우리는 알아야 한다. 우리는 알 것이다.
David Hilbert는 독일의 수학자이며 19세기와 20세기 초의 가장 영향력 있고 보편적인 수학자 중 한 명이었다. Hilbert는 불변식 이론, 변분법, 교환 대수, 대수적 정수론, 기하학의 기초, 적분 방정식에 대한 연산자의 스펙트럼 이론 및 그 응용, 수학 물리학, 특히 증명 이론을 포함한 많은 분야에서 광범위한 기본 아이디어를 발견하고 발전시켰다.
Hilbert는 Georg Cantor의 집합론과 초한수를 채택하고 따뜻하게 옹호했다. 그의 수학 리더십의 유명한 예는 20세기 수학 연구의 많은 부분을 결정한 1900년 문제 모음의 발표이다.
Hilbert와 그의 학생들은 엄밀성을 확립하는 데 크게 기여했으며 현대 수학 물리학에서 사용되는 중요한 도구들을 개발했다. Hilbert는 증명 이론과 수학 논리의 창시자 중 한 명으로 알려져 있다.
생애
초기 생애와 교육
Hilbert는 Otto와 Maria Therese Erdtmann Hilbert의 두 자녀 중 첫째이자 유일한 아들로, Hilbert 자신의 진술에 따르면 Königsberg에서 태어났거나, 또는 1946년 이후 Znamensk로 알려진 Königsberg 근처의 Wehlau에서 태어났으며, 그의 아버지는 그가 태어난 당시 그곳에서 일했다.
1872년 후반, Hilbert는 Friedrichskolleg Gymnasium Collegium fridericianum에 입학했으며, 이는 140년 전 Immanuel Kant가 다녔던 같은 학교였다. 그러나 불행한 시기를 거쳐 1879년 후반으로 전학했고 1880년 초에 보다 과학 지향적인 Wilhelm Gymnasium에서 졸업했다. 1880년 가을 졸업 후, Hilbert는 "Albertina"라고 불리는 Königsberg 대학에 등록했다. 1882년 초, Hilbert보다 2살 어리고 Königsberg의 토박이였지만 3학기를 위해 Berlin으로 갔던 Hermann Minkowski가 Königsberg로 돌아와 대학에 입학했다. Hilbert는 수줍음이 많지만 재능 있는 Minkowski와 평생 우정을 나누게 되었다.
경력
1884년, Adolf Hurwitz는 Göttingen에서 준교수인 Extraordinarius로 도착했다. 세 명 사이에 강렬하고 풍성한 과학적 교류가 시작되었으며, 특히 Minkowski와 Hilbert는 그들의 과학 경력의 여러 시기에 서로에게 상호 영향을 미쳤다. Hilbert는 1885년에 박사 학위를 취득했으며, Ferdinand von Lindemann 지도 하에 작성한 학위논문은 "Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen"(특히 구면 조화 함수인 특수 이진 형식의 불변 속성에 관하여)였다.
Hilbert는 1886년부터 1895년까지 Königsberg 대학의 Privatdozent 상급 강사로 남아있었다. 1895년, Felix Klein의 개입으로 Göttingen 대학의 수학 교수 직책을 얻었다. Klein과 Hilbert의 시대 동안, Göttingen은 수학 세계에서 가장 뛰어난 기관이 되었다. 그는 평생 그곳에 남아있었다.
Göttingen 학파
Hilbert의 학생들 중에는 Hermann Weyl, 체스 챔피언 Emanuel Lasker, Ernst Zermelo, Carl Gustav Hempel이 있었다. John von Neumann은 그의 조수였다. Göttingen 대학에서, Hilbert는 Emmy Noether와 Alonzo Church 같은 20세기의 가장 중요한 수학자들의 사교 모임으로 둘러싸여 있었다.
Göttingen에서의 그의 69명의 박사 학위 학생 중 많은 사람들이 나중에 유명한 수학자가 되었으며, 학위 논문 작성 연도와 함께: Otto Blumenthal 1898, Felix Bernstein 1901, Hermann Weyl 1908, Richard Courant 1910, Erich Hecke 1910, Hugo Steinhaus 1911, Wilhelm Ackermann 1925. 1902년부터 1939년까지 Hilbert는 당시 수학의 주요 저널인 Mathematische Annalen의 편집자였다.
"좋다, 그는 수학자가 될 충분한 상상력이 없었다." — 한 명의 학생이 시 공부를 하기 위해 중퇴했다는 것을 듣고 한 Hilbert의 답변.
말년
1925년경, Hilbert는 악성 빈혈을 앓게 되었으며, 이는 당시 치료 불가능한 비타민 결핍증으로 주요 증상은 무력감이었다. 그의 조수 Eugene Wigner는 그를 "엄청난 피로"의 대상이라고 묘사했으며 어떻게 그가 "꽤 늙어 보였는지", 그리고 결국 진단을 받고 치료를 받은 후에도 "1925년 이후 거의 과학자가 아니었고 확실히 Hilbert는 아니었다"고 말했다.
Hilbert는 1933년 Göttingen 대학의 저명한 교수진의 많은 사람들을 나치가 숙청하는 것을 목격하기 위해 오래 살았다. 강제로 떠난 사람들에는 1930년 은퇴 시 Hilbert의 자리를 가져간 Hermann Weyl, Emmy Noether, Edmund Landau가 포함되었다. 독일을 떠나야 했던 Paul Bernays는 수학 논리에서 Hilbert와 협력했으며, 그와 함께 1934년과 1939년 두 권으로 나타난 중요한 저서 Grundlagen der Mathematik을 공저했다. 이는 1928년의 Hilbert-Ackermann 저서 Principles of Mathematical Logic의 후속작이었다. Hermann Weyl의 후임자는 Helmut Hasse였다.
약 1년 후, Hilbert는 연회에 참석했고 새로운 교육부 장관 Bernhard Rust 옆에 앉았다. Rust는 "수학 연구소가 정말로 유대인의 떠남으로 인해 그렇게 많이 고생했는지" 물었다. Hilbert는 답변했다: "고생했다고? 더 이상 존재하지 않지 않나!"
사망
Hilbert가 1943년에 사망했을 무렵, 나치는 거의 완전히 대학의 교직원을 새로 구성했으며, 이전 교수진의 많은 사람들이 유대인이었거나 유대인과 결혼했었다. Hilbert의 장례식은 12명 미만의 사람들이 참석했으며, 그 중 단 2명만이 동료 학자였으며, 그 중에는 이론 물리학자이자 Königsberg의 토박이이기도 한 Arnold Sommerfeld가 있었다. 그의 사망 소식은 그가 죽은 지 6개월 후에 더 넓은 세상에 알려졌다.
Göttingen의 그의 묘비에 새겨진 비문은 1930년 9월 8일 독일 과학자 및 의사 협회에 하는 은퇴 연설의 끝에서 그가 말한 유명한 문구로 구성되어 있다. 그 말은 라틴어 격언인 "Ignoramus et ignorabimus" 또는 "우리는 모른다, 우리는 모를 것이다"에 대한 응답으로 주어졌다:
영어로:
우리는 알아야 한다.
우리는 알 것이다.
Hilbert가 1930년 독일 과학자 및 의사 협회 연례 회의에서 이 문구를 발표한 전날, Kurt Gödel은 협회 회의와 공동으로 개최된 認識論 회의 중 원탁 토론에서 자신의 불완전성 정리의 첫 번째 표현을 조심스럽게 발표했다. Gödel의 불완전성 정리는 Peano 산술 같은 기초적인 공리 체계도 자기 모순적이거나 증명하거나 반박할 수 없는 논리적 명제를 포함한다는 것을 보여준다.
개인 생활
1892년, Hilbert는 독일 유대인 가족 출신의 Käthe Jerosch(1864–1945)와 결혼했으며, "Königsberg 상인의 딸로, 자신의 것과 일치하는 정신의 독립성을 가진 직설적인 젊은 여성"이었다. Königsberg에 있는 동안 그들은 한 자녀 Franz Hilbert(1893–1969)를 가졌다.
Hilbert의 아들 Franz는 평생 진단되지 않은 정신 질환으로 고생했다. 그의 낮은 지능은 아버지에게 끔찍한 실망이었고, 이 불행은 Göttingen의 수학자들과 학생들에게 고통의 원인이었다.
Hilbert는 수학자 Hermann Minkowski를 그의 "최고의 진정한 친구"라고 생각했다.
Hilbert는 프로이센 복음주의 교회의 칼빈파로 세례를 받고 자라났다. 그는 나중에 교회를 떠났고 불가지론자가 되었다. 그는 또한 수학적 진실이 신의 존재 또는 다른 선험적 가정과 무관하다고 주장했다. Galileo Galilei가 지동설에 대한 그의 신념을 옹호하지 못했다고 비판받았을 때, Hilbert는 이의를 제기했다: "하지만 그는 바보가 아니었다. 과학적 진실이 순교를 필요로 한다고 믿을 수 있는 사람은 바보뿐이다. 그것은 종교에서는 필요할 수도 있지만, 과학적 결과는 시간이 지나면 증명되는 것이다."
Hilbert가 Gordan의 문제를 해결하다
Hilbert의 불변 함수에 대한 첫 번째 작업은 1888년 그의 유명한 유한성 정리의 증명으로 이끌었다. 20년 전, Paul Gordan은 복잡한 계산적 접근을 사용하여 이진 형식의 생성원의 유한성 정리를 증명했다. 그의 방법을 2개 이상의 변수를 가진 함수로 일반화하려는 시도는 관련된 계산의 엄청난 어려움으로 인해 실패했다. Gordan의 문제로 알려지게 된 것을 해결하기 위해, Hilbert는 완전히 다른 길을 가야 한다는 것을 깨달았다. 그 결과, 그는 Hilbert의 기저 정리를 증명했으며, 임의의 개수의 변수에서 양의 불변식에 대한 유한한 생성원 집합의 존재를 보였지만 추상적인 형태로 나타냈다. 즉, 그러한 집합의 존재를 증명하면서, 그것은 구성적 증명이 아니었다 — "객체"를 표시하지 않았다 — 오히려 그것은 존재 증명이었고 무한한 확장에서 배제된 중간의 법칙의 사용에 의존했다.
Hilbert는 그의 결과를 Mathematische Annalen에 보냈다. Mathematische Annalen의 불변식 이론 분야의 전문가인 Gordan은 Hilbert의 정리의 혁신적인 성질을 감상할 수 없었고 이 논문을 거절했으며, 설명이 충분히 포괄적이지 않다고 비판했다. 그의 의견은:
이것은 수학이 아니다. 이것은 신학이다
한편, Klein은 이 업적의 중요성을 인식했고, 수정 없이 출판될 것을 보장했다. Klein의 격려를 받아, Hilbert는 최소 생성원 집합의 최대 차수에 대한 추정치를 제공하는 두 번째 논문에서 그의 방법을 확장했고, 다시 한 번 Annalen에 보냈다. 원고를 읽은 후, Klein은 그에게 편지를 썼다:
의심의 여지 없이 이것은 Annalen이 출판한 일반 대수학에 관한 가장 중요한 저작이다.
나중에, Hilbert의 방법의 유용성이 보편적으로 인식된 후, Gordan 자신은 다음과 같이 말했다:
나는 신학도 또한 그 가치를 가진다는 것을 확신했다.
모든 성공에도 불구하고, 그의 증명의 성질은 Hilbert가 상상했을 수 있는 것보다 더 많은 문제를 야기했다. Kronecker가 양보했지만, Hilbert는 나중에 다른 사람들의 유사한 비판에 대응하여 "많은 다양한 구성이 하나의 기본 아이디어 아래로 포함된다" — 즉, Reid의 말을 인용하면: "존재의 증명을 통해, Hilbert는 구성을 얻을 수 있었다"; "증명" 즉, 페이지의 기호는 "객체"였다. 모두가 확신한 것은 아니었다. Kronecker는 곧 사망했지만, 그의 구성주의 철학은 어린 Brouwer와 그의 발전하는 직관주의 "학파"와 함께 계속되었으며, 이는 Hilbert의 말년에 그를 많이 괴롭혔다. 실제로, Hilbert는 그의 "재능 있는 학생" Weyl을 직관주의로 잃었다 — "Hilbert는 전 학생의 Brouwer의 아이디어에 대한 매력으로 인해 불안해했으며, 이는 Hilbert에게 Kronecker에 대한 기억을 불러일으켰다". 특히 직관주의자 Brouwer는 Hilbert가 사용했던 것처럼 무한 집합에 대한 배제된 중간의 법칙의 사용을 반대했다. Hilbert는 다음과 같이 대응했다:
기하학의 공리화
Hilbert가 1899년에 발표한 "Grundlagen der Geometrie" (번역: Foundations of Geometry, 기하학의 기초)라는 텍스트는 Euclid의 전통적인 공리를 대체하는 Hilbert의 공리라고 불리는 형식적 집합을 제안한다. 이들은 Euclid의 것에서 식별된 약점을 피하며, 그 당시 여전히 교과서 방식으로 사용되었다. Grundlagen의 출판 역사를 참고하지 않고 Hilbert가 사용한 공리를 지정하기는 어렵다. Hilbert는 그들을 여러 번 변경하고 수정했기 때문이다. 원본 저서는 빠르게 프랑스어 번역이 뒤따랐으며, Hilbert는 완전성 공리인 V.2를 추가했다. Hilbert가 인가한 영어 번역은 E.J. Townsend에 의해 만들어졌고 1902년에 저작권이 등록되었다. 이 번역은 프랑스어 번역에서 만들어진 변경 사항을 포함했으며 따라서 제2판의 번역으로 간주된다. Hilbert는 계속해서 텍스트에 변경을 가했으며 여러 판이 독일어로 나타났다. 제7판은 Hilbert의 생애 동안 나타난 마지막 판이었다. 제7판을 따르는 새로운 판들이 나타났지만, 주요 텍스트는 기본적으로 개정되지 않았다.
Hilbert의 접근 방식은 현대 공리적 방법으로의 전환을 신호했다. 이 점에서 Hilbert는 1882년 Moritz Pasch의 업적으로부터 선행되었다. 공리는 자명한 진리로 간주되지 않는다. 기하학은 우리가 강한 직관을 가지고 있는 것에 대해 다룰 수 있지만, 정의되지 않은 개
