जैसे सूर्य अपनी चमक से तारों को ग्रहण करता है, वैसे ही ज्ञान वाला मनुष्य लोगों की सभाओं में बीजगणित की समस्याओं का प्रस्ताव करने से दूसरों की ख्याति को ग्रहण करेगा, और यदि वह उन्हें हल करे तो और भी अधिक।
Brahmagupta एक भारतीय गणितज्ञ और खगोलविद् थे। वह गणित और खगोल विज्ञान पर दो प्रारंभिक कार्यों के लेखक हैं: Brāhmasphuṭasiddhānta BSS, "Brahma का सही ढंग से स्थापित सिद्धांत", 628 में दिनांकित, एक सैद्धांतिक ग्रंथ, और Khaṇḍakhādyaka "खाने योग्य काटना", 665 में दिनांकित, एक अधिक व्यावहारिक पाठ।
Brahmagupta शून्य के साथ गणना करने के नियम देने वाले पहले व्यक्ति थे। Brahmagupta द्वारा रचित पाठ संस्कृत में दीर्घवृत्त पद्य में थे, जैसा कि भारतीय गणित में सामान्य प्रथा थी। चूंकि कोई प्रमाण नहीं दिए गए हैं, यह ज्ञात नहीं है कि Brahmagupta के परिणाम कैसे प्राप्त किए गए थे।
जीवन और कैरियर
Brahmagupta का जन्म 598 ईस्वी में हुआ था, जो उनके अपने कथन के अनुसार है। वह Bhillamāla में Gurjaradesa में रहते थे, आधुनिक Bhinmal राजस्थान, भारत में, Chavda राजवंश के शासक Vyagrahamukha के शासनकाल के दौरान। वह Jishnugupta के पुत्र थे और धर्म के आधार पर एक हिंदू थे, विशेष रूप से, एक Shaivite। वह अपने जीवन के अच्छे भाग के लिए वहां रहे और काम किया। बाद के टीकाकार Prithudaka Svamin ने उन्हें Bhillamalacharya, Bhillamala के शिक्षक कहा।
Bhillamala Gurjaradesa की राजधानी थी, पश्चिमी भारत का दूसरा सबसे बड़ा साम्राज्य, जिसमें आधुनिक भारत में दक्षिणी राजस्थान और उत्तरी गुजरात शामिल थे। यह गणित और खगोल विज्ञान के लिए एक शिक्षा केंद्र भी था। Brahmagupta Brahmapaksha स्कूल के एक खगोलविद् बन गए, इस अवधि के दौरान भारतीय खगोल विज्ञान के चार प्रमुख स्कूलों में से एक। उन्होंने भारतीय खगोल विज्ञान पर पांच पारंपरिक Siddhartha का अध्ययन किया साथ ही अन्य खगोलविदों के कार्य का भी अध्ययन किया जिनमें Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin और Vishnuchandra शामिल थे।
628 के वर्ष में, 30 वर्ष की आयु में, उन्होंने 'Brāhmasphuṭasiddhānta' की रचना की, Brahma का सुधारा हुआ ग्रंथ जिसे Brahmapaksha स्कूल खगोल विज्ञान के प्राप्त Siddhanta का संशोधित संस्करण माना जाता है। विद्वान बताते हैं कि उन्होंने अपने संशोधन में बहुत मौलिकता को शामिल किया, काफी मात्रा में नई सामग्री जोड़ी। पुस्तक में ārya मीटर में 24 अध्याय और 1008 श्लोक हैं। इसका अधिकांश हिस्सा खगोल विज्ञान है, लेकिन इसमें बीजगणित, ज्यामिति, त्रिकोणमिति और एल्गोरिदम सहित गणित के प्रमुख अध्याय भी हैं, जिनमें Brahmagupta स्वयं के नए अंतर्दृष्टि हैं।
बाद में, Brahmagupta Ujjaini, Avanti चले गए, जो मध्य भारत में खगोल विज्ञान का एक प्रमुख केंद्र भी था। 67 वर्ष की आयु में, उन्होंने अपना अगला प्रसिद्ध कार्य Khanda-khādyaka की रचना की, भारतीय खगोल विज्ञान का एक व्यावहारिक मैनुअल, करण श्रेणी में छात्रों द्वारा उपयोग किए जाने के लिए।
Brahmagupta की मृत्यु 668 ईस्वी में हुई, और माना जाता है कि वह Ujjain में मर गए।
विवाद
Brahmagupta ने प्रतिद्वंद्वी खगोलविदों के कार्य की ओर बहुत अधिक आलोचना की, और उनके Brahmasphutasiddhanta में भारतीय गणितज्ञों के बीच सबसे प्रारंभिक विभाजनों में से एक दिखाई देता है। विभाजन मुख्य रूप से गणित के भौतिक दुनिया में अनुप्रयोग के बारे में था, न कि गणित स्वयं के बारे में। Brahmagupta के मामले में, असहमति काफी हद तक खगोलीय मापदंडों और सिद्धांतों की पसंद से उत्पन्न हुई। प्रतिद्वंद्वी सिद्धांतों की आलोचना पहले दस खगोलीय अध्यायों में दिखाई देती है और ग्यारहवां अध्याय पूरी तरह से इन सिद्धांतों की आलोचना को समर्पित है, हालांकि बारहवें और अठारहवें अध्यायों में कोई आलोचना नहीं दिखाई देती।
स्वागत
विज्ञान के इतिहासकार George Sarton ने उन्हें "अपनी जाति के महानतम वैज्ञानिकों में से एक और अपने समय के सबसे बड़े वैज्ञानिक" कहा। Brahmagupta की गणितीय प्रगति को Ujjain में एक रैखिक वंशज Bhāskara II ने आगे बढ़ाया, जिन्होंने Brahmagupta को ganaka-chakra-chudamani, गणितज्ञों के वृत्त का रत्न कहा। Prithudaka Svamin ने उनके दोनों कार्यों पर टीकाएं लिखीं, कठिन श्लोकों को सरल भाषा में प्रस्तुत किया और चित्र जोड़े। Lalla और Bhattotpala ने 8वीं और 9वीं शताब्दियों में Khanda-khadyaka पर टीकाएं लिखीं। अतिरिक्त टीकाएं 12वीं शताब्दी तक लिखी जाती रहीं।
Brahmagupta की मृत्यु के कुछ दशक बाद, Sindh 712 ईस्वी में अरब खिलाफत के अधीन आ गया। Gurjaradesa में अभियान भेजे गए, अरब इतिहासकारों के अनुसार "Al-Baylaman in Jurz"। Bhillamala का साम्राज्य नष्ट हो गया प्रतीत होता है लेकिन Ujjain ने हमलों को रोका। खलीफा Al-Mansur 754–775 की अदालत को Sindh से एक दूतावास मिला, जिसमें Kanaka नाम का एक ज्योतिषी शामिल था, जो संभवतः Brahmagupta के सहित खगोलीय ग्रंथों को स्मरण से लाया था। Brahmagupta के ग्रंथों का अनुवाद अरबी में Muhammad al-Fazari ने किया था, जो Al-Mansur की अदालत में एक खगोलविद् थे, Sindhind और Arakhand नामों के तहत। एक तुरंत परिणाम ग्रंथों में प्रयुक्त दशमलव संख्या प्रणाली का प्रसार था। गणितज्ञ Al-Khwarizmi 800–850 ईस्वी ने al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind नामक एक पाठ लिखा, भारतीय अंकगणित में जोड़ और घटाव, जिसका 13वीं शताब्दी में लैटिन में अनुवाद Algorithmi de numero indorum के रूप में किया गया था। इन ग्रंथों के माध्यम से, दशमलव संख्या प्रणाली और Brahmagupta के अंकगणित के एल्गोरिदम पूरी दुनिया में फैल गए। Al-Khwarizmi ने Sindhind का अपना संस्करण भी लिखा, Al-Fazari के संस्करण पर आधारित और Ptolemaic तत्वों को शामिल किया। भारतीय खगोलीय सामग्री सदियों तक व्यापक रूप से प्रचलित रही, यहां तक कि मध्यकालीन लैटिन ग्रंथों में भी पहुंची।
गणित
बीजगणित
Brahmagupta ने Brahmasphutasiddhānta के अठारहवें अध्याय में सामान्य रैखिक समीकरण का समाधान दिया,
जो समीकरण bx + c = dx + e का एक समाधान है जहां rupas स्थिरांक c और e को संदर्भित करता है। दिया गया समाधान x = e − c/b − d के बराबर है। उन्होंने सामान्य द्विघात समीकरण के दो समान समाधान आगे दिए
18.44. मध्य [संख्या] से कम करें वर्ग-मूल को rupas से गुणा किया जाता है चार बार वर्ग से और मध्य [संख्या] के वर्ग से बढ़ाया जाता है; शेष को दो बार वर्ग से विभाजित करें। [परिणाम है] मध्य [संख्या]।
18.45. जो कुछ भी rupas का वर्ग-मूल है वर्ग से गुणा किया जाता है [और] आधे अज्ञात के वर्ग से बढ़ाया जाता है, उसे आधे अज्ञात से कम करें [और] शेष को [इसके वर्ग] से विभाजित करें। [परिणाम है] अज्ञात।
जो क्रमशः समीकरण ax2 + bx = c के समाधान हैं, बराबर,
और
वह समवर्ती अनिश्चित समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए आगे बढ़े, यह कहते हुए कि वांछित चर को पहले अलग किया जाना चाहिए, और फिर समीकरण को वांछित चर के गुणांक से विभाजित किया जाना चाहिए। विशेष रूप से, उन्होंने कई अज्ञात वाले समीकरणों को हल करने के लिए "पल्वराइजर" का उपयोग करने की सिफारिश की।
18.51. पहली रंग से अलग रंगों को घटाएं। [शेष] को पहले [रंग के गुणांक] से विभाजित करें [रंगों की] माप है। [शर्तें] दो दो [मानी जाती हैं] [समान विभाजकों में कमी की गई], [और इसी तरह] बार-बार। यदि बहुत [रंग] हैं, तो पल्वराइजर [का उपयोग किया जाना है]।
Diophantus के बीजगणित की तरह, Brahmagupta का बीजगणित सिंकोपेटेड था। जोड़ को संख्याओं को एक साथ रखकर दर्शाया जाता था, घटाव को सबट्रेंड के ऊपर एक बिंदु रखकर, और विभाजन को भाजक को भाज्य के नीचे रखकर, हमारे संकेतन के समान लेकिन बार के बिना। गुणन, विकास, और अज्ञात मात्राओं को उपयुक्त शर्तों के संक्षिप्त नामों से दर्शाया जाता था। इस सिंकोपेशन पर ग्रीक प्रभाव की सीमा, यदि कोई है, ज्ञात नहीं है और यह संभव है कि ग्रीक और भारतीय दोनों सिंकोपेशन एक सामान्य बेबीलोन स्रोत से प्राप्त हो सकते हैं।
अंकगणित
चार मौलिक ऑपरेशन जोड़, घटाव, गुणन, और विभाजन Brahmagupta से पहले कई संस्कृतियों के लिए जाने जाते थे। यह वर्तमान प्रणाली हिंदू अरबी संख्या प्रणाली पर आधारित है और पहले Brahmasphutasiddhanta में दिखाई दी। Brahmagupta गुणन का वर्णन इस प्रकार करते हैं "गुणक को पशु रस्सी की तरह दोहराया जाता है, जितनी बार गुणक में अभिन्न भाग होते हैं और उन्हें बार-बार गुणा किया जाता है और उत्पाद एक साथ जोड़े जाते हैं। यह गुणन है। या गुणक को उतनी बार दोहराया जाता है जितनी बार गुणक में घटक भाग होते हैं"। भारतीय अंकगणित मध्यकालीन यूरोप में "Modus Indorum" के रूप में जाना जाता था जिसका अर्थ भारतीयों की विधि है। Brahmasphutasiddhanta में, गुणन को Gomutrika कहा जाता था।
अपने Brahmasphutasiddhānta के बारहवें अध्याय की शुरुआत में, जिसका शीर्षक गणना है, Brahmagupta भिन्नों पर ऑपरेशन का विवरण देता है। पाठक से अपेक्षा की जाती है कि वह वर्गमूल लेने तक मौलिक अंकगणितीय ऑपरेशन जानते हों, हालांकि वह बताते हैं कि किसी पूर्णांक का घनमूल और घनमूल कैसे खोजें और बाद में वर्गों और वर्गमूलों की गणना को सुविधाजनक बनाने वाले नियम देते हैं। वह फिर भिन्नों के पांच प्रकार के संयोजनों से निपटने के नियम देते हैं: a/c + b/c; a/c × b/d; a/1 + b/d; a/c + b/d × a/c = ad + b/cd; और a/c − b/d × a/c = ad − b/cd।
श्रृंखला
Brahmagupta फिर पहले n पूर्णांकों के वर्गों और घनों के योग को देने के लिए आगे बढ़ते हैं।
यहां Brahmagupta ने परिणाम पहले n पूर्णांकों के योग के संदर्भ में पाया, न कि n के संदर्भ में जैसा कि आधुनिक प्रथा है।
वह पहले n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग nn + 12n + 1/6 देते हैं और पहले n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग nn + 1/22 देते हैं।
शून्य
Brahmagupta का Brahmasphuṭasiddhānta पहली पुस्तक है जो शून्य और नकारात्मक संख्याओं पर लागू होने वाली अंकगणितीय हेराफेरी के नियम प्रदान करती है। Brahmasphutasiddhānta सबसे पहला ज्ञात ग्रंथ है जो
