証明が正しければ、他の認識は必要ない
Grigori Yakovlevich Perelmanはロシアの数学者であり、幾何学的解析、リーマン幾何学、幾何学的位相幾何学の分野への貢献で知られています。
1990年代には、Yuri Burago、Mikhael Gromov、Anton Petruninとの部分的な協力により、Alexandrov空間の研究に影響力のある貢献をしました。1994年、彼はリーマン幾何学の魂予想を証明しました。これは過去20年間未解決だった問題です。2002年と2003年に、彼はRicci流の解析における新しい技法を開発し、Poincaré予想とThurstonの幾何化予想の証明の詳細なスケッチを提供しました。前者は過去1世紀間、数学における有名な未解決問題でした。Perelmanの仕事の完全な詳細は、その後数年間にわたってさまざまな著者によって補充され説明されました。
2006年8月、Perelmanは「幾何学への貢献と、Ricci流の解析的および幾何学的構造に関する革新的な洞察」に対してFields賞の提供を受けましたが、彼は「お金や名声に興味がありません。動物園の動物のように展示されたくありません」と述べて受賞を辞退しました。2006年12月22日、科学雑誌Scienceは、Perelmanの Poincaré予想の証明を科学的「Breakthrough of the Year」として認識しました。これは数学分野での初めての認識です。
2010年3月18日、彼がPoincaré予想の解決に対する最初のClay Millennium賞を受け取る基準を満たしたことが発表されました。2010年7月1日、彼は100万ドルの賞金を拒否し、Ricci流の開発を先駆的に進めた数学者Richard S. Hamiltonの貢献と比べて、Poincaré予想の解決への彼の貢献が劣らないと考えたため、Clay研究所の理事会の決定は不公正だと述べました。彼は以前1996年に欧州数学会の著名な賞を拒否していました。
幼少期と教育
Grigori Yakovlevich Perelmanは、ソビエト連邦のLeningradで、現在はロシアのSaint Petersburgで1966年6月13日に、ロシア系ユダヤ人の両親Yakov（現在はイスラエルに住む）とLyubov（現在はSaint Petersburgでgrigoriと一緒に住む）の下に生まれました。Grigoriの母Lyubovは、彼を育てるために数学の大学院研究をあきらめました。Grigoriの数学的才能は10歳のときに明らかになり、彼の母親は彼をSergei Rukshinの放課後数学トレーニングプログラムに登録しました。
彼の数学教育は、高度な数学と物理学プログラムを備えた専門学校であるLeningrad Secondary School #239で続きました。Grigoriは体育を除くすべての科目で優れていました。1982年、高校生の国際競技会である国際数学オリンピックに競う Soviet Union チームのメンバーとして、彼は満点を達成して金メダルを獲得しました。彼はLeningrad State Universityの Mathematics and Mechanics学部の学生として継続し、入学試験なしで大学に登録されました。
1990年に博士号を取得した後、Perelmanはソビエト連邦科学アカデミーのLeningrad Department of Steklov Institute of Mathematicsで働き始めました。彼のアドバイザーはAleksandr AleksandrovとYuri Buragoでした。1980年代後半と1990年代初頭、幾何学者Mikhail Gromovからの強い推薦により、Perelmanはアメリカの複数の大学で研究職を得ました。1991年、Perelmanはcurvature bounded from below のAleksandrov空間での彼の仕事に対してSt. Petersburg Mathematical Societyの Young Mathematician Prizeを獲得しました。1992年、彼はNew York UniversityのCourant InstituteとStony Brook Universityで各1学期を過ごすよう招待されました。そこで彼はRicci曲率の下限付き多様体の研究を開始しました。そこから、彼は1993年にUniversity of California Berkeleyで2年間のMiller Research Fellowshipを受け入れました。1994年に魂予想を証明した後、PrincetonやStanfordを含むアメリカの複数の一流大学からの職の提供を受けましたが、彼はそれらすべてを拒否し、1995年の夏にSaint Petersburgの Steklov 研究所に研究専門職で戻りました。
1990年代の研究
この時期のPerelmanの最も注目すべき仕事はAlexandrov空間の分野でした。この概念は1950年代にさかのぼります。1992年の有名な論文でYuri BuragoおよびMikhail Gromovと共著で、Perelmanはこの分野の現代的基礎を、Gromov-Hausdorff収束の概念を組織原理として記述しました。1993年、Perelmanはこれらの非滑らかな空間でのMorse理論の概念を開発しました。Alexandrov空間での彼の仕事に対して、Perelmanは1994年の国際数学者会議で講演するよう招待されました。
Cheegerおよび Gromollの魂予想は1972年に定式化され、以下のように述べています：
（M、g）が完全で、連結で、非コンパクトなリーマン多様体であり、断面曲率K ≥ 0であり、Mに断面曲率（すべての断面方向で）が厳密に正である点が存在するとします。その場合、Mの魂は点です。つまり、MはRnと微分同相です。
これはCheegerおよび Gromollがすべての断面曲率が正であるより強い仮定の下で結果を確立していたため、関心がありました。非負から正曲率への変形は十分に理解されていないため、魂予想が提案されました。1994年、Perelmanは一般的な場合K ≥ 0では、Sharafutdinovの引き込みP : M → Sが浸没であることを確立することにより、予想の短くて優れた証明を与えました。
1994年から1997年のPerelmanの3つの注目すべき論文は、正のRicci曲率を持つさまざまな興味深いリーマン多様体の構築を扱っています。
幾何化およびPoincaré予想
問題
フランスの数学者Henri Poincaréが1904年に提案したPoincaré予想は、位相幾何学の重要な問題の1つでした。3球上のすべてのループ（4次元ユークリッド空間の原点から距離1にある点の集合によって例示される）は点に縮約できます。Poincaré予想は、ループが点に縮約できるような任意の閉じた3次元多様体は位相的に3球であると主張しています。類似の結果は、Stephen Smaleの1960年の仕事のように、5以上の次元で真であることが知られています。4次元の場合はより長く抵抗しましたが、最終的に1982年にMichael Freedmanによって解決されました。しかし、3多様体の場合は最も難しいことが判明しました。おおよそ、これは3多様体を位相的に操作する際に「問題のある領域」を他に干渉することなく移動させるための次元が少なすぎるためです。3次元の場合への最も基本的な貢献はRichard S. Hamiltonによって生成されました。Perelmanの役割はHamiltonプログラムを完成させることでした。
Perelmanの証明
2002年11月、Perelmanは幾何化予想の証明を概要したと主張する3つのプレプリントの最初のものをarXivに投稿しました。Poincaré予想は特定の場合です。これは2003年の他の2つのプレプリントが続きました。
Perelmanは予想の証明のためのRichard S. Hamiltonのプログラムを修正しました。中心的な考えはRicci流の概念です。Hamiltonの基本的な考えは、与えられた3多様体が幾何学的に歪む「動的プロセス」を定式化することです。歪みプロセスは熱方程式に類似した微分方程式によって支配されます。はるか以前にRiemannに彼のRiemannゼータ関数の零点に関するRiemann仮説を述べるよう動機づけた熱方程式は、温度などのスカラー量の振る舞いを説明しています。これは、上昇温度の濃度がオブジェクト全体で均一な温度が達成されるまで広がることを保証しています。同様に、Ricci流はテンシャル量、Ricci曲率テンソルの振る舞いを説明しています。Hamiltonの希望は、Ricci流の下で、大きな曲率の濃度が3多様体全体で均一な曲率が達成されるまで広がることでした。そうした場合、任意の3多様体で開始してRicci流が発生するようにした場合、原則として、最終的にはある種の「正規形」を得る必要があります。William Thurstonによると、この正規形は少数の可能性の1つをとる必要があり、それぞれがThurstonモデル幾何学と呼ばれる異なる種類の幾何学を持っています。
しかし、プロセスが「特異性」の発展によって妨害されると広く予想されていました。1990年代、Hamiltonは発生する可能性のある特異性のタイプを理解することに進展しましたが、包括的な説明を提供することはできませんでした。Perelmanの記事は解決策を概要しました。Perelmanによると、すべての特異性は円筒がその軸に崩壊しているか、球がその中心に崩壊しているかのいずれかのように見えます。この理解により、彼は標準的なRicci流の修正を構築することができました。手術付きRicci流と呼ばれ、特異領域を制御された方法で開発時に体系的に除去できます。手術付きRicci流の考えは1993年のHamiltonの記事から存在していました。彼はそれを1997年に特定の制限された幾何学的条件の対象となっている高次元空間の設定で正常に実施していました。Perelmanの手術手順はHamiltonのものと大部分で広く類似していましたが、その技術的側面で驚くほど異なっていました。
Perelmanは、限られた時間で開発するすべての特異性が本質的に3多様体の素分解に対応する特定の球に沿った「つまみ」であることを示しました。さらに、任意の「無限時間」特異性はJSJ分解の特定の崩壊部分から生じます。Perelmanの仕事はこの主張を証明し、したがって幾何化予想を証明します。
3つの論文の内容を以下に要約します：
- 最初のプレプリント「Ricci流のエントロピー公式とその幾何学的応用」は、Ricci流の研究における多くの新しい技法を提供し、その主な結果は流の高曲率領域の定量的特性化を与える定理です。
- 2番目のプレプリント「3多様体の手術付きRicci流」は、最初の論文の正しくない陳述の一部を修正し、いくつかの詳細を記入し、最初の論文の主な結果を使用して手術手順を規定します。論文の後半は、無限時間で存在するRicci流の分析に専念しています。
- 3番目のプレプリント「特定の3多様体のRicci流のソリューションの有限消滅時間」は、2番目のプレプリントの後半の議論を回避するPoincaré予想の証明への近道を提供します。これは、Poincaré予想の仮定を満たす任意の空間で、手術付きRicci流は有限時間のみ存在することを示しているため、Ricci流の無限時間分析は無関係です。
Tobias ColddingおよびWilliam Minicozzi IIは、Perelmanの3番目のプレプリントに完全に代替の議論を提供しました。1980年代に開発されたような洗練された幾何学的測度理論の議論の前提条件を与えられた彼らの議論は、特に単純です。
検証
Perelmanのプレプリントは数学コミュニティからすぐに注目を集めましたが、彼らはいくぶん簡潔に書かれていたため、理解するのが難しいと広く見られていました。学術数学出版物の通常のスタイルに反して、多くの技術的詳細が省略されていました。Perelmanが Ricci流の基礎に大きな貢献をしたことがすぐに明らかになりましたが、これらの貢献が幾何化予想またはPoincaré予想を証明するのに十分であるかは、数学コミュニティにはすぐには明らかではありませんでした。
2003年4月、Perelmanはマサチューセッツ工科大学、Princeton University、Stony Brook University、Columbia University、New York Universityを訪問し、彼の仕事に関する短いシリーズの講演を行い、関連分野の専門家のいくつかの詳細を明確にしました。
2003年6月、当時Michigan大学のBruce KleinerとJohn Lottの両方は、Lottのウェブサイトに投稿した注記をセクションごとに、Perelmanの最初のプレプリントの多くの詳細を記入しました。2004年9月に、彼らの注記は Perelmanの2番目のプレプリントを含めるように更新されました。さらなる改正と修正に続き、彼らは2006年5月25日にarXivにバージョンを投稿し、その修正版は2008年に学術雑誌Geometry & Topologyに発表されました。2006年の国際数学者会議で、Lottは「Perelmanの仕事を調べるのに時間がかかりました。これは部分的にはPerelmanの仕事の独創性と部分的に彼の議論の技術的洗練さによるものです。すべての兆候は彼の議論が正しいことです。」と述べました。彼らの記事の導入で、KleinerとLottは説明しました
Perelmanの証明は簡潔であり、時には素描です。これらの注記の目的は、[Perelmanの最初の2つのプレプリント]に欠落している詳細を提供することです...証明に関しては、[Perelmanの論文]には正しくない陳述と不完全な議論が含まれており、読者に指摘しようとしました。（[Perelmanの最初の論文]のいくつかの間違いは[Perelmanの2番目の論文]で修正されました。）Perelmanが導入した方法を使用して修正できない深刻な問題、つまり問題は見つかりませんでした。
2006年6月、Asian Journal of Mathematicsは
