wismar, Mecklenburg-Schwerin, hoje parte de Mecklenburg-Vorpommern. Seu pai Carl Karl Alexander Frege 1809–1866 foi co-fundador e diretor de uma escola secundária para meninas até sua morte. Após a morte de Carl, a escola foi liderada pela mãe de Frege Auguste Wilhelmine Sophie Frege née Bialloblotzky, 12 de janeiro de 1815 – 14 de outubro de 1898; sua mãe era Auguste Amalia Maria Ballhorn, descendente de Philipp Melanchthon e seu pai era Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, descendente de uma família nobre polonesa que saiu da Polônia no século XVII.

Na infância, Frege encontrou filosofias que guiariam sua futura carreira científica. Por exemplo, seu pai escreveu um livro didático sobre a língua alemã para crianças de 9–13 anos, intitulado Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren 2ª ed., Wismar 1850; 3ª ed., Wismar e Ludwigslust: Hinstorff, 1862 Livro de ajuda para ensinar alemão para crianças de 9 a 13 anos, cuja primeira seção tratava da estrutura e lógica da linguagem.

Frege estudou na Große Stadtschule Wismar e se formou em 1869. Seu professor Gustav Adolf Leo Sachse 5 de novembro de 1843 – 1º de setembro de 1909, que era um poeta, desempenhou o papel mais importante na determinação da futura carreira científica de Frege, encorajando-o a continuar seus estudos na Universidade de Jena.

Estudos na Universidade 1869–74

Frege se matriculou na Universidade de Jena na primavera de 1869 como cidadão da Confederação da Alemanha do Norte. Nos quatro semestres de seus estudos, assistiu a aproximadamente vinte cursos de aulas, a maioria deles sobre matemática e física. Seu professor mais importante foi Ernst Karl Abbe 1840–1905; físico, matemático e inventor. Abbe lecionou sobre teoria da gravidade, galvanismo e eletrodinâmica, análise complexa teoria das funções de uma variável complexa, aplicações da física, divisões selecionadas da mecânica e mecânica dos sólidos. Abbe era mais do que um professor para Frege: era um amigo de confiança e, como diretor do fabricante óptico Carl Zeiss AG, estava em posição de avançar a carreira de Frege. Após a formatura de Frege, eles entraram em correspondência mais próxima.

Seus outros professores universitários notáveis foram Christian Philipp Karl Snell 1806–86; assuntos: uso de análise infinitesimal em geometria, geometria analítica de planos, mecânica analítica, óptica, fundamentos físicos da mecânica; Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900; geometria analítica, física aplicada, análise algébrica, sobre o telégrafo e outras máquinas eletrônicas; e o filósofo Kuno Fischer 1824–1907; filosofia kantiana e crítica.

A partir de 1871, Frege continuou seus estudos em Göttingen, a principal universidade de matemática nos territórios de língua alemã, onde assistiu às aulas de Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72; geometria analítica, Ernst Christian Julius Schering 1824–97; teoria das funções, Wilhelm Eduard Weber 1804–91; estudos físicos, física aplicada, Eduard Riecke 1845–1915; teoria da eletricidade, e Hermann Lotze 1817–81; filosofia da religião. Muitas das doutrinas filosóficas do Frege maduro têm paralelos em Lotze; tem sido assunto de debate acadêmico se houve ou não uma influência direta nas opiniões de Frege resultante de sua participação nas aulas de Lotze.

Em 1873, Frege obteve seu doutorado sob Ernst Christian Julius Schering, com uma dissertação com o título "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" "Sobre uma Representação Geométrica de Formas Imaginárias em um Plano", na qual pretendia resolver problemas fundamentais em geometria como a interpretação matemática dos pontos imaginários infinitamente distantes da geometria projetiva.

Frege casou-se com Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 15 de fevereiro de 1856 – 25 de junho de 1904 em 14 de março de 1887.

Trabalho como lógico

Embora sua educação e trabalho matemático inicial se concentrassem principalmente em geometria, o trabalho de Frege logo se voltou para a lógica. Seu Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 marcou um ponto de virada na história da lógica. Begriffsschrift abriu novos caminhos, incluindo um tratamento rigoroso das ideias de funções e variáveis. O objetivo de Frege era mostrar que a matemática surge da lógica e, ao fazê-lo, ele desenvolveu técnicas que o levaram muito além do silogismo aristotélico e da lógica proposicional estóica que havia chegado até ele na tradição lógica.

Com efeito, Frege inventou a lógica de predicados axiomática, em grande parte graças à sua invenção de variáveis quantificadas, que eventualmente se tornaram onipresentes em matemática e lógica e que resolveram o problema da generalidade múltipla. A lógica anterior havia lidado com as constantes lógicas e, ou, se... então..., não, e alguns e todos, mas iterações dessas operações, especialmente "alguns" e "todos", eram pouco compreendidas: mesmo a distinção entre uma sentença como "todo menino ama alguma menina" e "alguma menina é amada por todo menino" podia ser representada apenas de forma muito artificial, enquanto o formalismo de Frege não tinha dificuldade em expressar as diferentes leituras de "todo menino ama alguma menina que ama algum menino que ama alguma menina" e sentenças semelhantes, em paralelo completo com seu tratamento de, digamos, "todo menino é tolo".

Um exemplo frequentemente observado é que a lógica de Aristóteles não consegue representar afirmações matemáticas como o teorema de Euclides, uma afirmação fundamental da teoria dos números de que existe um número infinito de números primos. A "notação conceitual" de Frege, no entanto, pode representar tais inferências. A análise de conceitos lógicos e a maquinaria da formalização essencial para Principia Mathematica 3 vols., 1910–13, por Bertrand Russell, 1872–1970, e Alfred North Whitehead, 1861–1947, para a teoria das descrições de Russell, para os teoremas da incompletude de Kurt Gödel 1906–78 e para a teoria da verdade de Alfred Tarski 1901–83, é em última análise devida a Frege.

Um dos propósitos declarados de Frege era isolar genuinamente princípios lógicos de inferência, de modo que na representação apropriada da prova matemática, não se apelaria em nenhum ponto para "intuição". Se havia um elemento intuitivo, era para ser isolado e representado separadamente como um axioma: a partir daí, a prova seria puramente lógica e sem lacunas. Após demonstrar essa possibilidade, o propósito maior de Frege era defender a visão de que a aritmética é um ramo da lógica, uma visão conhecida como logicismo: ao contrário da geometria, a aritmética era para ser mostrada como não tendo base em "intuição" e sem necessidade de axiomas não lógicos. Já em 1879 Begriffsschrift teoremas preliminares importantes, por exemplo, uma forma generalizada da lei da tricotomia, foram derivados dentro do que Frege entendia ser lógica pura.

Essa ideia foi formulada em termos não simbólicos em seu The Foundations of Arithmetic Die Grundlagen der Arithmetik, 1884. Depois, em seu Basic Laws of Arithmetic Grundgesetze der Arithmetik, vol. 1, 1893; vol. 2, 1903; vol. 2 foi publicado às suas próprias custas, Frege tentou derivar, usando seu simbolismo, todas as leis da aritmética de axiomas que afirmava como lógicos. A maioria desses axiomas foi transferida de seu Begriffsschrift, embora não sem algumas mudanças significativas. O único princípio verdadeiramente novo era o que ele chamava de Lei Básica V: o "intervalo de valores" da função fx é o mesmo que o "intervalo de valores" da função gx se e somente se ∀x.

O caso crucial da lei pode ser formulado em notação moderna como segue. Deixe {x|Fx} denotar a extensão do predicado Fx, ou seja, o conjunto de todos os Fs, e similarmente para Gx. Então a Lei Básica V diz que os predicados Fx e Gx têm a mesma extensão se e somente se ∀x. O conjunto de Fs é o mesmo que o conjunto de Gs exatamente no caso em que cada F é um G e cada G é um F. O caso é especial porque aquilo que aqui está sendo chamado de extensão de um predicado, ou um conjunto, é apenas um tipo de "intervalo de valores" de uma função.

Em um episódio famoso, Bertrand Russell escreveu para Frege, justo quando o Vol. 2 de Grundgesetze estava prestes a ir para impressão em 1903, mostrando que o paradoxo de Russell poderia ser derivado da Lei Básica V de Frege. É fácil definir a relação de pertencimento de um conjunto ou extensão no sistema de Frege; Russell então chamou atenção para "o conjunto de coisas x que são tais que x não é um membro de x". O sistema de Grundgesetze implica que o conjunto assim caracterizado tanto é quanto não é um membro de si mesmo, e é assim inconsistente. Frege escreveu um Apêndice apressado de último minuto para o Vol. 2, derivando a contradição e propondo eliminá-la modificando a Lei Básica V. Frege abriu o Apêndice com o comentário excepcionalmente honesto: "Dificilmente algo mais infeliz pode acontecer a um escritor científico do que ter um dos fundamentos de seu edifício abalado após o trabalho estar terminado. Esta foi a posição em que fui colocado por uma carta do Sr. Bertrand Russell, justo quando a impressão deste volume estava chegando ao seu fim." Esta carta e a resposta de Frege são traduzidas em Jean van Heijenoort 1967.

O remédio proposto por Frege foi subsequentemente mostrado para implicar que há apenas um objeto no universo do discurso, e portanto é inútil de fato, isso criaria uma contradição no sistema de Frege se ele tivesse axiomatizado a ideia, fundamental para sua discussão, de que o Verdadeiro e o Falso são objetos distintos; veja, por exemplo, Dummett 1973, mas trabalhos recentes mostraram que muito do programa de Grundgesetze poderia ser salvado de outras maneiras:

• A Lei Básica V pode ser enfraquecida de outras maneiras. A maneira mais conhecida é devida ao filósofo e lógico matemático George Boolos 1940–1996, que era um especialista no trabalho de Frege. Um "conceito" F é "pequeno" se os objetos que caem sob F não podem ser colocados em correspondência um-para-um com o universo do discurso, isto é, a menos que: ∃R[R é 1-para-1 & ∀x∃yxRy & Fy]. Agora enfraqueça V para V*: um "conceito" F e um "conceito" G têm a mesma "extensão" se e somente se nem F nem G é pequeno ou ∀xFx ↔ Gx. V* é consistente se aritmética de segunda ordem for, e é suficiente para provar os axiomas de aritmética de segunda ordem.
• A Lei Básica V pode ser simplesmente substituída pelo princípio de Hume, que diz que o número de Fs é o mesmo que o número de Gs se e somente se os Fs podem ser colocados em correspondência um-para-um com os Gs. Este princípio também é consistente se aritmética de segunda ordem for, e é suficiente para provar os axiomas de aritmética de segunda ordem. Este resultado é chamado de teorema de Frege porque foi observado que ao desenvolver aritmética, o uso de Lei Básica V de Frege é restrito a uma prova do princípio de Hume; é a partir disso que, por sua vez, os princípios aritméticos são derivados. Sobre o princípio de Hume e o teorema de Frege, veja "Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic".
• A lógica de Frege, agora conhecida como lógica de segunda ordem, pode ser enfraquecida para a assim chamada lógica de segunda ordem predicativa. Lógica de segunda ordem predicativa mais Lei Básica V é comprovadamente consistente por métodos finitistas ou construtivos, mas pode interpretar apenas fragmentos muito fracos da aritmética.

O trabalho de Frege em lógica teve pouca atenção internacional até 1903 quando Russell escreveu um apêndice para The Principles of Mathematics afirmando suas diferenças com Frege. A notação diagramática que Frege usou não tinha antecedentes e não teve imitadores desde então. Além disso, até o Principia Mathematica 3 vols. de Russell e Whitehead aparecer em 1910–13, a abordagem dominante para lógica matemática era ainda a de George Boole 1815–64 e seus descendentes intelectuais, especialmente Ernst Schröder 1841–1902. As ideias lógicas de Frege, no entanto, se espalharam através dos escritos de seu aluno Rudolf Carnap 1891–1970 e outros admiradores, particularmente Bertrand Russell e Ludwig Wittgenstein 1889–1951.

Filósofo

Frege é um dos fundadores da filosofia analítica, cujo trabalho sobre lógica e linguagem deu origem à virada linguística na filosofia. Suas contribuições para a filosofia da linguagem incluem:

• Análise de função e argumento da proposição;
• Distinção entre conceito e objeto Begriff und Gegenstand