我々は知らなければならない。我々は知るであろう。
David Hilbertはドイツの数学者であり、19世紀から20世紀初頭における最も影響力のある、また最も普遍的な数学者の一人でした。Hilbertは不変式論、変分法、可換代数、代数的整数論、幾何学の基礎、作用素のスペクトル理論とそれの積分方程式への応用、数理物理学、および特に証明論を含む数学の基礎など、多くの分野における広範な基本的思想を発見し発展させました。
Hilbertはゲオルク・カントールの集合論と超限数を採用し、温かく擁護しました。数学における彼のリーダーシップの有名な例は、20世紀の数学研究の大部分の針路を設定した問題の集合の1900年のプレゼンテーションです。
Hilbertとその学生たちは厳密性の確立に大きく貢献し、現代数理物理学で使用される重要な道具を開発しました。Hilbertは証明論と数理論理学の創設者の一人として知られています。
人生
初期の人生と教育
Hilbert、Otto と Maria Therese Erdtmann Hilbertの二人の子どもの中での最初の子どもで、唯一の息子は、プロイセン王国のプロイセン州で、Hilbert自身の陳述によるとKönigsbergで、あるいは1946年以来Znamenskとして知られているWehlauで生まれました。Wehlauは彼の出生時に彼の父が働いていたKönigsbergの近くにあります。
1872年後半、Hilbertはイマヌエル・カントが140年前に通った同じ学校であるFriedrichskolleg Gymnasium Collegium fridericianuを入学しました。しかし不幸な時期の後、1879年後半に転校し、1880年初期により科学志向のWilhelm Gymnasiumから卒業しました。卒業時の1880年秋、Hilbertは「Albertina」というKönigsbergの大学に登録しました。1882年初期、Hilbertより2歳年下でKönigsbergの同郷人でもあったHermann Minkowskiは、ベルリンに3学期間行った後、Königsbergに戻り、大学に入学しました。Hilbertは控えめで才能のあるMinkowskiと生涯の友情を育みました。
キャリア
1884年、Adolf Hurwitzは准教授であるExtraordinariusとしてGöttingenから到着しました。三人の間で強烈で実り多い科学交流が始まり、MinkowskiとHilbertは特に彼らの科学的キャリアの様々な段階で相互に影響を行使しました。Hilbertはフェルディナント・フォン・リンデマンの指導の下で、1885年に「Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen」「特に球面調和関数に関する、特殊な二項形式の不変性の性質について」というタイトルの論文で博士号を取得しました。
Hilbertは1886年から1895年までKönigsbergの大学でPrivatdozent上級講師として滞在しました。1895年、Felix Kleinによる彼への介入の結果として、彼はGöttingenの大学の数学教授の職を得ました。KleinとHilbertの年の間に、Göttingenは数学世界の最高の機関となりました。彼は生涯そこに留まりました。
Göttingenスクール
Hilbertの学生の中には、Hermann Weyl、チェスチャンピオンのEmanuel Lasker、Ernst Zermelo、およびCarl Gustav Henelがいました。John von Neumannは彼の助手でした。Göttingenの大学では、HilbertはEmmy NoetherやAlonzo Churchなど、20世紀の最も重要な数学者の何人かの社交圏に囲まれていました。
Göttingenでの69人のPh.D.学生の中で、後に有名な数学者となった多くの者は、論文の年代を含めて：Otto Blumenthal 1898、Felix Bernstein 1901、Hermann Weyl 1908、Richard Courant 1910、Erich Hecke 1910、Hugo Steinhaus 1911、およびWilhelm Ackermann 1925です。1902年から1939年の間、Hilbertは当時の主要な数学ジャーナルであるMathematische Annalenの編集者でした。
「良い、彼は数学者になるのに十分な想像力を持っていなかった」 —その学生の一人が詩を研究するためにドロップアウトしたことを聞いたときのHilbertの応答。
後年
1925年頃、Hilbertは悪性貧血を発症しました。これは当時治療不可能だったビタミン欠乏症で、その主な症状は疲労です。彼の助手Eugene Wignerは彼を「莫大な疲労」の対象として、そして彼が「かなり年を取っているように見えた」こと、そして最終的に診断と治療を受けた後も「1925年以降は科学者はほとんど、確実にHilbertではなかった」と説明しました。
Hilbertは1933年にGoettingenの大学で多くの著名な教職員をナチスが粛清するのを見ることができました。追放された者は、1930年にHilbertの職を引き継いだHermann Weyl、Emmy Noether、およびEdmund Landauを含みました。ドイツを離れなければならなかった者の一人、Paul Bernaysは、数学論理学においてHilbertと協力し、最終的に1934年と1939年の二巻で現れた重要な本「Grundlagen der Mathematik」を彼と共著しました。これはHilbert–Ackermann書「Principles of Mathematical Logic」の1928年からの続編でした。Hermann Weylの後継者はHelmut Hasseでした。
約1年後、Hilbertは晩餐会に出席し、新しい教育大臣Bernhard Rustの隣に座りました。Rustは「数学研究所は本当にユダヤ人の出発のためにそんなに苦しんだのか」と尋ねました。Hilbertは答えました、「苦しみ？それはもはや存在しないのではないでしょうか！」
死
Hilbertが1943年に死亡した時までに、ナチスはほぼ完全に大学を人員配置し直していました。多くの元教職員がユダヤ人であるか、ユダヤ人と結婚していたからです。Hilbertの葬式には10人未満の人が参列し、その中で学問的な同僚は2人だけで、理論物理学者でありKönigsbergの同郷人でもあるArnold Sommerfeld を含みました。彼の死のニュースは、彼が死んだ6ヶ月後まで世界に広く知られるようになりました。
Göttingenの彼の墓石の銘文は、1930年9月8日にドイツの科学者と医師の協会への彼の退職演説の終わりに彼が話した有名な行で構成されています。言葉はラテン語の格言「Ignoramus et ignorabimus」または「我々は知らない、我々は知らないであろう」への応答で与えられました：
英語で：
我々は知らなければならない。
我々は知るであろう。
Hilbertが1930年の科学者と医師のドイツ協会の年次総会でこれらの句を発表した前日、Kurt Gödelは、協会の会議と共同開催された認識論会議中の円卓討論会で、彼の不完全性定理の最初の表現を暫定的に発表しました。Gödelの不完全性定理は、Peano算術などの基本的公理システムさえも、自己矛盾しているか、証明または反証不可能な論理命題を含むことを示しています。
個人的な生活
1892年、Hilbertはドイツのユダヤ系の家族からのKäthe Jerosch 1864–1945と結婚しました。彼女は「Königsbergの商人の娘で、彼自身と一致した心の独立性を持った率直な若い女性」でした。Königsbergでの滞在中、彼らは唯一の子どもFranz Hilbert 1893–1969を持ちました。
Hilbertの息子Franzは彼の人生を通じて診断されていない精神病に苦しみました。彼の劣った知性は彼の父にとって恐ろしい失望であり、この不幸はGöttingenの数学者と学生たちにとって苦痛の問題でした。
Hilbertは数学者Hermann Minkowskiを彼の「最良で最も真実の友人」と見なしました。
Hilbertはプロイセン福音派教会の改革派として洗礼を受け、育てられました。彼は後に教会を離れ、不可知論者になりました。彼はまた、数学的真理が神の存在やその他の先験的な仮定の独立していたと主張しました。ガリレオ・ガリレイが地動説の彼の信念に立ち上がらなかったことで批判されたとき、Hilbertは反対しました：「しかし彼は馬鹿ではなかった。科学的真実は殉教を必要とすると信じることができるのは馬鹿だけです。それは宗教で必要かもしれませんが、科学的結果は時間とともに彼ら自身を証明します。」
Hilbertはゴルダンの問題を解く
不変関数に関するHilbertの最初の仕事は、1888年の彼の有名な有限性定理の実証に彼を導きました。20年前、Paul Gordan は複雑な計算アプローチを使用して、二項形式の生成元の有限性の定理を実証していました。彼の方法を2つ以上の変数を持つ関数に一般化しようとする試みは、計算の莫大な困難のために失敗しました。ゴルダンの問題として知られるようになった問題を解くために、Hilbertは完全に異なる道を歩む必要があることに気付きました。その結果として、彼はHilbertの基底定理を実証し、任意の数の変数の量の不変量のための有限な生成元の集合の存在を示しましたが、抽象的な形式で。つまり、そのような集合の存在を実証しながら、それは構成的証明ではありませんでした — それは「オブジェクト」を表示しませんでした — むしろ、それは存在証明であり、無限拡張における除外された中間の法則の使用に依存していました。
Hilbertは彼の結果をMathematische Annalenに送りました。Mathematische Annalenの不変式論の家の専門家であるGordan は、Hilbertの定理の革命的な性質を高く評価することができず、記事を拒否し、それが十分に包括的でないため、曝露を批判しました。彼のコメントは：
これは数学ではありません。これは神学です
一方、Kleinは仕事の重要性を認識し、何の変更もなくそれが出版されることを保証しました。Kleinに励まされて、Hilbertは第二の記事で彼の方法を拡張し、最小生成元の集合の最大次数の推定を提供し、それを再びAnnalen に送りました。原稿を読んだ後、Kleinは彼に手紙を書き、次のように言いました：
疑いなく、これはAnnalen がこれまでに出版した一般代数に関する最も重要な仕事です。
その後、Hilbertの方法の有用性が普遍的に認識されたことの後、Gordan自身は次のように言うでしょう：
私は神学さえもその利点を持つことに自分自身を説得しました。
彼のすべての成功のために、彼の証明の性質はHilbertが想像していたよりも多くの問題を作成しました。Kroneckerが譲歩していたが、Hilbertは後に同様の批判を他の者に応じて「多くの異なる構築は一つの基本的な考えの下に包含されている」—言い換えれば引用符Reid：「存在の証明を通して、Hilbertは構成を取得することができました」；「証明」つまりページ上の記号は「オブジェクト」でした。すべてが確信していません。Kroneckerはその後すぐに死ぬでしょうが、彼の構成主義の哲学は若いBrouwerとその発展している直観主義「学校」で続くでしょう。Hilbertの後年に彼のトルメントに。確かに、Hilbertは直観主義を彼の「才能のある学生」Weylを失うでしょう — 「Hilbertは彼の元の学生のBrouwerの考えへの魅力に悩まされていました。これはHilbertのKroneckerの記憶を喚起しました」。特に直観主義者のBrouwerはHilbertが使用していたように無限セットに対する排除中間の法則の使用に反対しました。Hilbertは応答しました：
幾何学の公理化
Hilbertによって1899年に発表された「Grundlagen der Geometrie」を参照：「幾何学の基礎」というテキストは、Hilbertの公理と呼ばれる形式的な集合を提案し、ユークリッドの伝統的な公理に代わるものです。彼らはユークリッドの識別された弱点を避けます。彼の作品は当時まだ教科書形式で使用されていました。Grundlagenの出版履歴を参照せずにHilbertが使用した公理を指定することは難しいです。Hilbertはそれらを何度か変更し修正しました。オリジナルの専門書はすぐにフランス語への翻訳に続きました。Hilbertはそこに完全性公理V.2を追加しました。Hilbertによって認可された英語翻訳がE.J. Townsendによって行われ、1902年に著作権を取得しました。この翻訳はフランス語翻訳でなされた変更を組み込んだため、第2版の翻訳と見なされます。Hilbertはテキストに変更を加え続け、複数の版がドイツ語で現れました。第7版はHilbertの生涯に現れた最後のものでした。第7版の後の新版が続きました。しかし、主なテキストは本質的には修正されませんでした。
Hilbertのアプローチは、現代の公理的方法への転換を知らせました。これにおいて、Hilbertはモーリッツ・パッシュの1882年からの仕事によって期待されていました。公理は自明の真実として扱われていません。幾何学は我々が強力な直感を持っているもの を扱うかもしれませんが、未定義の概念に明示的な意味を割り当てる必要はありません。要素、例えば点、線、平面などは、Hilbertがスチュワルトンフライとコッターに言われたように、テーブル、椅子、ビールのグラス、およびその他のそのようなオブジェクトに置き換えることができます。それは彼らの定義された関係です。
Hilbertは最初に未定義の概念を列挙します：点、線、平面、点と線、点と平面、および線と平面の間の関係の上にある、betweenness、点線分の対の合同性、および角の合同性。公理は平面幾何学とユークリッドの立体幾何学の両方を統一します
