हर अच्छा गणितज्ञ कम से कम आधा दार्शनिक है, और हर अच्छा दार्शनिक कम से कम आधा गणितज्ञ है।
Friedrich Ludwig Gottlob Frege एक जर्मन दार्शनिक, तार्किक और गणितज्ञ थे। वे Jena विश्वविद्यालय में गणित के प्रोफेसर के रूप में काम करते थे, और कई लोगों द्वारा विश्लेषणात्मक दर्शन के जनक के रूप में समझे जाते हैं, जो भाषा के दर्शन, तर्क और गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं। हालांकि वे अपने जीवनकाल में बहुत हद तक नजरअंदाज किए गए थे, Giuseppe Peano 1858–1932, Bertrand Russell 1872–1970, और कुछ हद तक Ludwig Wittgenstein 1889–1951 ने उनके काम को दार्शनिकों की बाद की पीढ़ियों के लिए प्रस्तुत किया।
उनके योगदान में Begriffsschrift में आधुनिक तर्क का विकास और गणित की नींव में काम शामिल हैं। उनकी पुस्तक Foundations of Arithmetic तार्किकतावादी परियोजना का मुख्य पाठ है, और Michael Dummett द्वारा भाषाई मोड़ को इंगित करने के लिए उद्धृत किया गया है। उनके दार्शनिक पत्र "On Sense and Reference" और "The Thought" भी व्यापक रूप से उद्धृत हैं। पूर्व दो अलग-अलग प्रकार के अर्थ और वर्णनावाद के लिए तर्क देता है। Foundations और "The Thought" में, Frege संख्याओं और प्रस्तावों के संबंध में क्रमशः मनोवैज्ञानिकता या औपचारिकता के विरुद्ध Platonism के लिए तर्क देते हैं। Russell के विरोधाभास ने Frege के Basic Law V को Foundations में गलत दिखाकर तार्किकतावादी परियोजना को कमजोर किया।
जीवन
बचपन 1848–69
Frege का जन्म 1848 में Wismar, Mecklenburg-Schwerin में हुआ था जो आज Mecklenburg-Vorpommern का हिस्सा है। उनके पिता Carl Karl Alexander Frege 1809–1866 एक लड़कियों के उच्च विद्यालय के सह-संस्थापक और प्रधानाध्यापक थे जब तक उनकी मृत्यु नहीं हुई। Carl की मृत्यु के बाद, स्कूल का नेतृत्व Frege की माता Auguste Wilhelmine Sophie Frege née Bialloblotzky, 12 January 1815 – 14 October 1898 ने किया; उनकी माता Auguste Amalia Maria Ballhorn थीं, Philipp Melanchthon की एक वंशज, और उनके पिता Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky थे, जो 17वीं शताब्दी में Poland छोड़ गए एक पोलिश कुलीन परिवार के वंशज थे।
बचपन में, Frege ने ऐसे दर्शनों का सामना किया जो उनके भविष्य के वैज्ञानिक करियर का मार्गदर्शन करेंगे। उदाहरण के लिए, उनके पिता ने 9–13 वर्ष की आयु के बच्चों के लिए जर्मन भाषा पर एक पाठ्यपुस्तक लिखी थी, जिसका शीर्षक Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren 2nd ed., Wismar 1850; 3rd ed., Wismar and Ludwigslust: Hinstorff, 1862 9 से 13 वर्ष के बच्चों को जर्मन पढ़ाने के लिए Help book था; इसके पहले भाग में भाषा की संरचना और तर्क से संबंधित था।
Frege ने Große Stadtschule Wismar में अध्ययन किया और 1869 में स्नातक हुए। उनके शिक्षक Gustav Adolf Leo Sachse 5 November 1843 – 1 September 1909, जो एक कवि थे, ने Frege के भविष्य के वैज्ञानिक करियर को निर्धारित करने में सबसे महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, उन्हें Jena विश्वविद्यालय में अपनी पढ़ाई जारी रखने के लिए प्रोत्साहित किया।
विश्वविद्यालय में अध्ययन 1869–74
Frege ने 1869 के वसंत में Jena विश्वविद्यालय में North German Confederation के नागरिक के रूप में नामांकन किया। अपनी पढ़ाई के चार सेमेस्टर में उन्होंने लगभग बीस व्याख्यान पाठ्यक्रमों में भाग लिया, अधिकांश गणित और भौतिकी पर। उनका सबसे महत्वपूर्ण शिक्षक Ernst Karl Abbe 1840–1905 था; भौतिकविद्, गणितज्ञ और आविष्कारक। Abbe ने गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत, गैल्वनिजम और विद्युत गतिशीलता, जटिल विश्लेषण जटिल चर के कार्यों का सिद्धांत, भौतिकी के अनुप्रयोग, यांत्रिकी के चयनित विभाग और ठोस की यांत्रिकी पर व्याख्यान दिए। Abbe Frege के लिए सिर्फ एक शिक्षक से अधिक थे: वह एक विश्वस्त मित्र थे, और optical निर्माता Carl Zeiss AG के निदेशक के रूप में, वह Frege के करियर को आगे बढ़ाने की स्थिति में थे। Frege की स्नातकता के बाद, वे अधिक निकट पत्राचार में आए।
उनके अन्य प्रमुख विश्वविद्यालय शिक्षक Christian Philipp Karl Snell 1806–86 थे; विषय: ज्यामिति में infinitesimal विश्लेषण का उपयोग, समतलों की analytic ज्यामिति, विश्लेषणात्मक यांत्रिकी, प्रकाशिकी, यांत्रिकी की भौतिक नींव; Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900; analytic ज्यामिति, applied भौतिकी, algebraic विश्लेषण, telegraph और अन्य electronic मशीनों पर; और दार्शनिक Kuno Fischer 1824–1907; Kantian और critical दर्शन।
1871 से शुरू करते हुए, Frege ने Göttingen में अपनी पढ़ाई जारी रखी, जर्मन भाषी क्षेत्रों में गणित में leading विश्वविद्यालय, जहां उन्होंने Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72 के व्याख्यान में भाग लिया; analytic ज्यामिति, Ernst Christian Julius Schering 1824–97; function सिद्धांत, Wilhelm Eduard Weber 1804–91; भौतिक अध्ययन, applied भौतिकी, Eduard Riecke 1845–1915; विद्युत सिद्धांत, और Hermann Lotze 1817–81; धर्म का दर्शन। परिपक्व Frege की कई दार्शनिक doctrines के Lotze में समानताएं हैं; यह विद्वानों की बहस का विषय रहा है कि क्या Lotze के व्याख्यान में भाग लेने से उत्पन्न Frege के विचारों पर direct प्रभाव था या नहीं।
1873 में, Frege ने Ernst Christian Julius Schering के अंतर्गत अपना डॉक्टरेट प्राप्त किया, "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" "एक समतल में काल्पनिक रूपों का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व" शीर्षक वाली एक शोध प्रबंध के साथ, जिसमें वे ज्यामिति में fundamental समस्याओं को हल करने का लक्ष्य रखते थे जैसे projective ज्यामिति के infinitely दूर काल्पनिक बिंदुओं की गणितीय व्याख्या।
Frege ने Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 15 February 1856 – 25 June 1904 से 14 March 1887 को विवाह किया।
एक तार्किक के रूप में काम
हालांकि उनकी शिक्षा और प्रारंभिक गणितीय कार्य मुख्य रूप से ज्यामिति पर केंद्रित थे, Frege का काम जल्द ही तर्क की ओर मुड़ गया। उनका Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens , Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 तर्क के इतिहास में एक मोड़ का निशान बन गया। Begriffsschrift ने नई जमीन तोड़ी, जिसमें कार्यों और चर के विचारों का एक कठोर उपचार शामिल था। Frege का लक्ष्य यह दिखाना था कि गणित तर्क से निकलता है, और ऐसा करने में, उन्होंने ऐसी तकनीकें तैयार कीं जो उन्हें Aristotelian syllogistic और Stoic propositional तर्क से far beyond ले गईं जो उन्हें तार्किक परंपरा में आया था।
प्रभाव में, Frege ने axiomn predicate तर्क का आविष्कार किया, बहुत हद तक quantified चर के अपने आविष्कार के कारण, जो अंततः गणित और तर्क में ubiquitous बन गए, और जिसने multiple generality की समस्या को हल किया। Previous तर्क logical constants और, या, अगर... फिर..., नहीं, और कुछ और सभी के साथ dealt था, लेकिन इन operations की iterations, विशेष रूप से "कुछ" और "सभी", को बहुत कम समझा गया था: यहां तक कि "हर लड़का कुछ लड़की से प्यार करता है" और "कुछ लड़की हर लड़के द्वारा प्यार की जाती है" जैसे वाक्य के बीच का अंतर भी कृत्रिमता से ही represent किया जा सकता था, जबकि Frege की formalism को "हर लड़का कुछ लड़की से प्यार करता है जो कुछ लड़के से प्यार करती है जो कुछ लड़की से प्यार करता है" और similar वाक्यों की different पढ़ाई को completely parallel में व्यक्त करने में कोई कठिनाई नहीं थी, जैसे "हर लड़का foolish है" के साथ उनके उपचार के रूप में।
एक frequently noted उदाहरण यह है कि Aristotle का logic mathematical statements जैसे Euclid की theorem, एक fundamental statement of number theory जो बताता है कि prime numbers की एक infinite संख्या है, को represent करने में unable है। हालांकि, Frege की "conceptual notation" ऐसे inferences को represent कर सकती है। logical concepts का analysis और formalization की machinery जो essential है Principia Mathematica 3 vols., 1910–13, में Bertrand Russell, 1872–1970, और Alfred North Whitehead, 1861–1947 द्वारा, Russell के theory of descriptions के लिए, Kurt Gödel के 1906–78 incompleteness theorems के लिए, और Alfred Tarski के 1901–83 theory of truth के लिए, अंततः Frege के कारण है।
Frege के stated उद्देश्यों में से एक genuinely logical principles of inference को isolate करना था, ताकि mathematical proof के proper representation में, कोई भी बिंदु पर "intuition" के लिए appeal नहीं करेगा। अगर कोई intuitive element था, तो इसे isolate और represent अलग से एक axiom के रूप में किया जाना था: वहां से, proof purely logical और without gaps होना था। इस संभावना को exhibit करने के बाद, Frege का larger उद्देश्य यह दृष्टिकोण defend करना था कि arithmetic logic की एक branch है, एक दृष्टिकोण जिसे logicism कहा जाता है: geometry के विपरीत, arithmetic को दिखाया जाना था कि इसका "intuition" में कोई आधार नहीं है, और non-logical axioms की कोई आवश्यकता नहीं है। पहले से ही 1879 Begriffsschrift में महत्वपूर्ण preliminary theorems, उदाहरण के लिए, law of trichotomy का एक generalized form, pure logic समझे गए के भीतर derive किए गए थे।
यह विचार non-symbolic terms में उनकी The Foundations of Arithmetic Die Grundlagen der Arithmetik, 1884 में formulated किया गया था। बाद में, उनकी Basic Laws of Arithmetic Grundgesetze der Arithmetik, vol. 1, 1893; vol. 2, 1903; vol. 2 को उनकी अपनी expense पर publish किया गया था, Frege ने अपनी symbolism के use द्वारा, arithmetic के सभी laws को axioms से derive करने का प्रयास किया जो वह logical के रूप में assert करते थे। इनमें से अधिकांश axioms अपनी Begriffsschrift से carry over किए गए थे, हालांकि कुछ significant changes के बिना नहीं। एकमात्र truly new principle वह था जिसे उन्होंने Basic Law V कहा: function fx का "value-range" function gx के "value-range" के समान है यदि और केवल यदि ∀x।
law के crucial case को modern notation में निम्नानुसार formulate किया जा सकता है। मान लीजिए {x|Fx} predicate Fx के extension को denote करता है, अर्थात्, सभी Fs का set, और Gx के लिए similarly। फिर Basic Law V कहता है कि predicates Fx और Gx का same extension है यदि और केवल यदि ∀x। Fs का set Gs के set के समान है just in case हर F एक G है और हर G एक F है। case special है क्योंकि जिसे यहां predicate के extension, या एक set कहा जा रहा है, वह एक function के "value-range" का केवल एक प्रकार है।
एक famous episode में, Bertrand Russell ने Frege को लिखा, जैसे ही Grundgesetze का Vol. 2 1903 में press पर जाने वाला था, यह दिखाते हुए कि Russell के paradox को Frege के Basic Law V से derive किया जा सकता है। एक set या extension की membership के relation को Frege के system में define करना आसान है; Russell ने तब "चीजों का set x जो कि x is such कि x is not a member of x" पर ध्यान दिलाया। Grundgesetze का system imply करता है कि इस तरह characterised set both है और itself का member नहीं है, और इस प्रकार inconsistent है। Frege ने Vol. 2 के लिए एक hasty, last-minute Appendix लिखा, contradiction को derive किया और इसे Basic Law V को modify करके eliminate करने का प्रस्ताव दिया। Frege ने exceptionally honest comment के साथ Appendix खोला: "एक वैज्ञानिक लेखक के लिए कुछ भी अधिक unfortunate नहीं हो सकता है कि उसकी इमारत की एक नींव को काम खत्म होने के बाद हिलाया जाए। यह वह स्थिति थी जिसमें मुझे Mr. Bertrand Russell के एक letter से रखा गया था, बिल्कुल जब इस volume की printing अपनी completion के करीब था।" यह letter और Frege का reply Jean van Heijenoort 1967 में translate किए गए हैं।
Frege की proposed remedy को बाद में दिखाया गया कि यह imply करती है कि discourse के universe में केवल एक object है, और इसलिए worthless है वास्तव में, यह Frege के system में एक contradiction बनाएगा यदि वह ने idea को axiomatize किया था, fundamental अपनी discussion के लिए, कि True और False distinct objects हैं; देखें, उदाहरण के लिए, Dummett 1973, लेकिन recent काम ने दिखाया है कि Grundgesetze के program का अधिकांश अन्य तरीकों से salvage किया जा सकता है:
- Basic Law V को अन्य तरीकों से weaken किया जा सकता है। सबसे well-known तरीका philosopher और mathematical logician George Boolos 1940–1996 के कारण है, जो Frege के काम पर एक expert थे। एक "concept" F "small" है यदि F के अंतर्गत आने वाली objects को discourse के universe के साथ one-to-one correspondence में नहीं रखा जा सकता है, अर्थात्, जब तक: ∃R[R is 1-to-1 & ∀x∃yxRy & Fy]। अब V को V* में weaken करें: एक "concept" F और एक "concept" G का same "extension" है यदि और केवल यदि न तो F न ही G small है या ∀xFx ↔ Gx। V* consistent है यदि second-order arithmetic है, और second-order arithmetic के axioms को prove करने के लिए suffices।
- Basic Law V को बस Hume के principle के साथ replace किया जा सकता है, जो कहता है कि Fs की संख्या Gs की संख्या के समान है यदि और
