Grigori Perelman

증명이 정확하다면 다른 인정은 필요 없다

Grigori Yakovlevich Perelman은 기하학 분석, Riemannian 기하학, 그리고 기하학적 위상수학 분야에 대한 기여로 알려진 러시아 수학자이다.

1990년대에 Yuri Burago, Mikhael Gromov, 그리고 Anton Petrunin과의 부분적인 협력을 통해 그는 Alexandrov 공간 연구에 영향력 있는 기여를 했다. 1994년에 그는 이전 20년 동안 미해결 문제였던 Riemannian 기하학의 soul 추측을 증명했다. 2002년과 2003년에 그는 Ricci 흐름 분석에서 새로운 기법을 개발하여 Poincaré 추측과 Thurston의 기하학화 추측에 대한 증명의 상세한 스케치를 제공했으며, 전자는 지난 세기 동안 수학에서 유명한 미해결 문제였다. Perelman의 작업의 전체 세부 사항은 다음 몇 년에 걸쳐 여러 저자에 의해 채워지고 설명되었다.

2006년 8월, Perelman은 "기하학에 대한 그의 기여와 Ricci 흐름의 분석적 및 기하학적 구조에 대한 그의 혁신적인 통찰"을 이유로 Fields Medal을 받을 것을 제안받았지만, 그는 이 상을 거절했으며 "나는 돈이나 명성에 관심이 없으며, 동물원의 동물처럼 전시되고 싶지 않습니다"라고 말했다. 2006년 12월 22일, 과학 저널 Science는 Perelman의 Poincaré 추측 증명을 과학적 "올해의 돌파구"로 인정했으며, 이는 수학 분야에서 처음으로 이러한 인정을 받은 것이었다.

2010년 3월 18일, 그가 Poincaré 추측의 해결에 대한 첫 번째 Clay Millennium Prize를 받을 기준을 충족했다는 것이 발표되었다. 2010년 7월 1일, 그는 100만 달러의 상금을 거절했으며, Clay Institute의 이사회 결정이 부당하다고 생각한다고 말했다. 왜냐하면 Poincaré 추측을 푸는 데 대한 그의 기여가 Ricci 흐름을 개척한 수학자 Richard S. Hamilton의 기여보다 크지 않다고 생각했기 때문이다. 그는 1996년에 European Mathematical Society의 저명한 상을 이전에 거절한 적이 있었다.

초기 생활 및 교육

Grigori Yakovlevich Perelman은 1966년 6월 13일 소비에트 연방의 Leningrad(현재 Russia의 Saint Petersburg)에서 러시아계 유대인 부모 Yakov(현재 Israel에 거주)와 Lyubov(현재 Saint Petersburg에서 Grigori와 함께 거주)의 자녀로 태어났다. Grigori의 어머니 Lyubov는 그를 키우기 위해 수학 대학원 과정을 포기했다. Grigori의 수학적 재능은 열 살 때 분명해졌고, 그의 어머니는 그를 Sergei Rukshin의 방과후 수학 교육 프로그램에 등록시켰다.

그의 수학 교육은 고급 수학 및 물리학 프로그램을 가진 전문 학교인 Leningrad Secondary School #239에서 계속되었다. Grigori는 체육을 제외한 모든 과목에서 우수했다. 1982년에 국제 수학 올림피아드에 출전하는 소비에트 연방 팀의 일원으로서, 고등학생을 위한 국제 경쟁에서 그는 완벽한 점수를 달성하여 금메달을 획득했다. 그는 입학 시험 없이 Leningrad State University의 The School of Mathematics and Mechanics의 학생으로서 계속했고 대학에 등록했다.

1990년에 박사 학위를 마친 후, Perelman은 소련 과학 아카데미의 Leningrad Department of Steklov Institute of Mathematics에서 일하기 시작했으며, 그의 지도교수는 Aleksandr Aleksandrov와 Yuri Burago였다. 1980년대 후반과 1990년대 초반에 기하학자 Mikhail Gromov의 강력한 추천으로 Perelman은 미국의 여러 대학에서 연구 직책을 얻었다. 1991년 Perelman은 Aleksandrov의 곡률이 아래로 한정된 공간에 대한 그의 작업으로 Saint Petersburg Mathematical Society의 Young Mathematician Prize를 획득했다. 1992년에 그는 New York University의 Courant Institute와 Stony Brook University에서 각각 한 학기를 보낼 초대를 받았으며, 여기서 그는 Ricci 곡률의 하한에 관한 다양체에 대한 작업을 시작했다. 거기서 그는 1993년 University of California, Berkeley에서 2년간의 Miller Research Fellowship을 수락했다. 1994년에 soul 추측을 증명한 후, 그는 Princeton과 Stanford를 포함한 미국의 여러 최고 대학으로부터 직책을 받았지만 모두 거절하고 1995년 여름 Saint Petersburg의 Steklov Institute로 돌아갔다. 연구 전용 직책을 위해.

1990년대의 연구

Perelman의 이 기간의 가장 주목할 만한 작업은 1950년대로 거슬러 올라가는 개념인 Alexandrov 공간 분야에서 이루어졌다. 1992년 Yuri Burago와 Mikhail Gromov와 공저한 유명한 논문에서, Perelman은 이 분야의 현대적 기초를 제시했으며, organizing principle으로서 Gromov-Hausdorff 수렴의 개념을 제시했다. 1993년에 Perelman은 이러한 비매끄러운 공간에서 Morse 이론의 개념을 개발했다. Alexandrov 공간에 대한 그의 작업으로 Perelman은 1994년 International Congress of Mathematicians에서 강연할 초대를 받았다.

1972년에 공식화된 Cheeger와 Gromoll의 soul 추측은 다음과 같이 말한다:

(M, g)가 완전하고 연결되어 있으며 단순하지 않은 Riemannian 다양체이고 단면 곡률 K ≥ 0이며, M의 어떤 점에서 단면 곡률(모든 단면 방향에서)이 엄격하게 양수라고 가정하자. 그러면 M의 soul은 한 점이다. 즉, M은 Rn과 미분동형이다.

이것은 Cheeger와 Gromoll이 모든 단면 곡률이 양수라는 더 강한 가정 하에서 결과를 확립했기 때문에 관심이 있었다. 음이 아닌 곡률에서 양수 곡률로의 변형이 잘 이해되지 않으므로 soul 추측이 제안되었다. 1994년에 Perelman은 일반적인 경우 K ≥ 0에서 Sharafutdinov의 retraction P : M → S가 submersion이라는 것을 확립하여 추측의 짧고 우아한 증명을 제공했다.

1994년부터 1997년까지의 Perelman의 세 가지 주목할 만한 논문은 양의 Ricci 곡률을 가진 다양한 흥미로운 Riemannian 다양체의 구성을 다룬다.

기하학화 및 Poincaré 추측

문제

1904년 프랑스 수학자 Henri Poincaré에 의해 제안된 Poincaré 추측은 위상수학의 핵심 문제 중 하나였다. 3-구면의 모든 루프(4차원 유클리드 공간에서 원점으로부터 거리 1인 점들의 집합으로 예시됨)는 한 점으로 축약될 수 있다. Poincaré 추측은 모든 루프가 한 점으로 축약될 수 있는 폐쇄된 3차원 다양체가 위상학적으로 3-구면이라고 주장한다. 유사한 결과는 Stephen Smale의 작업에서와 같이 1960년 이후 5 이상의 차원에서 참인 것으로 알려져 있다. 4차원 경우는 더 오래 저항했으며, 마침내 1982년 Michael Freedman에 의해 해결되었다. 그러나 3-다양체의 경우는 모두 중에서 가장 어려운 것으로 판명되었다. 대략적으로 말하면, 이는 3-다양체를 위상학적으로 조작할 때 "문제가 있는 지역"을 다른 것을 방해하지 않고 옮길 수 있는 차원이 너무 적기 때문이다. 3차원 경우에 대한 가장 근본적인 기여는 Richard S. Hamilton에 의해 생산되었다. Perelman의 역할은 Hamilton 프로그램을 완성하는 것이었다.

Perelman의 증명

2002년 11월, Perelman은 기하학화 추측의 증명을 개략적으로 제시했다고 주장하는 세 개의 preprint 중 첫 번째를 arXiv에 게시했으며, Poincaré 추측은 이의 특수한 경우이다. 이것은 2003년에 두 개의 다른 preprint가 뒤따랐다.

Perelman은 추측의 증명을 위해 Richard S. Hamilton의 프로그램을 수정했다. 중심 아이디어는 Ricci 흐름의 개념이다. Hamilton의 근본적인 아이디어는 주어진 3-다양체가 기하학적으로 왜곡되는 "동적 과정"을 공식화하는 것이며, 왜곡 과정은 열 방정식과 유사한 미분 방정식에 의해 지배된다. 훨씬 이전에 Riemann에게 zeta 함수의 영점에 대한 Riemann 가설을 진술하도록 동기를 부여한 열 방정식은 온도와 같은 스칼라 양의 동작을 설명한다. 이것은 상승된 온도의 집중이 전체 물체에 걸쳐 균일한 온도가 달성될 때까지 퍼져 나갈 것을 보장한다. 마찬가지로, Ricci 흐름은 텐서 양, Ricci 곡률 텐서의 동작을 설명한다. Hamilton의 희망은 Ricci 흐름 하에서 큰 곡률의 집중이 전체 3-다양체에 걸쳐 균일한 곡률이 달성될 때까지 퍼져 나갈 것이었다. 만약 그렇다면, 어떤 3-다양체로 시작하여 Ricci 흐름이 발생하도록 허락한다면, 원칙적으로 결국 일종의 "정규 형식"을 얻을 수 있어야 한다. William Thurston에 따르면 이 정규 형식은 Thurston model geometries라고 불리는 각각 다른 종류의 기하학을 가진 소수의 가능성 중 하나를 취해야 한다.

그러나 과정이 "특이점"의 발전에 의해 방해받을 것으로 널리 예상되었다. 1990년대에 Hamilton은 발생할 수 있는 특이점의 가능한 유형에 대한 이해에서 진전을 이루었지만 포괄적인 설명을 제공할 수 없었다. Perelman의 기사는 해결책을 스케치했다. Perelman에 따르면, 모든 특이점은 원통이 축으로 붕괴되거나 구가 중심으로 붕괴되는 것처럼 보인다. 이러한 이해로, 그는 표준 Ricci 흐름의 수정인 surgery를 통한 Ricci 흐름을 구성할 수 있었으며, 이는 특이 영역을 제어된 방식으로 체계적으로 제거할 수 있다. surgery를 통한 Ricci 흐름의 아이디어는 1993년의 Hamilton의 논문 이후로 존재했으며, 그는 1997년에 특정 제한된 기하학적 조건을 받는 고차원 공간의 설정에서 성공적으로 수행했다. Perelman의 surgery 절차는 Hamilton의 것과 광범위하게 유사했지만 그 기술적 측면에서 눈에 띄게 달랐다.

Perelman은 유한 시간에 발생하는 모든 특이점이 본질적으로 3-다양체의 소인수분해에 대응하는 특정 구를 따라 "pinching"이라는 것을 보였다. 더욱이, 모든 "무한 시간" 특이점은 JSJ 분해의 특정 붕괴 조각으로부터 비롯된다. Perelman의 작업은 이 주장을 증명하고 따라서 기하학화 추측을 증명한다.

세 논문의 내용은 다음과 같이 요약된다:

• 첫 번째 preprint인 "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications"는 Ricci 흐름의 연구에서 많은 새로운 기법을 제공하며, 주요 결과는 흐름의 높은 곡률 영역의 정량적 특성화를 제공하는 정리이다.
• 두 번째 preprint인 "Ricci flow with surgery on three-manifolds"는 첫 번째 논문의 일부 부정확한 진술을 수정하고 일부 세부 사항을 채우며, 첫 번째 논문의 주요 결과를 사용하여 surgery 절차를 규정한다. 논문의 후반부는 무한 시간 동안 존재하는 Ricci 흐름의 분석에 전념한다.
• 세 번째 preprint인 "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds"는 두 번째 preprint의 후반부의 논증을 피하는 Poincaré 추측의 증명으로의 지름길을 제공한다. 이것은 Poincaré 추측의 가정을 만족하는 모든 공간에서 surgery를 통한 Ricci 흐름이 유한 시간에만 존재하므로 Ricci 흐름의 무한 시간 분석이 무관하다는 것을 보여준다.

Tobias Colding과 William Minicozzi II는 Perelman의 세 번째 preprint에 대해 완전히 대안적인 논증을 제공했다. 1980년대에 개발된 정교한 기하학적 측도 이론 논증의 전제 조건이 주어진 그들의 논증은 특히 단순하다.

검증

Perelman의 preprint는 수학 커뮤니티의 주의를 빠르게 끌었으나, 다소 간결하게 작성되었기 때문에 이해하기 어려운 것으로 널리 간주되었다. 학문적 수학 출판의 일반적인 스타일과는 달리, 많은 기술적 세부 사항이 생략되었다. Perelman이 Ricci 흐름의 기초에 대해 주요 기여를 했다는 것은 곧 분명해졌으나, 이러한 기여가 기하학화 추측이나 Poincaré 추측을 증명하기에 충분한지는 수학 커뮤니티에 즉시 명확하지 않았다.

2003년 4월, Perelman은 Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University, New York University를 방문하여 그의 작업에 대한 짧은 강연 시리즈를 제공하고 관련 분야의 전문가들을 위해 일부 세부 사항을 명확히 했다.

2003년 6월, 당시 University of Michigan의 Bruce Kleiner와 John Lott는 Lott의 웹사이트에 Perelman의 첫 번째 preprint의 많은 세부 사항을 섹션별로 채운 노트를 게시했다. 2004년 9월, 그들의 노트는 Perelman의 두 번째 preprint를 포함하도록 업데이트되었다. 추가 수정 및 정정 후, 그들은 2006년 5월 25일에 arXiv에 버전을 게시했으며, 그 수정된 버전은 2008년 학술 저널 Geometry & Topology에 게재되었다. 2006년 International Congress of Mathematicians에서 Lott는 "Perelman의 작업을 검토하는 데 시간이 걸렸습니다. 이는 부분적으로 Perelman의 작업의 독창성과 부분적으로 그의 논증의 기술적 정교함 때문입니다. 모든 징후는 그의 논증이 정확하다는 것을 나타냅니다."라고 말했다. 그들의 기사의 서론에서, Kleiner와 Lott는 설명했다

Perelman의 증명은 간결하며 때로는 스케치 형식입니다. 이 노트의 목적은 [Perelman의 첫 번째 두 preprint]에서 누락된 세부 사항을 제공하는 것입니다... 증명에 관해, [Perelman의 논문]은 일부 부정확한 진술과 불완전한 논증을 포함하며, 우리는 독자에게 지적하려고 시도했습니다. ([