Felix Klein

누구나 곡선이 무엇인지 알고 있지만, 충분한 수학을 공부하면 수많은 예외들로 인해 혼란스러워진다.

Christian Felix Klein은 독일 수학자이자 수학 교육자로, 군론, 복소해석, 비유클리드 기하학, 그리고 기하학과 군론 사이의 관계에 대한 연구로 알려져 있다. 1872년의 그의 Erlangen program은 기하학을 기본 대칭군으로 분류하여, 당시 수학의 많은 부분을 영향력 있게 종합했다.

생애

Felix Klein은 1849년 4월 25일 뒤셀도르프에서 프로이센 부모 밑에 태어났다. 그의 아버지인 Caspar Klein(1809–1889)은 라인 지역에 주둔한 프로이센 정부 관리의 비서였다. Klein의 어머니는 Sophie Elise Klein(1819–1890, 구성 Kayser)이었다. 그는 뒤셀도르프의 김나지움에 다녔으며, 1865–1866년에 본 대학교에서 수학과 물리학을 공부했고, 물리학자가 되려고 했다. 당시 Julius Plücker는 본의 수학 및 실험 물리학 교수직을 가지고 있었지만, Klein이 1866년에 그의 조수가 되었을 때, Plücker의 관심은 기하학이었다. Klein은 Plücker의 감독 아래 1868년에 본 대학교에서 박사학위를 받았다.

Plücker는 1868년에 사망했으며, 선의 기하학의 기초에 관한 그의 책을 미완성으로 남겼다. Klein은 Plücker의 Neue Geometrie des Raumes의 두 번째 부분을 완성하기에 명백한 인물이었으며, 따라서 1868년에 괴팅겐으로 이전한 Alfred Clebsch와 알게 되었다. Klein은 다음 해에 Clebsch를 방문했고, 베를린과 파리도 방문했다. 1870년 7월, 프로-프로이센 전쟁 초기에 그는 파리에 있었고 그 나라를 떠나야 했다. 잠시 동안 그는 프로이센 군대에서 의무병으로 복무했고 1871년 초에 괴팅겐의 강사로 임명되었다.

1872년 Erlangen은 Klein이 단 23세일 때 교수로 임명했다. 이를 위해 그는 당시 최고의 수학자가 될 가능성이 높다고 여기는 Clebsch의 지지를 받았다. Klein은 학생이 적었던 Erlangen의 학교를 원하지 않았고, 1875년에 뮌헨의 Technische Hochschule에서 교수직을 제안받은 것을 기쁘게 여겼다. 그곳에서 그와 Alexander von Brill은 Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi, 그리고 Gregorio Ricci-Curbastro를 포함한 많은 뛰어난 학생들에게 고급 과정을 가르쳤다.

1875년 Klein은 철학자 Georg Wilhelm Friedrich Hegel의 손녀인 Anne Hegel과 결혼했다.

Technische Hochschule에서 5년을 보낸 후, Klein은 라이프치히의 기하학 교수직으로 임명되었다. 그곳에서 그의 동료들은 Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study, Friedrich Engel을 포함했다. Klein의 라이프치히 시대(1880–1886년)는 그의 삶을 근본적으로 변화시켰다. 1882년 그의 건강이 무너졌고, 1883–1884년에 그는 우울증으로 괴로워했다. 그럼에도 불구하고 그의 연구는 계속되었으며, 초타원 시그마 함수에 대한 그의 기념비적 작업은 이 시기경부터 비롯되었으며 1886년과 1888년에 출판되었다.

Klein은 1886년에 괴팅겐 대학교에서 교수직을 받아들였다. 그때부터 1913년 은퇴할 때까지, 그는 괴팅겐을 세계의 주요 수학 연구 중심지로 재확립하려고 노력했다. 그러나 그는 라이프치히에서 괴팅겐으로 기하학 발전자로서의 자신의 우월성을 옮길 수 없었다. 괴팅겐에서 그는 주로 역학과 포텐셜 이론 같은 수학과 물리학 사이의 인터페이스와 관련된 다양한 과정을 가르쳤다.

Klein이 괴팅겐에 설립한 연구 시설은 전 세계 최고의 시설들을 위한 모델로 사용되었다. 그는 주간 토론 모임을 소개했고, 수학 열람실과 도서관을 만들었다. 1895년에 Klein은 David Hilbert를 쾨니히스베르크 대학교에서 고용했다. 이 임명은 운명적이었는데, Hilbert가 1932년 자신의 은퇴까지 괴팅겐의 좋은 평판을 계속했기 때문이다.

Klein의 편집으로, Mathematische Annalen은 세계에서 가장 좋은 수학 저널 중 하나가 되었다. Clebsch가 창립했지만, Klein의 관리로만이 베를린 대학교 기반의 Crelle's Journal과 먼저 경쟁하다가 그 다음 능가했다. Klein은 정기적으로 만나 민주적 결정을 내리는 편집자들의 작은 팀을 설립했다. 저널은 적어도 Hilbert가 그 주제를 끝낼 때까지 복소해석, 대수 기하학, 불변 이론을 전문으로 했다. 또한 실해석과 새로운 군론을 위한 중요한 출구를 제공했다.

1893년 시카고에서 Klein은 World's Columbian Exposition의 일부로 개최된 국제 수학 회의의 주요 연사였다. 부분적으로 Klein의 노력으로 인해 괴팅겐은 1893년부터 여성을 입학시키기 시작했다. 그는 괴팅겐에서 여성이 작성한 수학 박사 논문을 감독했으며, 그녀는 Arthur Cayley의 영국 학생인 Grace Chisholm Young이었고, Klein은 그녀를 존경했다. 1897년 Klein은 네덜란드 왕립 예술 과학 아카데미의 외국인 회원이 되었다.

1900년경, Klein은 학교에서의 수학 교육에 관심을 가지기 시작했다. 1905년에 그는 분석 기하학, 미분 및 적분 계산의 기초, 그리고 함수 개념이 중등학교에서 가르쳐야 한다는 계획을 수립하는 데 결정적이었다. 이 권고사항은 세계 여러 국가에서 점차 구현되었다. 1908년, Klein은 로마 국제 수학자 회의에서 국제 수학 교육 위원회의 회장으로 선출되었다. 그의 지도 아래, 위원회의 독일 부분은 독일에서 모든 수준의 수학 교육에 관한 많은 권의 책을 출판했다.

런던 수학회는 1893년에 Klein에게 De Morgan 메달을 수여했다. 그는 1885년에 왕립학회의 회원으로 선출되었고, 1912년에 Copley 메달을 수여받았다. 그는 다음 해 건강 악화로 은퇴했으나, 그 후 몇 년 동안 집에서 수학을 계속 가르쳤다.

Klein은 제1차 세계 대전 초기 벨기에에 대한 독일의 침략을 지지하기 위해 작성된 문서인 Manifesto of the Ninety-Three(93개 선언)의 93명의 서명자 중 한 명이었다.

Klein은 Geheimrat 신뢰받는 조언자의 직함을 가졌다.

그는 1925년 괴팅겐에서 사망했다.

업적

Klein의 박사 논문은 선의 기하학과 역학에 대한 응용에 관한 것으로, Weierstrass의 초등 약수 이론을 사용하여 2차 선 복합체를 분류했다.

Klein의 첫 번째 중요한 수학적 발견은 1870년에 이루어졌다. Sophus Lie와의 협력으로, 그는 Kummer 표면의 점근선의 기본 성질을 발견했다. 나중에 그들은 사영 변환의 군 아래 불변인 곡선인 W-곡선을 조사했다. Lie는 Klein에게 군의 개념을 소개했으며, 이는 나중의 그의 작업에서 중요한 역할을 할 것이었다. Klein은 또한 Camille Jordan으로부터 군에 대해 배웠다.

Klein은 자신의 이름을 따서 명명된 "Klein bottle"을 고안했다. 이는 3차원 유클리드 공간에 포함될 수 없지만 "내부"에서 다른 끝과 결합하기 위해 자신을 통해 다시 루프된 원기둥으로 침몰될 수 있는 한쪽 폐곡면이다. 4 이상의 차원의 유클리드 공간에 포함될 수 있다. Klein Bottle의 개념은 3차원 뫼비우스 띠로 고안되었으며, 구성의 한 방법은 두 뫼비우스 띠의 가장자리를 부착하는 것이다.

1890년대 동안, Klein은 Arnold Sommerfeld와 함께 자이로스코프에 대해 쓰면서 수학 물리학을 더 집중적으로 연구하기 시작했다. 1894년, 그는 응용을 포함한 수학 백과사전의 아이디어를 시작했으며, 이는 Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften가 되었다. 1935년까지 지속된 이 사업은 지속적인 가치의 중요한 표준 참고 자료를 제공했다.

Erlangen program

1871년 동안, 괴팅겐에 있을 때, Klein은 기하학에서 주요 발견을 했다. 그는 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학이 Cayley-Klein 메트릭으로 결정된 메트릭 공간으로 간주될 수 있음을 보여주는 "소위 비유클리드 기하학에 대해(On the So-called Non-Euclidean Geometry)"라는 두 개의 논문을 출판했다. 이 통찰력은 비유클리드 기하학이 유클리드 기하학이 그럴 때만 일관성이 있다는 필연적 결과를 가졌으며, 기하학 유클리드와 비유클리드에 동등한 지위를 부여했으며, 비유클리드 기하학에 관한 모든 논쟁을 끝냈다. Arthur Cayley는 그것이 순환적이라고 생각하여 Klein의 주장을 받아들이지 않았다.

Erlangen program(1872)로 알려진 주어진 변환 그룹 아래에서 불변인 공간의 성질의 연구로서의 기하학의 Klein의 종합은 수학의 진화에 깊은 영향을 미쳤다. 이 program은 Klein의 Erlangen 교수의 취임 강연으로 시작되었지만, 그것이 그 자리에서 주었던 실제 연설은 아니었다. 이 program은 현재의 허용된 현대 방법이 된 통합된 기하학 체계를 제안했다. Klein은 주어진 기하학의 본질적인 성질이 그러한 성질을 보존하는 변환 그룹으로 표현될 수 있음을 보였다. 따라서 program의 기하학 정의는 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 모두 포함했다.

현재 Klein의 기하학에 대한 기여의 중요성은 명백하지만, 그 기여들이 이제 이상하거나 잘못된 것으로 간주되기 때문이 아니다. 오히려, 그 기여들은 현재의 우리의 수학적 사고의 너무나 많은 부분이 되어서 그것들의 참신성을 인식하고, 그것들이 그의 모든 동시대 사람들에게 즉시 받아들여지지 않은 방식을 감상하기가 어렵다.

복소해석

Klein은 복소해석에 대한 그의 작업을 수학에 대한 그의 주요 기여로 보았으며, 특히 다음에 대한 그의 작업을 보았다:

• Riemann의 특정 아이디어와 불변 이론 사이의 연결,
• 수론과 추상 대수;
• 군론;
• 3차원 이상의 기하학과 미분 방정식, 특히 그가 발명한 방정식, 즉 타원 모듈러 함수와 자형 함수.

Klein은 모듈러 그룹이 복소 평면의 기본 영역을 이동하여 그 평면을 바꾸어 타일링함을 보였다. 1879년 동안, 그는 모듈러 그룹의 이미지로 간주되는 PSL2,7의 작용을 조사했고, 현재 Klein 쿼틱이라고 불리는 Riemann 표면의 명시적 표현을 얻었다. 그는 그 표면이 사영 공간의 곡선이었고, 그 방정식이 x3y + y3z + z3x = 0이었고, 그 대칭 그룹이 순서 168의 PSL2,7이었음을 보였다. 그의 1882년 Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale는 포텐셜 이론과 공형 사상을 연결하여 기하학적으로 복소해석을 다룬다. 이 작업은 유체 역학의 개념을 활용했다.

Klein은 4차보다 큰 방정식을 고려했으며, 특히 초월 방법을 사용하여 5차 일반 방정식을 풀 수 있는 데 관심이 있었다. Charles Hermite과 Leopold Kronecker의 방법을 기반으로, 그는 Brioschi의 방법과 유사한 결과를 생산했고 나중에 20면체 그룹의 수단으로 완전히 문제를 해결했다. 이 작업은 그가 타원 모듈러 함수에 관한 일련의 논문을 쓰게 했다.

1884년 20면체에 관한 그의 책에서, Klein은 대수학과 기하학을 연결하는 자형 함수 이론을 수립했다. 그러나 Poincaré는 1881년 동안 자신의 자형 함수 이론의 개요를 출판했으며, 이는 두 남자 사이에 우호적인 라이벌 관계를 초래했다. 둘 다 새로운 이론을 더 완전히 확립할 위대한 균일화 정리를 제시하고 증명하려고 노력했다. Klein은 그러한 정리를 공식화하고 그것을 증명하기 위한 전략을 설명하는 데 성공했다. 하지만 이 작업을 하는 동안 위에서 언급했듯이 그의 건강이 감소했다.

Klein은 약 20년의 기간 동안 Robert Fricke와 함께 작성한 4권의 논문에서 자형 및 타원 모듈러 함수에 대한 그의 작업을 요약했다.

선정된 저작물

• 1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
• Project Gutenberg의 e-text, Cornell에서도 이용 가능
• 1884: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade G. G. Morrice의 영문 번역 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree Internet Archive를 통해
• G. G. Morrice의 영문 번역 1888 Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree Internet Archive를 통해
• 1886: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
• 1888: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
• 1894: Über die hypergeometrische Funktion
• 1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
• 1897: Arnold Sommerfeld과 함께 Theorie des Kreisels 나중 권: 1898, 1903, 1910
• 1890: Robert Fricke와 함께 Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2권 및 1892
• 1894: Evanston Colloquium 1893 Ziwet에 의해 보도 및 출판