चाहे कोई गणितीय प्रमेय कितना भी सही प्रतीत हो, किसी को कभी भी संतुष्ट नहीं होना चाहिए कि इसमें कोई खामी न हो जब तक कि यह सुंदर होने का प्रभाव भी न दे।
George Boole एक बड़े पैमाने पर स्व-शिक्षित अंग्रेजी गणितज्ञ, दार्शनिक और तर्कशास्त्री थे, जिनका अधिकांश संक्षिप्त करियर आयरलैंड के Cork में Queen's College के पहले गणित प्रोफेसर के रूप में व्यतीत हुआ। उन्होंने अवकल समीकरणों और बीजगणितीय तर्क के क्षेत्रों में काम किया, और The Laws of Thought 1854 के लेखक के रूप में सबसे अच्छी तरह जाने जाते हैं जिसमें Boolean algebra है। Boolean तर्क को सूचना युग की नींव रखने का श्रेय दिया जाता है। Boole ने बनाए रखा कि:
संभावनाओं के सिद्धांत में प्रश्नों के समाधान के लिए कोई सामान्य विधि स्थापित नहीं की जा सकती जो विशेष रूप से विज्ञान के विशेष संख्यात्मक आधारों को स्वीकार न करे, बल्कि उन सार्वभौमिक विचार के नियमों को भी स्वीकार न करे जो सभी तर्क का आधार हैं, और जो, उनके सार के रूप में जो भी हो सकते हैं, कम से कम अपने रूप में गणितीय हैं।
प्रारंभिक जीवन
Boole का जन्म Lincoln, Lincolnshire, England में हुआ था, वह John Boole senior 1779–1848 के पुत्र थे, एक जूते बनाने वाले और Mary Ann Joyce। उन्हें प्राथमिक विद्यालय की शिक्षा मिली, और उन्हें अपने पिता से पाठ मिले, लेकिन व्यवसाय में गंभीर गिरावट के कारण, उन्हें बहुत कम आगे की औपचारिक और शैक्षणिक शिक्षा मिली। William Brooke, Lincoln में एक किताबों का व्यापारी, ने उन्हें लैटिन के साथ मदद की हो सकती है, जो उन्होंने Thomas Bainbridge के स्कूल में भी सीखा हो सकता है। वह आधुनिक भाषाओं में स्व-शिक्षित थे। वास्तव में, जब एक स्थानीय समाचार पत्र ने एक लैटिन कविता के उनके अनुवाद को प्रकाशित किया, तो एक विद्वान ने उस पर साहित्य चोरी का आरोप लगाया, इस बहाने से कि वह ऐसी उपलब्धियों में सक्षम नहीं हैं। 16 साल की उम्र में, Boole अपने माता-पिता और तीन छोटे भाइयों के लिए कमाने वाले बन गए, Doncaster में Heigham's School में एक junior शिक्षक की स्थिति ले कर। उन्होंने Liverpool में थोड़े समय के लिए पढ़ाया।
Boole ने Lincoln के Greyfriars में Mechanics Institute में भाग लिया, जिसकी स्थापना 1833 में हुई थी। Edward Bromhead, जो संस्था के माध्यम से John Boole को जानते थे, ने George Boole को गणित की किताबों में मदद की और उन्हें Rev. George Stevens Dickson of St Swithin's, Lincoln द्वारा Sylvestre François Lacroix की कैलकुलस पाठ्य पुस्तक दी गई थी। बिना किसी शिक्षक के, कैलकुलस में महारत हासिल करने में उन्हें कई साल लग गए।
19 साल की उम्र में, Boole ने Lincoln में अपना स्वयं का स्कूल सफलतापूर्वक स्थापित किया: Free School Lane। वह अपनी जीविका चलाते रहे स्कूलों को चलाकर जब तक वह अपने तीसवां दशक में नहीं थे। चार साल बाद उन्होंने Lincoln के बाहर Waddington में Hall's Academy को संभाला, Robert Hall की मृत्यु के बाद। 1840 में वह Lincoln वापस चले गए, जहां उन्होंने एक बोर्डिंग स्कूल चलाया। Boole तुरंत Lincoln Topographical Society में शामिल हो गए, समिति के सदस्य के रूप में सेवा करते हुए, और "On the origin, progress, and tendencies of polytheism" शीर्षक से एक पत्र प्रस्तुत किया, विशेष रूप से प्राचीन Egyptians और Persians के बीच, और आधुनिक India में, 30 नवंबर 1841 को।
Boole एक प्रमुख स्थानीय व्यक्ति बन गए, bishop John Kaye के प्रशंसक। उन्होंने early closing के लिए स्थानीय अभियान में भाग लिया। Edmund Larken और अन्य लोगों के साथ उन्होंने 1847 में एक building society की स्थापना की। वह Chartist Thomas Cooper के साथ भी जुड़े, जिनकी पत्नी एक रिश्तेदार थी।
1838 से onwards Boole सहानुभूतिपूर्ण British academic गणितज्ञों के साथ संपर्क बना रहे थे और व्यापक रूप से पढ़ रहे थे। उन्होंने symbolic methods के रूप में algebra का अध्ययन किया, जितना कि इसे उस समय समझा जाता था, और research papers प्रकाशित करना शुरू किया। अपने प्रकाशनों पर सकारात्मक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के बाद, उन्होंने University of Cambridge में जाने पर विचार किया, लेकिन जब उन्हें बताया गया कि उन्हें मानक undergraduate courses के साथ शुरुआत करनी होगी और अपने स्वयं के research को बंद करना होगा तो उन्होंने जाने का विरोध किया।
Cork में प्रोफेसर
Boole की एक गणितज्ञ के रूप में स्थिति को 1849 में Queen's College, Cork, अब University College Cork UCC में आयरलैंड के पहले गणित प्रोफेसर के रूप में नियुक्ति से स्वीकार किया गया। उन्हें अपनी भविष्य की पत्नी, Mary Everest, वहां 1850 में मिलीं जबकि वह अपने चाचा John Ryall के पास आ रहीं थीं जो Greek के प्रोफेसर थे। वे कुछ साल बाद 1855 में शादी कर गए। उन्होंने Lincoln के साथ अपने संबंधों को बनाए रखा, E. R. Larken के साथ वहां वेश्यावृत्ति को कम करने के अभियान में काम किया।
सम्मान और पुरस्कार
1844 में Boole के पत्र "On a General Method in Analysis" ने Royal Society द्वारा गणित के लिए पहला gold prize जीता। उन्हें 1855 में Royal Society of Edinburgh द्वारा Keith Medal से सम्मानित किया गया था और 1857 में वे Royal Society FRS के Fellow चुने गए थे। उन्हें University of Dublin और University of Oxford से LL.D. की honorary degrees मिलीं।
कार्य
Boole का पहला प्रकाशित पत्र "Researches in the theory of analytical transformations, with a special application to the reduction of the general equation of the second order" था, जो फरवरी 1840 में Cambridge Mathematical Journal में Volume 2, No. 8, pp. 64–73 में मुद्रित हुआ था, और इससे Boole और journal के editor Duncan Farquharson Gregory के बीच एक दोस्ती हुई। उनके कार्य लगभग 50 articles और कुछ अलग प्रकाशनों में हैं।
1841 में Boole ने early invariant theory में एक प्रभावशाली पत्र प्रकाशित किया। उन्हें 1844 के अपने memoir "On a General Method in Analysis" के लिए Royal Society से एक पदक मिला। यह linear differential equations के सिद्धांत में एक योगदान था, constant coefficients के मामले से आगे बढ़ते हुए जिस पर उन्होंने पहले से प्रकाशित किया था, variable coefficients तक। operational methods में नवाचार यह है कि operations commute नहीं हो सकते। 1847 में Boole ने The Mathematical Analysis of Logic प्रकाशित किया, जो symbolic logic पर उनके कार्य का पहला था।
अवकल समीकरण
Boole ने अपने जीवनकाल के दौरान गणितीय विषयों पर दो व्यवस्थित treatises पूरे किए। Treatise on Differential Equations 1859 में प्रकट हुई, और अगले साल, एक Treatise on the Calculus of Finite Differences द्वारा अनुसरण किया गया, जो पूर्व कार्य के लिए एक अनुक्रम है।
विश्लेषण
1857 में, Boole ने "On the Comparison of Transcendent, with Certain Applications to the Theory of Definite Integrals" treatise प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने एक rational function के residues का योग अध्ययन किया। अन्य परिणामों के बीच, उन्होंने वह साबित किया जिसे अब Boole's identity कहा जाता है:
किसी भी वास्तविक संख्याओं के लिए ak > 0, bk, और t > 0। इस identity के generalizations Hilbert transform के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
प्रतीकात्मक तर्क
1847 में Boole ने Mathematical Analysis of Logic का pamphlet प्रकाशित किया। बाद में वह इसे अपनी logical system का एक त्रुटिपूर्ण exposition मानते थे और चाहते थे कि An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities को उनके विचारों के परिपक्व कथन के रूप में देखा जाए। व्यापक विश्वास के विपरीत, Boole कभी भी Aristotle के तर्क के मुख्य सिद्धांतों की आलोचना या असहमति करना नहीं चाहते थे। बल्कि उन्होंने इसे व्यवस्थित करना, इसे एक आधार प्रदान करना, और इसकी प्रयोज्यता की सीमा को बढ़ाना चाहते थे। Boole की तर्क में प्रारंभिक involvement एक वर्तमान debate द्वारा prompted किया गया था quantification पर, Sir William Hamilton के बीच जो "quantification of the predicate" के सिद्धांत का समर्थन करते थे, और Boole के समर्थक Augustus De Morgan जो De Morgan duality के एक संस्करण को advance करते थे, जैसा कि अब कहा जाता है। Boole का approach ultimately दोनों पक्षों के controversy में बहुत अधिक दूरगामी था। इसने वह स्थापित किया जो पहले "algebra of logic" परंपरा के रूप में जाना जाता था।
उनके कई नवाचारों में से उनका wholistic reference का सिद्धांत है, जिसे बाद में, और शायद independently, Gottlob Frege द्वारा और उन logicians द्वारा अपनाया गया जो standard first-order logic को मानते हैं। एक 2003 article Aristotelian logic और Boolean logic की एक व्यवस्थित तुलना और critical evaluation प्रदान करता है; यह Boole के logic की philosophy में wholistic reference की centrality को भी प्रकट करता है।
1854 discourse के universe की परिभाषा
हर discourse में, चाहे वह मन अपने विचारों के साथ बातचीत कर रहा हो, या individual अपने intercourse में दूसरों के साथ हो, एक assumed या expressed limit है जिसके भीतर इसके operation के subjects confined हैं। सबसे unfettered discourse वह है जिसमें हम जो words उपयोग करते हैं उन्हें सबसे व्यापक संभावित application में समझा जाता है, और उनके लिए, discourse की limits universe स्वयं की limits के साथ co-extensive हैं। लेकिन अधिक आमतौर पर हम अपने आप को एक कम spacious field तक confine करते हैं। कभी-कभी, men के discoursing में हम imply करते हैं (limitation को व्यक्त किए बिना) कि यह सिर्फ men के बारे में है certain circumstances और conditions के तहत, civilised men के रूप में, या life की vigour में men के रूप में, या कुछ अन्य condition या relation के तहत men के रूप में। अब, चाहे field का extent कुछ भी हो जिसके भीतर हमारे discourse के सभी objects पाए जाते हैं, उस field को properly discourse के universe को कहा जा सकता है। इसके अलावा, यह universe of discourse सबसे सख्त sense में discourse का ultimate subject है।
तर्क में addition का उपचार
Boole ने अपने "elective symbols" को एक algebraic structure के रूप में conceived किया। लेकिन यह सामान्य concept उन्हें उपलब्ध नहीं था: उन्हें abstract algebra में postulated axiomatic properties of operations का segregation standard नहीं था, और deduced properties। उनका कार्य sets के algebra की एक शुरुआत था, फिर से एक concept नहीं जो Boole के लिए एक familiar model के रूप में उपलब्ध था। उनके pioneering efforts को specific difficulties का सामना करना पड़ा, और addition का treatment प्रारंभिक दिनों में एक स्पष्ट difficulty था।
Boole ने multiplication के operation को "and" शब्द से replace किया और addition को "or" शब्द से। लेकिन Boole की original system में, + एक partial operation था: set theory की भाषा में यह केवल subsets के disjoint union के अनुरूप होगा। बाद के authors ने interpretation को बदल दिया, commonly इसे exclusive or के रूप में पढ़ते हुए, या set theory terms में symmetric difference; यह step मतलब है कि addition हमेशा defined है।
वास्तव में, एक और possibility है, कि + को disjunction के रूप में पढ़ा जाना चाहिए। यह अन्य possibility disjoint union case से extends करता है, जहां exclusive or और non-exclusive or दोनों same answer देते हैं। इस ambiguity को handle करना theory की एक प्रारंभिक समस्या थी, जो Boolean rings और Boolean algebras दोनों के modern use को reflect करती है जो simply एक प्रकार की structure के अलग-अलग पहलू हैं। Boole और Jevons 1863 में इसी issue पर संघर्ष किया, x + x के correct evaluation के रूप में। Jevons ने result x के लिए argument दिया, जो + as disjunction के लिए सही है। Boole ने result को something undefined के रूप में रखा। उन्होंने result 0 के खिलाफ argument दिया, जो exclusive or के लिए सही है, क्योंकि उन्होंने equation x + x = 0 को x = 0 को imply करते हुए देखा, ordinary algebra के साथ एक false analogy।
संभाव्यता सिद्धांत
Laws of Thought के दूसरे भाग में probabilities में एक सामान्य method खोजने का एक corresponding attempt था। यहां goal algorithmic था: किसी भी events की system के दिए गए probabilities से, किसी अन्य event की consequent probability को निर्धारित करने के लिए logically उन events से जुड़े हुए।
मृत्यु
नवंबर 1864 के अंत में, Boole ने भारी बारिश में, अपने घर Ballintemple में Lichfield Cottage से university तक चला, तीन मील की दूरी, और अपने wet clothes पहनकर lecture दिया। वह जल्द ही बीमार हो गए, pneumonia develop कर गए। जैसा कि उनकी पत्नी को विश्वास था कि remedies को उनके cause से resemble करना चाहिए, उन्होंने उन्हें wet blankets में wrap किया – wet having brought on उनकी illness। Boole की स्थिति खराब हुई और 8 दिस
