Felix Klein

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曲線が何かは誰もが知っています。ただし、数学を十分に学んだ人は、無数の可能な例外によって混乱してしまいます。

Christian Felix Klein は、群論、複素解析、非ユークリッド幾何学、および幾何学と群論の関連性に関する業績で知られているドイツの数学者および数学教育者でした。1872年の Erlangen プログラムは、基本的な対称群によって幾何学を分類し、当時の数学の多くの影響力のある統合でした。

生涯

Felix Klein は 1849年4月25日に Düsseldorf で生まれました。プロイセン人の両親に生まれ、彼の父 Caspar Klein（1809–1889）はライン州に駐在していたプロイセン政府官人の秘書でした。Klein の母は Sophie Elise Klein（1819–1890、旧姓 Kayser）でした。彼は Düsseldorf の Gymnasium に通い、その後 1865–1866 年に Bonn 大学で数学と物理学を勉強し、物理学者になることを目指していました。その当時、Julius Plücker は Bonn の数学および実験物理学の教授職を持っていましたが、1866年に Klein が彼の助手になったころまでに、Plücker の関心は幾何学になっていました。Klein は 1868年に Bonn 大学から Plücker の指導を受けて博士号を取得しました。

Plücker は 1868年に亡くなり、線形幾何学の基礎に関する彼の著書は未完成でした。Klein は Plücker の Neue Geometrie des Raumes の第2部を完成させるのに最適な人物であり、1868年に Göttingen に移転していた Alfred Clebsch と知り合いになりました。Klein は翌年 Clebsch を訪問し、Berlin と Paris にも訪問しました。1870年7月、普仏戦争の開始時に、彼は Paris にいて国を出なければなりませんでした。短い間、彼はプロイセン軍の医療従事者として働き、1871年初頭に Göttingen の講師に任命されました。

Erlangen は 1872年に Klein を教授に任命しました。その時彼はわずか23歳でした。このために、彼は Clebsch から支持を受けました。Clebsch は彼が自分の時代で最高の数学者になりそうだと考えていました。Klein は学生が少ない Erlangen での学校を望まず、1875年に Munich の Technische Hochschule での教授職を提供されて喜びました。そこで彼と Alexander von Brill は、Adolf Hurwitz、Walther von Dyck、Karl Rohn、Carl Runge、Max Planck、Luigi Bianchi、Gregorio Ricci-Curbastro を含む多くの優秀な学生に上級コースを教えました。

1875年に Klein は Anne Hegel と結婚しました。彼女は哲学者 Georg Wilhelm Friedrich Hegel の孫娘です。

Technische Hochschule での5年間の後、Klein は Leipzig の幾何学の教授職に任命されました。そこで彼の同僚は Walther von Dyck、Rohn、Eduard Study、Friedrich Engel を含んでいました。Klein の Leipzig での年（1880から1886年）は彼の人生を根本的に変えました。1882年に、彼の健康は崩壊しました。1883–1884年に、彼は抑うつに悩まされました。それにもかかわらず、彼の研究は続きました。超楕円シグマ関数に関する彼の重要な業績は、この時期頃から始まり、1886年と1888年に発表されました。

Klein は 1886年に Göttingen 大学での教授職を受け入れました。その後、1913年の退職まで、彼は Göttingen を世界の主要な数学研究センターとして再確立することを目指しました。しかし、彼は Leipzig から Göttingen に自分自身の幾何学の開発者としての優位性を転送することはできませんでした。Göttingen では、彼は力学や位勢論などの数学と物理学の間の相互関係に主に関する様々なコースを教えました。

Klein が Göttingen で確立した研究施設は、世界中の最高の施設のモデルとなりました。彼は週次の討論会を導入し、数学的な読書室とライブラリを作成しました。1895年に、Klein は Königsberg 大学から David Hilbert を雇用しました。この任命は運命的であることが判明しました。Hilbert は 1932年の彼自身の退職まで Göttingen の良い評判を続けたためです。

Klein の編集により、Mathematische Annalen は世界で最高の数学ジャーナルの1つになりました。Clebsch によって設立され、Klein の管理だけで、それは最初に Berlin の Crelle's Journal を競い、その後それを上回りました。Klein は定期的に会合し、民主的な決定を下す小さな編集者チームを確立しました。このジャーナルは複素解析、代数幾何学、および不変理論に特化していました。少なくとも Hilbert が主題を終了するまで。また、実解析と新しい群論の重要な発表口を提供しました。

彼の Leipzig 時代の Klein。

1893年に Chicago で、Klein は World's Columbian Exposition の一部として開催された International Mathematical Congress での主要な講演者でした。Klein の努力によって部分的に、Göttingen は 1893年に女性の入学を開始しました。彼は Göttingen で女性によって書かれた数学での最初の博士号論文を監督しました。彼女は Grace Chisholm Young で、Arthur Cayley の英国の学生でした。Klein は彼女を賞賛しました。1897年に Klein は Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences の外国人会員になりました。

1900年頃に、Klein は学校での数学教育に興味を持ち始めました。1905年に、彼は解析幾何学、微分積分学の初歩、および関数概念が中等学校で教えられることを勧告する計画の策定に決定的でした。この勧告は世界中の多くの国で段階的に実装されました。1908年に、Klein は Rome International Congress of Mathematicians で International Commission on Mathematical Instruction の大統領に選出されました。彼のガイダンスの下で、Commission のドイツの部分は、ドイツ全体の全レベルでの数学教育に関する多くの巻を発表しました。

London Mathematical Society は 1893年に Klein に De Morgan Medal を授与しました。彼は 1885年に Royal Society のメンバーに選出され、1912年にその Copley Medal を授与されました。彼は次の年に不健康のため退職しましたが、数年間、彼の自宅で数学を教え続けました。

Klein は、第一次世界大戦の初期段階でドイツのベルギー侵攻を支持して書かれた文書である Manifesto of the Ninety-Three の93人の署名者の1人でした。

Klein は Geheimrat 信頼できる顧問 という称号を持っていました。

彼は 1925年に Göttingen で亡くなりました。

業績

Klein の学位論文は、線形幾何学とその機械への応用に関するもので、Weierstrass の初等因子理論を使用して2次の線形複体を分類しました。

Klein の最初の重要な数学的発見は 1870年に行われました。Sophus Lie との共同で、彼は Kummer 曲面の漸近線の基本的な性質を発見しました。彼らは後に W-曲線、射影変換の群の下で不変な曲線を調査しました。Lie が Klein に群の概念を導入したのであり、これは彼の後の業績で大きな役割を果たすことになりました。Klein は Camille Jordan からも群について学びました。

Klein は彼にちなんで命名された「Klein ボトル」を考案しました。それは片側の閉じた表面であり、3次元ユークリッド空間に埋め込むことはできませんが、シリンダーとして浸漬することができ、「内側から」もう一方の端と結合するために自身を通して折り返されます。4次以上のユークリッド空間に埋め込むことができます。Klein ボトルの概念は、3次元 Möbius ストリップとして考案され、1つの構成方法は2つの Möbius ストリップのエッジの接着です。

1890年代の間、Klein は Arnold Sommerfeld とのジャイロスコープに関する執筆など、より集中的に数学物理学を研究し始めました。1894年に、彼は数学のその応用を含む百科事典の考えを開始し、Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften になりました。1935年まで続いたこの企業は、持続的な価値の重要な標準参考を提供しました。

Erlangen プログラム

1871年の間に、Göttingen にいる間に、Klein は幾何学で大きな発見をしました。彼は「いわゆる非ユークリッド幾何学について」という2つの論文を発表し、ユークリッド幾何学および非ユークリッド幾何学が Cayley-Klein メトリックによって決定されたメトリック空間と見なされることができることを示しました。この洞察は、非ユークリッド幾何学が一貫性があるのであれば、ユークリッド幾何学も一貫性があるという系を持っていました。ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学に同じステータスを与え、非ユークリッド幾何学に関するすべての論争を終わらせました。Arthur Cayley は Klein の議論を受け入れず、それが循環的であると信じていました。

与えられた変換群の下で不変である空間の特性の研究として幾何学を統合する Klein の統合は、Erlangen プログラムとして知られており、1872年に数学の進化に深く影響を与えました。このプログラムは Erlangen での教授としての Klein の就任講演によって開始されました。ただし、彼がその機会に与えた実際のスピーチではありませんでした。このプログラムは、受け入れられた現代的な方法となった統一された幾何学システムを提案しました。Klein は、与えられた幾何学の本質的な特性がそれらの特性を保存する変換のグループによってどのように表現されるかを示しました。したがって、プログラムの幾何学の定義は、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の両方を包含しました。

現在、幾何学に対する Klein の貢献の重要性はより以上に明らかです。ただし、それらの貢献が奇妙または間違っていると見なされるようになったためではありません。むしろ、それらの貢献は私たちの現在の数学的思考の非常に多くの部分になったため、それらの新規性を理解することは困難であり、そしてそれらがすぐに彼のすべての同時代人に受け入れられなかった方法です。

複素解析

Klein は複素解析に関する彼の業績を数学への彼の主要な貢献と見なしました。特に以下に関する彼の業績：

Klein は、モジュラー群がその平面をタイル張りするようにユークリッド平面の基本領域を移動することを示しました。1879年の間に、彼はモジュラー群のイメージと見なされる PSL2,7 のアクションを調べ、Klein 四次曲線と呼ばれる Riemann 曲面の明示的な表現を得ました。彼は、その表面が射影空間の曲線であること、その方程式が x3y + y3z + z3x = 0 であること、その対称性のグループが168次の PSL2,7 であることを示しました。彼の 1882年の「Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale」は複素解析を幾何学的な方法で扱い、位勢論および正則写像を接続しています。この業績は流体力学からの概念に基づいていました。

Klein は4次以上の方程式を考慮し、特に超越関数を使用して5次の一般方程式を解くことに関心がありました。Charles Hermite と Leopold Kronecker の方法に基づいて、彼は Brioschi のものと同様の結果を生成し、後に正二十面体群の手段によって完全に問題を解決しました。この業績により、彼は楕円モジュラー関数に関する一連の論文を書くことができました。

1884年の正二十面体に関する彼の著書では、Klein は自己同形関数の理論を確立し、代数と幾何学を関連付けました。しかし、Poincaré は 1881年の間に彼の自己同形関数の理論の概要を発表しました。これにより、2人の男の間で友好的な競争が生じました。どちらも、新しい理論をより完全に確立する壮大な統一化定理を述べ、証明することを求めました。Klein はそのような定理を定式化し、それを証明するための戦略を説明することに成功しました。しかし、この業績をしている間、彼の健康は上記のように減少しました。

Klein は、約20年間の期間にわたって Robert Fricke とともに書かれた4巻の論文で、自己同形関数および楕円モジュラー関数に関する彼の業績を要約しました。

主な業績

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