Come il sole eclissa le stelle per il suo splendore, così l'uomo di conoscenza eclisserà la fama degli altri nelle assemblee del popolo se propone problemi algebrici, e ancora di più se li risolve.
Brahmagupta era un matematico e astronomo indiano. È l'autore di due primi lavori sulla matematica e l'astronomia: il Brāhmasphuṭasiddhānta BSS, "dottrina correttamente stabilita di Brahma", datato 628, un trattato teorico, e il Khaṇḍakhādyaka "boccone commestibile", datato 665, un testo più pratico.
Brahmagupta fu il primo a fornire regole per il calcolo con lo zero. I testi composti da Brahmagupta erano in versi ellittici in sanscrito, come era pratica comune nella matematica indiana. Poiché non sono fornite dimostrazioni, non è noto come i risultati di Brahmagupta siano stati derivati.
Vita e carriera
Brahmagupta nacque nel 598 CE secondo la sua stessa affermazione. Visse a Bhillamāla in Gurjaradesa, moderna Bhinmal nel Rajasthan, India, durante il regno del sovrano della dinastia Chavda, Vyagrahamukha. Era il figlio di Jishnugupta ed era indù per religione, in particolare un seguace di Shiva. Visse e lavorò lì per una buona parte della sua vita. Prithudaka Svamin, un commentatore successivo, lo chiamò Bhillamalacharya, l'insegnante da Bhillamala.
Bhillamala era la capitale di Gurjaradesa, il secondo regno più grande dell'India occidentale, comprendente il Rajasthan meridionale e il Gujarat settentrionale nell'India moderna. Era anche un centro di apprendimento per la matematica e l'astronomia. Brahmagupta divenne un astronomo della scuola Brahmapaksha, una delle quattro principali scuole di astronomia indiana durante questo periodo. Studiò i cinque tradizionali Siddhartha sull'astronomia indiana così come il lavoro di altri astronomi tra cui Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin e Vishnuchandra.
Nel 628, all'età di 30 anni, compose il 'Brāhmasphuṭasiddhānta' il trattato migliorato di Brahma, che si ritiene sia una versione rivista del Siddhanta ricevuto della scuola Brahmapaksha di astronomia. Gli studiosi affermano che ha incorporato una grande quantità di originalità nella sua revisione, aggiungendo una notevole quantità di nuovo materiale. Il libro consiste di 24 capitoli con 1008 versi nel metro ārya. Una buona parte riguarda l'astronomia, ma contiene anche capitoli chiave sulla matematica, inclusi algebra, geometria, trigonometria e algoritmica, che si ritiene contengano nuove intuizioni dovute allo stesso Brahmagupta.
Successivamente, Brahmagupta si trasferì a Ujjaini, Avanti, che era anche un importante centro di astronomia nell'India centrale. All'età di 67 anni, compose il suo prossimo lavoro ben noto Khanda-khādyaka, un manuale pratico di astronomia indiana nella categoria karana destinato ad essere utilizzato dagli studenti.
Brahmagupta morì nel 668 CE, e si presume che sia morto a Ujjain.
Controversia
Brahmagupta ha diretto una grande quantità di critiche al lavoro degli astronomi rivali, e il suo Brahmasphutasiddhanta mostra uno dei primi scismi tra i matematici indiani. La divisione era principalmente sull'applicazione della matematica al mondo fisico, piuttosto che sulla matematica stessa. Nel caso di Brahmagupta, i disaccordi derivavano in gran parte dalla scelta dei parametri e delle teorie astronomiche. Le critiche alle teorie rivali compaiono in tutto i primi dieci capitoli astronomici e l'undicesimo capitolo è interamente dedicato alla critica di queste teorie, sebbene non compaiano critiche nel dodicesimo e diciottesimo capitolo.
Ricezione
Lo storico della scienza George Sarton lo ha definito "uno dei più grandi scienziati della sua razza e il più grande del suo tempo." I progressi matematici di Brahmagupta furono continuati ulteriormente da Bhāskara II, un discendente diretto a Ujjain, che descrisse Brahmagupta come ganaka-chakra-chudamani il gioiello del cerchio dei matematici. Prithudaka Svamin scrisse commentari su entrambi i suoi lavori, rendendo i versi difficili in linguaggio più semplice e aggiungendo illustrazioni. Lalla e Bhattotpala nell'8º e 9º secolo scrissero commentari su Khanda-khadyaka. Ulteriori commentari continuarono a essere scritti fino al 12º secolo.
Pochi decenni dopo la morte di Brahmagupta, il Sindh entrò sotto il Califfato arabo nel 712 CE. Spedizioni furono inviate in Gurjaradesa "Al-Baylaman in Jurz", secondo gli storici arabi. Il regno di Bhillamala sembra essere stato annientato ma Ujjain ha respinto gli attacchi. La corte del Califfo Al-Mansur 754–775 ricevette un'ambasciata dal Sindh, incluso un astrologo chiamato Kanaka, che portò probabilmente testi astronomici memorizzati, inclusi quelli di Brahmagupta. I testi di Brahmagupta furono tradotti in arabo da Muhammad al-Fazari, un astronomo della corte di Al-Mansur con i nomi Sindhind e Arakhand. Un risultato immediato fu la diffusione del sistema numerico decimale utilizzato nei testi. Il matematico Al-Khwarizmi 800–850 CE scrisse un testo intitolato al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind Addizione e sottrazione nell'aritmetica indiana, che fu tradotto in latino nel 13º secolo come Algorithmi de numero indorum. Attraverso questi testi, il sistema numerico decimale e gli algoritmi di Brahmagupta per l'aritmetica si sono diffusi in tutto il mondo. Al-Khwarizmi scrisse anche la sua versione di Sindhind, basandosi sulla versione di Al-Fazari e incorporando elementi tolemaici. Il materiale astronomico indiano ha circolato ampiamente per secoli, passando persino nei testi latini medievali.
Matematica
Algebra
Brahmagupta ha fornito la soluzione dell'equazione lineare generale nel capitolo diciotto di Brahmasphutasiddhānta,
che è una soluzione per l'equazione bx + c = dx + e dove rupas si riferisce alle costanti c e e. La soluzione fornita è equivalente a x = e − c/b − d. Ha inoltre fornito due soluzioni equivalenti all'equazione quadratica generale
18.44. Diminuisci per il numero medio la radice quadrata delle rupas moltiplicata per quattro volte il quadrato e aumentata dal quadrato del numero medio; dividi il resto per il doppio del quadrato. [Il risultato è] il numero medio.
18.45. Qualunque sia la radice quadrata delle rupas moltiplicata per il quadrato [e] aumentata dal quadrato della metà dell'incognita, diminuisci quello per la metà dell'incognita [e] dividi [il resto] per il suo quadrato. [Il risultato è] l'incognita.
che sono, rispettivamente, soluzioni per l'equazione ax2 + bx = c equivalenti a,
e
Ha poi risolto i sistemi di equazioni indeterminate simultanee affermando che la variabile desiderata deve prima essere isolata e poi l'equazione deve essere divisa per il coefficiente della variabile desiderata. In particolare, ha raccomandato l'uso di "il polverizzatore" per risolvere equazioni con più incognite.
18.51. Sottrarre i colori diversi dal primo colore. [Il resto] diviso per il primo [coefficiente del colore] è la misura del primo. [I termini] due a due [sono] considerati [quando ridotti a] divisori simili, [e così via] ripetutamente. Se ci sono molti [colori], il polverizzatore [deve essere usato].
Come l'algebra di Diofanto, l'algebra di Brahmagupta era sincopata. L'addizione era indicata ponendo i numeri uno accanto all'altro, la sottrazione posizionando un punto sul sottraendo, e la divisione posizionando il divisore sotto il dividendo, simile alla nostra notazione ma senza la barra. La moltiplicazione, l'evoluzione e le quantità incognite erano rappresentate da abbreviazioni di termini appropriati. L'estensione dell'influenza greca su questa sincope, se esiste, non è nota ed è possibile che sia la sincope greca che quella indiana possono derivare da una fonte babilonese comune.
Aritmetica
Le quattro operazioni fondamentali addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione erano conosciute a molte culture prima di Brahmagupta. Questo sistema attuale si basa sul sistema numerico arabo-indiano e apparve per la prima volta in Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta descrive la moltiplicazione così "Il moltiplicando è ripetuto come una stringa per il bestiame, tante volte quante sono le parti integranti nel moltiplicatore e è ripetutamente moltiplicato per esse e i prodotti sono sommati. È moltiplicazione. O il moltiplicando è ripetuto tante volte quante sono le parti componenti nel moltiplicatore". L'aritmetica indiana era conosciuta nell'Europa medievale come "Modus Indorum" che significa metodo degli indiani. In Brahmasphutasiddhanta, la moltiplicazione era chiamata Gomutrika.
All'inizio del capitolo dodici del suo Brahmasphutasiddhānta, intitolato Calcolo, Brahmagupta descrive le operazioni sulle frazioni. Al lettore ci si aspetta che conosca le operazioni aritmetiche di base fino alla radice quadrata, anche se spiega come trovare il cubo e la radice cubica di un intero e successivamente fornisce regole che facilitano il calcolo dei quadrati e delle radici quadrate. Fornisce quindi regole per trattare cinque tipi di combinazioni di frazioni: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = ad + b/cd; e a/c − b/d × a/c = ad − b/cd.
Serie
Brahmagupta continua a fornire la somma dei quadrati e dei cubi dei primi n interi.
Qui Brahmagupta ha trovato il risultato in termini della somma dei primi n interi, piuttosto che in termini di n come è la pratica moderna.
Fornisce la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali come nn + 12n + 1/6 e la somma dei cubi dei primi n numeri naturali come nn + 1/22.
Zero
Brahmagupta's Brahmasphuṭasiddhānta è il primo libro che fornisce regole per le manipolazioni aritmetiche che si applicano a zero e ai numeri negativi. Brahmasphutasiddhānta è il testo più antico conosciuto che tratta lo zero come un numero a sé stante, piuttosto che semplicemente come una cifra segnaposto nel rappresentare un altro numero come facevano i Babilonesi o come un simbolo per una mancanza di quantità come facevano Tolomeo e i Romani. Nel capitolo diciotto del suo Brahmasphutasiddhānta, Brahmagupta descrive le operazioni sui numeri negativi. Descrive prima l'addizione e la sottrazione,
18.30. [La somma] di due positivi è positiva, di due negativi negativa; di un positivo e di un negativo [la somma] è la loro differenza; se sono uguali è zero. La somma di un negativo e zero è negativa, [quella] di un positivo e zero positiva, [e quella] di due zeri zero.
18.32. Un negativo meno zero è negativo, un positivo [meno zero] positivo; zero [meno zero] è zero. Quando un positivo deve essere sottratto da un negativo o un negativo da un positivo, allora deve essere aggiunto.
Continua a descrivere la moltiplicazione,
18.33. Il prodotto di un negativo e di un positivo è negativo, di due negativi positivo, e di positivi positivo; il prodotto di zero e un negativo, di zero e un positivo, o di due zeri è zero.
Ma la sua descrizione della divisione per zero differisce dalla nostra comprensione moderna:
18.34. Un positivo diviso per un positivo o un negativo diviso per un negativo è positivo; uno zero diviso per zero è zero; un positivo diviso per un negativo è negativo; un negativo diviso per un positivo è [anche] negativo.
18.35. Un negativo o un positivo diviso per zero ha quello [zero] come suo divisore, o zero diviso per un negativo o un positivo [ha quel negativo o positivo come suo divisore]. Il quadrato di un negativo o di un positivo è positivo; [il quadrato] di zero è zero. Quello di cui [il quadrato] è il quadrato è [la sua] radice quadrata.
Qui Brahmagupta afferma che / = 0 e per quanto riguarda la questione di a/ dove a ≠ 0 non si è impegnato. Le sue regole per l'aritmetica sui numeri negativi e zero sono abbastanza vicine alla comprensione moderna, ad eccezione del fatto che nella matematica moderna la divisione per zero rimane indefinita.
Analisi diofantina
Terne pitagoriche
Nel capitolo dodici del suo Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta fornisce una formula utile per generare terne pitagoriche:
12.39. L'altezza di una montagna moltiplicata per un moltiplicatore dato è la distanza da una città; non è cancellata. Quando è divisa per il moltiplicatore aumentato di due è il salto di uno dei due che fanno lo stesso viaggio.
Oppure, in altre parole, se d = mx/x + 2, allora un viaggiatore che "salta" verticalmente verso l'alto a una distanza d dalla cima di una montagna di altezza m, e poi viaggia in linea retta verso una città a una distanza orizzontale mx dalla base della montagna, percorre la stessa distanza di uno che scende verticalmente la montagna e poi viaggia orizzontalmente verso la città. Affermato geometricamente, questo dice che se un triangolo rettangolo ha una base di lunghezza a = mx e un'altitudine di lunghezza b = m + d, allora la lunghezza, c, della sua ipotenusa è data da c = m1 + x − d. E, infatti, la manipolazione algebrica elementare mostra che a2 + b2 = c2 ogni volta che d ha il valore indicato. Inoltre, se m e x sono razionali, lo sono anche d, a, b e c. Una terna pitagorica può quindi essere ottenuta da a, b e c moltiplicando ciascuno di essi per il minimo comune multiplo dei loro denominatori.
Equazione di Pell
Brahmagupta ha continuato a fornire una relazione di ricorrenza per generare soluzioni per determinati casi di equazioni diofantee del
