もし定理さえあれば! そうすれば証明を容易に見つけることができるだろう。
ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマンはドイツの数学者で、解析学、数論、微分幾何学に貢献した。実解析の分野では、彼は主に積分の最初の厳密な定式化であるリーマン積分と、フーリエ級数に関する研究で知られている。複素解析への貢献には、特にリーマン面の導入が含まれ、複素解析の自然で幾何学的な扱いに新しい地平を開いた。素数計数関数に関する1859年の有名な論文は、リーマン予想の原始的な表現を含み、解析的数論で最も影響力のある論文の一つと見なされている。微分幾何学への先駆的な貢献を通じて、リーマンは一般相対性理論の数学の基礎を確立した。彼は多くの人から数学史上最高の数学者の一人と考えられている。
経歴
幼少期
リーマンは1826年9月17日、ハノーファー王国のダネンベルク近くの村ブレセレンツで生まれた。彼の父フリードリヒ・ベルンハルト・リーマンはブレセレンツの貧しいルター派牧師で、ナポレオン戦争に従事していた。彼の母シャルロッテ・エーベルは、子供たちが成人に達する前に亡くなった。リーマンは6人の子供の次男で、内気であり、多くの神経衰弱に苦しんでいた。リーマンは幼い頃から計算能力などの例外的な数学的才能を示していたが、臆病さと人前で話すことへの恐怖に悩まされていた。
教育
1840年の間に、リーマンはハノーファーに行き祖母と一緒に暮らし、リセ中学校に通った。1842年の祖母の死後、彼はヨハンネウム・リューネブルク高等学校に通った。高校では、リーマンは聖書を集中的に研究していたが、しばしば数学に気を取られていた。彼の教師たちは複雑な数学的操作を実行する彼の巧みな能力に驚嘆し、その過程で彼はしばしば彼の教師の知識を上回った。1846年、19歳の時、彼は牧師になるため、そして彼の家族の経済を助けるため、文献学とキリスト教神学の研究を始めた。
1846年の春、十分なお金を集めた後、彼の父はリーマンをゲッティンゲン大学に送った。そこで彼は神学の学位を目指して勉強する予定だった。しかし、そこに到着すると、彼はカール・フリードリヒ・ガウスの下、特に最小二乗法の方法に関する講義で数学を研究し始めた。ガウスはリーマンに神学的仕事を放棄し、数学の分野に入ることを勧めた。父の承認を得た後、リーマンは1847年ベルリン大学に転学した。彼の研究期間中、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ、ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ、ヤコブ・シュタイナー、ゴットホルト・アイゼンシュタインが教えていた。彼はベルリンに2年間滞在し、1849年にゲッティンゲンに戻った。
学界
リーマンは1854年に最初の講義を開始し、これはリーマン幾何学の分野を創立し、アルベルト・アインシュタインの一般相対性理論の舞台を設定した。1857年、ゲッティンゲン大学でリーマンを特任教授の地位に昇進させようとする試みがあった。この試みは失敗に終わったが、リーマンが最終的に定期的な給与を与えられるという結果になった。1859年、ゲッティンゲン大学でガウスの椅子を保有していたディリクレの死に続いて、彼はゲッティンゲン大学の数学部門の長に昇進した。彼はまた、物理的現実を説明するために3次元または4次元よりも高い次元を使用することを提案した最初の人でもあった。
1862年、彼はエリーゼ・コッホと結婚し、彼らは1862年12月22日に生まれた娘アイダ・シリングがいた。
プロテスタント家族とイタリアでの死
リーマンは1866年にハノーファーとプロイセンの軍隊がそこで衝突したとき、ゲッティンゲンから逃げた。彼はイタリアへの3番目の旅行中にセラスカ、今ヴェルバニアの一部である地点で肺結核で死亡し、ビガンゾーロ・ヴェルバニアの墓地に埋葬された。
リーマンは献身的なキリスト教信者で、プロテスタント牧師の息子で、数学者としての彼の人生を神に仕える別の方法と見なしていた。彼の人生の間、彼はキリスト教信仰に固く執着し、それが彼の人生の最も重要な側面であると考えていた。彼の死の時、彼は妻と一緒に主の祈りを唱えていて、彼らが祈りを終える前に死亡した。一方、ゲッティンゲンで、彼のハウスキーパーは彼のオフィスの論文の一部、公開されていない多くの仕事を含めて捨てた。リーマンは不完全な仕事を公開することを拒否し、いくつかの深い洞察は永遠に失われた可能性がある。
ビガンゾーロのイタリアのリーマンの墓石はローマ人への手紙8:28を指しています:
神の中で安らかに眠る
ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマン
ゲッティンゲン教授
ブレセレンツで生まれた、1826年9月17日
セラスカで死亡、1866年7月20日
神を愛する者たちのために、すべてのことが最善に向かって作用しなければならない
神の中で安らかに眠る ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマン ゲッティンゲン教授 ブレセレンツで生まれた、1826年9月17日 セラスカで死亡、1866年7月20日 神を愛する者たちのために、すべてのことが最善に向かって作用しなければならない
リーマン幾何学
リーマンの出版された作品は、解析と幾何学を組み合わせた研究領域を開いた。その後、これらはリーマン幾何学、代数幾何学、複素多様体理論の主要な部分となるだろう。リーマン面の理論はフェリックス・クラインによって、特にアドルフ・フルヴィッツによって詳しく説明された。数学のこの領域は位相幾何学の基礎の一部であり、現在でも数学物理学に新しい方法で適用されている。
1853年、ガウスは彼の学生リーマンに、幾何学の基礎についてのハビリタチオンシュリフトを準備するよう求めた。数ヶ月の間、リーマンは高次元の理論を発展させ、1854年にゲッティンゲンで「Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen」「幾何学の基礎となる仮説について」というタイトルの彼の講演を行った。それは12年後の1868年にデデキンドによって出版されたのは、彼の死の2年後だった。その初期の受け入れは遅いように見えるが、現在は幾何学で最も重要な著作の一つとして認識されている。
この작품によって創立された主題はリーマン幾何学である。リーマンはガウス自身が彼のtheorema egregiumで証明した曲面の微分幾何学をn次元に拡張する正しい方法を見つけた。基本的なオブジェクトはリーマン曲率テンソルと呼ばれる。表面の場合、これはスカラーの数、正、負、またはゼロに縮小することができる。ゼロ以外で定数の場合は既知の非ユークリッド幾何学のモデルである。
リーマンのアイデアは、空間内のすべてのポイント、つまり、それがどれだけ曲がっているか、または曲がっているかを説明するテンソルに数値のコレクションを導入することだった。リーマンは4次元空間では、多様体の特性を説明するために各点で10個の数値のコレクションが必要であることを発見しました。それがどれだけ歪んでいるかに関わらず。これが彼の幾何学の中心となる有名な構築で、現在ではリーマン計量として知られています。
複素解析
彼の論文では、彼はリーマン面を通じて複素解析の幾何学的基礎を確立し、無限に多くのシートを持つ対数や2つのシートを持つ平方根のような多値関数が一対一の関数になることができた。複素関数は調和関数です。つまり、これらの表面上でラプラス方程式とコーシー・リーマン方程式を満たし、特異点の位置と表面の位相によって記述されます。リーマン面の位相的な「種数」はg = w / 2 − n + 1パラメータの「モジュライ」で与えられます。
この領域への彼の貢献は多数である。有名なリーマン写像定理は、複素平面の単連結領域が「双正則同値」であること、つまり、それらの間の全単射があり、複素平面またはユニット円の内部のいずれかに正則逆を持つ正則であることを述べています。リーマン面への定理の一般化は有名な均一化定理で、19世紀にアンリ・ポアンカレとフェリックス・クラインによって証明されました。ここでも、厳密な証明は最初にこの場合の位相幾何学において、より豊富な数学的ツールの発展後に与えられました。リーマン面上の関数の存在の証明のために、彼は最小条件を使用し、それをディリクレ原理と呼んだ。カール・ワイエルシュトラスは証明のギャップを見つけた。リーマンは最小値が存在するという彼の仮定が機能しないかもしれないことに気付いていなかった。関数空間は完全でないかもしれず、したがって最小値の存在は保証されていなかった。変分法におけるダビッド・ヒルベルトの仕事を通じて、ディリクレ原理は最終的に確立された。そうでなければ、ワイエルシュトラスはリーマンに非常に感銘を受け、特に彼のアーベル関数の理論に感銘を受けた。リーマンの作品が現れたとき、ワイエルシュトラスはクレルの雑誌から彼の論文を撤回し、それを公開しなかった。1859年にリーマンがベルリンで彼を訪問したとき、彼らは良い理解を持っていた。ワイエルシュトラスは彼の学生ヘルマン・アマンドゥス・シュワルツに複素解析においてディリクレ原理の代替案を見つけるよう勧めたが、彼は成功した。アーノルド・ゾンマーフェルトからの逸話は、当代の数学者がリーマンの新しいアイデアで持っていた困難を示しています。1870年に、ワイエルシュトラスはリーマンの論文をリギへの休日に持っていき、それは理解するのが難しいと不平を言った。物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツは彼を一晩中仕事を手伝い、それが「自然」で「非常に理解できる」というコメントで返ってきた。
その他のハイライトには、リーマン面上のアーベル関数とシータ関数に関する彼の仕事が含まれています。リーマンは1857年からワイエルシュトラスと競争中でした。アーベル積分のヤコビアン逆問題を解くために、楕円積分の一般化である。リーマンはいくつかの変数のシータ関数を使用し、問題をこれらのシータ関数のゼロの決定に還元した。リーマンはまた周期行列を調査し、「リーマン周期関係」対称、実部負によってそれらを特徴付けた。フェルディナンド・ゲオルク・フロベニウスとソロモン・レフシェッツによってこの関係の妥当性はC n / Ωの埋め込みと同等です。これはリーマン面のヤコビアン多様体で、アーベル多様体の例です。
アルフレッド・クレプシュなどの多くの数学者がリーマンの代数曲線に関する仕事を進めた。これらの理論はリーマン面で定義された関数の特性に依存していた。例えば、リーマン・ロック定理ロックはリーマンの学生は、リーマン面のゼロと極に既知の条件を持つ線形独立微分の数について何かを言っています。
デットレフ・ラウグヴィッツによると、自己同形関数は電気帯電シリンダー上のラプラス方程式についてのエッセイに初めて登場しました。しかし、リーマンは1859年の超幾何関数に関する講演で、または最小表面に関する論文で、円への位相三角形のマッピングなど、共形写像にそのような関数を使用しました。
実解析
実解析の分野では、彼はハビリテーション中にリーマン積分を発見しました。特に、彼はすべての区分的に連続関数が積分可能であることを示しました。同様に、スティエルチェス積分はゲッティンゲン数学者にまで遡り、したがって彼らはリーマン・スティエルチェス積分と一緒に名付けられています。
彼の教師ディリクレの仕事に従ったフーリエ級数に関する彼のハビリテーション仕事では、彼はリーマン積分可能関数がフーリエ級数によって「表現可能」であることを示しました。ディリクレはこれを連続で、区分的に微分可能な関数に対して示しました。したがって、可算個数の非微分可能点で示しました。リーマンは、連続でほぼどこでも微分不可能なフーリエ級数を表現する関数の例を与え、ディリクレがカバーしていない場合。彼はまたリーマン・ルベスグ補題を証明した。関数がフーリエ級数で表現可能である場合、フーリエ係数は大きなnについてゼロになります。
リーマンのエッセイはまたゲオルク・カントールのフーリエ級数に関する仕事の出発点でもあり、これは集合論の原動力でした。
彼はまた1857年に複素解析的方法を使用して超幾何微分方程式で働いた。特異点について閉じた経路の動作によって記述される単調行列によって解をプレゼントした。以前に既知の単調行列による微分方程式の存在の証明は、ヒルベルト問題の一つである。
数論
彼は現代的な解析的数論への有名な貢献をしました。彼が数論の主題で出版した唯一の短い論文で、彼は現在彼の名前を持つゼータ関数を調査し、素数の分布を理解するためのその重要性を確立しました。リーマン予想は彼が関数の特性について行った推測のシリーズの一つでした。
リーマンの仕事では、さらに多くの興味深い発展があります。彼はレオンハルト・オイラーにすでに知られていたゼータ関数の関数方程式を証明し、その背後にあるシータ関数があります。実部1/2を持つ線のこの近似関数の非自明ゼロ上での合計を通じて、彼はπ xに対して正確で「明示的な公式」を与えました。
リーマンはパフヌティ・チェビシェフの素数定理に関する仕事を知っていた。彼は
